§ 2.2. Построение функции принадлежности

Понятие функции принадлежности (ФП) является основополагающим в теории нечетких множеств. Содержательная интерпретация понятия ФП заключается в следующем.

1. Функция принадлежности носит субъективный характер, т.е. определяется на основе представлений ЛПР (экспертным путем).

2. Функция принадлежности может интерпретироваться на основе понятия вероятности в том смысле, что значение для любогопонимается как вероятность того, что ЛПР отнесет элементх к множеству X.

3. Объектом теории нечетких множеств не является функция плотности вероятности или функция распределения. Свойства этих функций (нормировка на 1 и неубывание на отрезке [0,1]) не являются обязательными для ФП. Поэтому требуется специальный аппарат для обработки информации, формализованной с помощью нечетких множеств.

Операциональное задание функции принадлежности основано на экспертных оценках. Рассмотрим некоторые методы построения функций принадлежности.

Теорию нечетких множеств достаточно часто упрек субъективности. Однако на практике субъективность теории заканчивается вместе с этапом задания функций принадлежности. Функция принадлежности нечеткого множества, как правило, является средством формализации субъективного мнения эксперта о принадлежности элемента нечеткому множеству и быть задана числом, интервалом, уравнением, таблицей или графиком. Функция принадлежности может трактоваться по-разному в зависимости от задачи, в которой используется нечеткое множество, например, как:

степень соответствия некоторому понятию;

субъективная вероятность;

возможность;

полезность;

истинность;

правдоподобность;

значение функции и др.

Для каждой трактовки разработаны свои методы построения функций принадлежности.

§ 2.2.1. Некоторые методы построения функции принадлежности.

Существует два класса методов построения функции принадлежности множества : прямые и косвенные.

Прямыми методами построения функции принадлежности обычно называются такие, в которых степени принадлежности элементов универсального множества X непосредственно задаются либо экспертом, либо группой экспертов. В зависимости от количества экспертов, привлекаемых для построения функций принадлежности, прямые методы подразделяются на прямые методы для одного эксперта и для группы экспертов.

Наиболее просто функция принадлежности множества , соответствующего значению лингвистической переменной, строитсяпрямыми методами для одного эксперта. Это представляет интерес в связи с использованием лингвистических переменных для построения нечетких моделей.

В сущности, в этом случае применяется только один метод: эксперт каждому элементу универсального множества X ставит в соответствие определенную степень принадлежности , которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией множества . Соответствие между степенью принадлежности из интервала [0,1] и элементами множества может задаваться в виде таблицы, примера, графика, формулы, задающей аналитическую форму функции принадлежности нечеткого множестваX.

Прямые методы для группы экспертов предполагают некоторый интегрированный учет мнений всех экспертов о виде соответствия между степенями принадлежности и элементами универсального множества X. Наиболее характерный пример групповой процедуры построения функции принадлежности прямым методом состоит в следующем.

Пусть имеется m экспертов, часть из которых на вопрос о принадлежности элемента нечеткому множествуотвечает положительно. Обозначим их число n₁. Другая часть экспертов, а именно n₂=m-n₁, отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается, что . Естественно, что такая интерпретация построения функции принадлежности будет иметь смысл, если одновременно строятся функции принадлежности нечетких множеств, задающих остальные нечеткие значения из терм-множества лингвистической переменной, либо эти значения подразумеваются и известны экспертам. Степень принадлежности имеет в результате вероятностную интерпретацию, функция принадлежности по окончании процедуры, как правило, должна быть нормализована. Нормализация производится вычислением отношений между степенями принадлежности элементови величиной.

В более общем случае оценкам экспертов сопоставляются некоторые весовые коэффициенты , отражающие степень компетентности экспертов. В этом случае при описанной выше процедуре, где p_i =1,. если i-й эксперт положительно отвечает на вопрос о принадлежности элемента x множеству и p_i=0 в противном случае. Внешне эта процедура выглядит более убедительной, чем рассмотренная выше, однако, деликатно обходится вопрос о том, кто же назначает весовые коэффициенты оценкам экспертов. По-видимому, для оценки уровня компетентности экспертов должен использоваться другой коллектив экспертов и т.д.

Прямые методы как для одного эксперта, так и для группы экспертов имеют общий недостаток, проистекающий из их достоинств. Человеку свойственно ошибаться, особенно в самооценке (фактически при оценке степеней принадлежности эксперты производят самооценку своих знаний по данной предметной области), поэтому результаты экспертного опроса имеют некоторый «налет субъективизма». Например, отмечена субъективная склонность экспертов сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении принадлежности, должны использоваться только в том случае, когда случайные ошибки незначительны или маловероятны.

