§ 2.9. Автоматизация обработки информации с использованием
нечетких систем
Эффективность систем нечеткой логики базируется на ряде следующих результатов.
1. В 1992 году Ванг (Wang) доказал теорему:
для каждой вещественной непрерывной функции G(x), заданной на компакте U и для произвольного ε>0, существует нечеткая экспертная система, формирующая выходную функцию F(x) такую, что
где ||...|| - символ принятого расстояния между функциями.
2. В 1995 году Кастро (Castro) показал, что логический контроллер Мамдани при определенных условиях также является универсальным аппроксиматором.
3. Согласно знаменитой теореме FAT (англ. Fuzzy Approximation Theorem), доказанной Б. Коско в 1993 году, любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике.
К настоящему времени разработаны общие принципы и основы методологии построения нечетких систем обработки информации. В любой модели преобразования нечеткой информации в той или иной форме присутствуют три процедуры:
преобразование текущих значений входных переменных в значения лингвистических переменных;
нечеткий вывод значений, выходных лингвистических переменных;
преобразование выведенных значений выходных лингвистических переменных в четкие значения выходных переменных.
Общая схема обработки нечеткой информации выглядит следующим образом (рис.2.6). В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация.
четкая
величина
X четкая
величина
Y
Рис.2.6. Общая схема обработки нечеткой информации
Точные исходные данные с датчиков сведений переводятся в значения лингвистических переменных в специальном блоке, получившем название "фазификатор". Далее реализуются процедуры нечеткого вывода на множестве продукционных правил, составляющих базу знаний системы обработки информации, в результате чего формируются выходные лингвистические значения. Последние переводятся в точные значения результатов вычислений в специальном блоке, получившем название "дефазификатор". На выходе последнего формируются точные заключения о результатах вывода.
В базе знаний хранятся также параметры процедур фазификации и дефазификации, например виды функций принадлежности и их параметры, способы агрегирования информации, методы приведения к четкости и т.д. Эта концептуальная схема лежит в основе так называемого нечеткого контроллера, используемого в интеллектуальных системах обработки неопределенной информации, в частности, в системах интеллектуального управления.
Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.
Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.
1. Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как Aik(xk), i=1..m, k=1..n.
2. Нечеткий вывод.
Сначала определяются уровни 'отсечения'
для левой части каждого из правил:
Далее находятся 'усеченные' функции принадлежности:
3. Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:
где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.
4. Дефазификация,
или приведение к четкости. Существует
несколько методов дефазификации.
Например, метод среднего центра, или
центроидный метод:
.
Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой MF(y). Рис.2.7 графически показывает процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R1 и R2.
Несмотря на кажущуюся простоту и удобство этой схемы вычислений, получаемые результаты зачастую не являются удовлетворительными. Главная причина состоит в том, что с помощью операций нечеткой алгебры не всегда удается построить эффективные вычислительные процедуры на множестве нечетких величин. Трудности возрастают с увеличением числа лингвистических переменных.
Рис.
2.7. Схема нечеткого вывода по Мамдани.
Применение тех или иных операций нечеткой алгебры в ряде случаев зависит от используемых входных данных. Кроме того, операторы нечеткой алгебры недостаточно полно отражают смысл многозначных лингвистических преобразований термов лингвистических переменных. Не всегда оправданы по смыслу используемые методы дефазификации и результаты выполнения соответствующих процедур. Отмеченные недостатки приводят к тому, что результатам обработки нечеткой информации часто ставится в соответствие лишь область подходящих значений, а не конкретные величины. Поэтому полученные результаты обработки нечеткой информации (так же как и используемые механизмы нечеткого вывода) подлежат дальнейшему уточнению на этапе моделирования. В силу этого вопросы совершенствования систем нечеткого условного вывода являются актуальными.