§ 2.1.1. Основные операции над нечеткими множествами.

Для нечетких множеств вводятся операции объединения, пересечения и дополнения. Пусть А и B - два нечетких множества, заданных на универсальном множестве X с функциями принадлежности µ_A и µ_B. Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами.

Объединением нечетких множеств А и В называется множество

Пересечением нечетких множеств А и В называется множество

Дополнением нечеткого множества А называется множество

Носителем нечеткого множества A() будет являться множествоS_Ā=X\S_Ā, т.е. множество тех элементов xX, для которых функция принадлежности .

Пример 2.2. Пусть А и В - нечеткие множества, определенные на универсальном множестве X= [0, 40] с функциями принадлежности µ_A и µ_B, показанными на рис. 2а. На рис. 2б-г даны функции принадлежности, соответствующие нечетким множествам AB; AB; A.

а) б)

в) г)

Рис. 2.2. Функции принадлежности: а) нечетких множеств А и В;

б) нечеткого множества AB; в) нечеткого множестваAB; г) нечеткого множестваA.

Отметим, что при выполнении операции пересечения над нечеткими множествами получается множество, не всегда являющееся нормальным.

Обозначим A_i нечеткое множество, определенное на X_i, . Декартовым произведением нечетких множеств А_i называется множество

где ,.

Определение 2.5.Степенью множества A называется нечеткое множество,.

При получается частный случай операции возведения в степень –операции концентрации, которая обозначается CON: CON (A)=A².

При получаетсяоперация растяжения DIL: DIL (A)=A^0.5.

Операция CON снижает степень нечеткости описания, а операция DIL повышает степень нечеткости.

Определение 2.6. Нечеткое множество называется множеством порядка (типа) n, если его функция принадлежности принимает значения в нечетком множестве порядка n-1.

Тогда обычное множество – это множество порядка 0, а для множества порядка 1 функция принадлежности принимает значения в числовом интервале [0,1].

Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Отметим, что особый интерес представления объектов (систем) и оценки свойств и их значений имеют нечеткие множества 1-го и 2-го порядка с областями определения вида: XxL (НМ 1-го порядка); L^XxL (НМ 2-го порядка с нечетким аргументом); XxL^L (НМ 2-го порядка с нечеткой функцией принадлежности), где L=[0,1] - числовой интервал.

Определение 2.7. Множеством -уровня или-срезом нечеткого множествапервого порядка называется обычное множество:

.

При ,имеем строгий-срез:. Нечеткое множествоможет быть представлено в виде семейства-срезов:,.

Определение 2.8. Множество называется ядром нечеткого множества, а множество- носителем нечеткого множества.

Понятие -среза обобщается введением понятия множества–уровня (среза).

Определение 2.9. Множеством -уровня нечеткого множествапервого порядка называется обычное множество:, тогда для,, или. Приприходим к понятию-среза.

Определение 2.10. Нечеткой переменной будем называть тройку , где- наименование нечеткой переменнойX={x} - область ее определения (базовое множество), - нечеткое подмножество множества X, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной.

Определение 2.11. Лингвистическая переменная характеризуется набором , в котором- название лингвистической переменной;терм-множество лингвистической переменной, т.е. множество лингвистических (вербальных) значений переменной, причем каждое из этих значений является нечеткой переменной с областью определенияX; G -синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее наименования вербальных значений лингвистической переменной; M -семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменнойнечеткое множество- смысл нечеткой переменной.