2.3 Непрерывность функции

Важным свойством функции является непрерывность.

Определение. Функция считается непрерывной, если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции.

Математически это записывается так: при

Под ипонимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями:,(рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – Приращение переменных

Из определения функции, непрерывной в точке, следует, что . Это равенство означает выполнение трех условий:

1. функция определена в точке и ее окрестности функция ;

2. функция имеет предел при или, что равносильно, существуют и равны односторонние пределы и ;

3. предел функции при равен значению функции в точке .

Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то точку называют точкой разрыва функции. Выделяют следующие типы точек разрыва.

1. Если в точке разрыва существуют односторонние конечные пределы функции, то называют точкой разрыва первого рода.

При этом если односторонние пределы совпадают, то называютточкой устранимого разрыва первого рода, если односторонние пределы не совпадают, то называютточкой конечного разрыва первого рода (или точкой скачка)

2. Если в точке хотя бы один из односторонних пределов функциине существует или бесконечен,то называют точкойразрыва второго рода.

Пример 2.9. Найти точки разрыва функции:

Решение. Для функции точкаявляется подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы

Следовательно, , значит -точка устранимого разрыва

3 Производная функции

3.1 Понятие производной и дифференциала

Определение. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функциик приращению аргументапри условии, что последнее стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Разберем смысл этого понятия. Учитывая смысл понятия предела, можно записать

или .

Отсюда следует, что является коэффициентом пропорциональности между приращением функциии приращением аргумента, который показывает, как изменяется функция при изменении аргумента на единицу.

Механический смысл производной - это мгновенная скорость точки.

Геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Если точка касания имеет координаты , то уравнение касательной записывается в виде

В общем случае, производная - это скорость изменения функции.

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Производная функции находится с помощью таблицы основных производных (таблица 3.1) и основных правил дифференцирования.

Таблица 3.1 – Таблица производных основных элементарных функций

Функция	Производная
	0

Определение. Дифференциал функции – это главная линейная часть приращения функции

Приближенно дифференциал функции равен приращению функции

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную .

Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .Механический смысл второй производной - это ускорение точки.

Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка - .

В общем случае определяется производная n-го порядка - .

.