§ 2.5. Нечеткая и лингвистическая переменные

Рассмотрим более подробно понятия «нечеткой и «лингвистической переменной», которые используются экспертом при описании сложных объектов и явлений, а также при формализации процессов принятия решений.

Определение 2.13. Нечеткой переменной будем называть тройку , где- наименование нечеткой переменнойX={x} - область ее определения (базовое множество), - нечеткое подмножество множества X, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной.

Определение 2.14. Лингвистическая переменная характеризуется набором , в котором- название лингвистической переменной;терм-множество лингвистической переменной, т.е. множество лингвистических (вербальных) значений переменной, причем каждое из этих значений является нечеткой переменной с областью определенияX; G -синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее наименования вербальных значений лингвистической переменной; M -семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменнойнечеткое множество- смысл нечеткой переменной.

Множество Т также называется базовым терм-множеством лингвистической переменной, а синтаксическая процедура (грамматика) G позволяет оперировать элементами терм-множества Т.

Множество Т*=ТG(T) называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной.

При этом семантическая процедура М позволяет превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. приписать ему нечеткую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества.

Рассмотренные ранее операции над нечеткими множествами могут быть использованы при определении семантики произвольных значений (термов) лингвистической переменной.

Иными словами, лингвистической переменной называют переменную, у которой ее значениями являются слова, фразы естественного языка.

Нечеткое подмножество М определяется как некоторое множество в X с функцией принадлежности µ_М(x), принимающей значения из интервала [0,1]:

где µ_M(x): X [0,1] - функция принадлежности.

При традиционном подходе процедура G определяет новые значения лингвистической переменной исходи из ее базового множества, значений Т, т.е. G=G(T). В атом- случае синтаксис G задается в виде бесконтекстовой грамматики <V_N, V_T, U, П>, множество терминальных символов которой включает множество базовых значений Т, логические операции и модификаторы типов И, ИЛИ, ОЧЕНЬ, НЕ, СЛЕГКА и др. Тогда семантическую процедуру можно задать правилами:

где C₁ и С₂ - нечеткие множества, соответствующие значениям (нечетким переменным) ₁ и ₂ рассматриваемой лингвистической переменной.

Пример 2.4. Рассмотрим пример лингвистической переменной. Пусть эксперт оценивает длину объекта (прутка) с помощью понятий «малая длина», «средняя длина» и «большая длина», при этом минимальная длина объекта равна 100, а максимальная 800 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной , где - длина объекта; Т= {₁, ₂, ₃}= { малая длина, средняя длина, большая длина}; X = {100, 800}.

Пусть нечеткие множества С₁, С₂, С₃ описывают семантику базовых значений переменной . Функции принадлежности, соответствующие данным нечетким множествам, показаны на рис.2.4. Тогда произвольные значения ¹ – «малая или средняя длина» и ² – «небольшая длина» будут определяться нечеткими множествами С и С с функциями принадлежности, показанными на рис.2.5а,б.

Рис. 2.4. Функции принадлежности нечетких множеств С₁, С₂, С₃

а) б)

Рис. 2.5. Функции принадлежности: а) нечеткого множества С;

б) нечеткого множества и С

Лингвистические переменные, у которых процедура образования новых значений G зависит от множества базовых значений Т назовем синтаксически зависимыми лингвистическими переменными.

Наряду с рассмотренными выше синтаксически зависимыми лингвистическими переменными существуют переменные, у которых процедура образования новых значений зависит не от множества базовых значений Т, а от области определения X, т.е. G=G(X). Например, значение лингвистической переменной «длина объекта» определено как «близкое к 200 мм» или «приблизительное к 750 мм». Такие лингвистические переменные назовем синтаксически независимыми.

Заметим, что произвольные значения синтаксически независимой лингвистической переменной взаимно однозначно определяются некоторыми значениями х области определения X. Поэтому произвольное значение (нечеткую переменную ) синтаксически независимой лингвистической переменной будем задавать в виде =x,X,C_. Например, нечеткая переменная , определенная как «приблизительно 750 мм», запишется в виде =750, X, C_.