Косвенные методы основаны на более «осторожном» использовании человека в качестве измерительного прибора. Эти методы применяются для снижения субъективного влияния на результаты построения функции принадлежности за счет разбиения общей задачи определения степени принадлежности для каждого элемента на ряд более простых подзадач, а также в случае сложности получения количественных оценок степеней принадлежности, например для неизмеримых понятий. Наиболее показательным для этой группы методов является метод попарных сравнений, предложенный Т.Л. Саати.

Если значения степени принадлежности были бы известны, например, , то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A=||a_ij||, . Если отношения точны, то получается соотношение, где n - собственное значение матрицы A, по которому можно восстановить вектор(с учетом условия нормализации).

Так как отношения сравнения a_ij в реальном случае неточны из-за того, что они получены эмпирическим способом, то вычисляют оценки для . Для улучшения согласованности оценок предполагается, что, откуда для диагональных элементов a_ij = 1 и для элементов, симметричных относительно диагонали a_ij=1/a_ji. Грубо говоря, если элемент оценивается в раз сильнее, чем другой, то второй только враз сильнее, чем первый. Если имеется полная согласованность в рассуждениях эксперта (согласованность по транзитивности), то ранг матрицы A есть 1, и, чтобы решить поставленную задачу, достаточно знать элементы только по одну сторону диагонали A.

В этом случае , где n - наибольшее собственное значение A, а другие собственные значениянулевые, т.к..

В общем случае эмпирическая шкала , должна удовлетворять задаче на поиск собственного значения, где- наибольшее собственное значение.

Из теории матриц известно, что собственные значения матрицы являются непрерывными функциями коэффициентов. Следовательно, задача сводится к поиску вектора , который удовлетворяет уравнению.

Чем ближе к числу n, тем более верным является результат. Отклонениеот n используется как мера полезности (правильности) результата. В процедуре решения задачи формируется матрица сравнений рассматриваемого множества элементов. Элементы такой матрицы – это значения, показывающие во сколько раз один элемент лучше другого. Так как известно, что задачаимеет единственное решение, то значения координат собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению, деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. При формировании оценок попарных сравнений, обычно, эксперта просят отразить ощущения или опыт следующим образом:

а) установить, какой из двух предлагаемых элементов, по его мнению, более важен;

б) оценить восприятие интенсивности различия в виде ранга важности по определенной ранговой шкале.

В табл.2.1 приводятся качественные оценки и соответствующие им численные значения, используемые в работе Саати. Предполагается, что элемент с нулевой оценкой не рассматривается при попарном сравнении. При анализе сложных свойств, которые представляются как иерархическая система, Саати предлагает использовать описанный подход при сравнении составляющих свойств на удовлетворение (соответствие) сложному свойству.

В ряде моделей функции принадлежности задаются достаточно произвольно в параметрическом виде. В приложениях теории нечетких множеств используются, например, треугольные, трапециевидные, гауссовские и колоколообразные функции принадлежности.

Так, треугольные функции принадлежности задаются тремя параметрами (а,b,с):

Таблица 2.1

Качественные оценки попарных сравнений

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснения
0	Несравнимость	Нет смысла сравнивать.
1	Одинаковая значимость	Элементы равны по значимости.
3	Слабо значимее	Существуют показания о предпочтении одного элемента над другим, но показания не убедительные.
5	Существенно или сильно значимее	Существуют хорошее доказательство и логические критерии, которые могут показать, что один из элементов более важен.
7	Очевидно значимее	Существует убедительное доказательство большей значимости одного элемента по сравнению с другим.
9	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другому.
2,4,6,8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Необходим компромисс.
Обратные значения ненулевых значений	Если оценка aij имеет ненулевое значение, приписанное на основании сравнения элемента i с элементом j, то aij имеет обратное значение 1/aij.
Нормирование	Нормирование возникает из описанной шкалы.

Трапециевидные функции принадлежности задаются четырьмя параметрами (a,b,c,d):

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Гауссовские функции принадлежности задаются двумя параметрами (c, s):

Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр s отвечает за крутизну функции.

Колоколообразные функции принадлежности задаются параметрами (а,b,с):

П

римеры функций принадлежности приведены на рис.2.3.

а) б)

в)

г)

Рис.2.3. Примеры функций принадлежности: а) треугольной;

б) трапецевидной; в) гауссовской; г) колоколообразной