§ 2.3. Нечеткие числа

Существует возможность построения математических моделей систем с использованием лингвистических переменных и обычных арифметических операций. Привлекательность такого подхода связана с возможностью использования традиционных методов теории управления для анализа нечетких систем. Математической основой для построения таких моделей является алгебра нечетких чисел.

Определение 2.12. Нечетким числом называется нечеткое подмножество числовой осиR, имеющее функцию принадлежности , гдеR - множество действительных чисел - множество всех нечетких подмножеств числовой оси.

Нечеткое число называется нормальным, если ,.

Нечеткое число называется выпуклым. если x,y,zR, x≤y≤z, ,, (где - операция min, дизъюнкции).

Если , то множество α-уровня нечеткого числаA определяется как

Подмножество S_АR называется носителем (суппортом) нечеткого числа А, если S_A={x|_A(x)>0}.

Унимодальное нечеткое число А называется положительным, если xS_A, x>0, и отрицательным, если xS_A, x<0.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

_A(0)=.

Отметим следующие свойства операций над нечеткими числами (расширенных операций:  - сложения, ⊝ - вычитания,  -умножения, ⊘ - деления) А, В, С (_A, _B, _CF(R)):

Если А есть положительное или отрицательное нечеткое число и если В, С – оба положительные или оба отрицательные нечеткие числа, тогда

A(BC)=(AB)(AC)/

При решении задач математического моделирования нечетких систем можно использовать нечеткие числа (L-R) -типа, которые предполагают более простую интерпретацию расширенных бинарных операций. Нечеткие числа этого типа могут быть заданы с помощью функции принадлежности (L-R) -типа, удовлетворяющей свойствам:

(1) L(-x)=L(x), R(-x)= R(x), (2) L(0)=R(0)=1,

где L и R невозрастающие функции на множестве неотрицательных действительных чисел.

Примерами (L-R)-функций могут служить:

Нечеткое унимодальное число А является нечетким числом (L-R)-типа тогда и только тогда, когда

где а - среднее значение (мода) нечеткого числа, а α,  - левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно.

Таким образом, нечеткое число можно представить в виде тройки параметров А= (а, α, ).

§ 2.4. Операции с нечеткими числами (l-r)-типа

Рассмотрим операции с нечеткими числами (L-R)-типа.

Если А=(а, , ), B= (b, , ), то операции над нечеткими числами (L-R)-типа примут вид:

1. Сложение: (а, , )_LR  (b, , )_LR = (а+b, +, +)_LR. (2.2)

2. Вычитание: если -(а, , )_LR =(-а, , )_RL, то

(а, , )_LR ⊝ (b, , )_RL = (а-b, +, +)_LR. (2.3)

3. Умножение:

а) A,B таких, что _A, _BF(R⁺), a>0, b>0;

(а, , )_LR  (b, , )_LR(аb, a+b, a+b)_LR; (2.4)

б) A,B таких, что _A, _BF(R), a<0, b>0;

(а, , )_RL  (b, , )_LR(аb, b - a, b - a)_RL; (2.5)

в) A,B таких, что _A, _BF(R), a<0, b<0;

(а, , )_LR  (b, , )_LR (аb, -b - a, -b - a)_RL. (2.6)

4. Обратное нечеткое число: A: _AF(R), a>0;

(а, , )^-1_LR =(1/a, /a², /a²)_RL. (2.7)

5. Деление: A,B таких, что _A, _BF(R⁺), a>0, b>0;

(а, , )_LR ⊘ (b, , )_RL  . (2.8)

Выражения (2.4)-(2.8) можно применять в случаях малых значений коэффициентов нечеткости , , , .

Пример 2.3. В качестве примера рассмотрим операцию расширенного сложения для нечетких чисел:

Функция принадлежности вычисляемого нечеткого числа (L-R)-типа имеет вид