Вища Математика для Економістів

Приклад 44. Розглянемо процес зростання грошової суми, покладеної у банк при умові нарахування 100r складних відсотків на рік. Нехай Y0 означає початкову грошову суму, а Yx - грошову суму через x років. Якщо б відсотки нараховувались один раз на рік, ми б мали

Yx+1 = (1+r)Yx,

де x=0, 1, 2, 3,.... Якщо б відсотки нараховувались два рази на рік (через кожні півроку), то ми мали б

Yx+1/2 = (1 + r/2)Yx,

де x=0, 1/2, 1, 3/2,.... Взагалі, якщо відсотки нараховуються n разів на рік і x приймає послідовно значення 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тоді

Yx+1/n = (1 + r/n)Yx,

тобто

Yx 1/n Yx rYx . 1/n

Якщо позначити 1/n = h, то попередня рівність перепишеться

так:

Yx h Yx rYx . h

Необмежено збільшуючи n (при n , h 0) ми в границі приходимо до процесу збільшення грошової суми при неперервному нарахуванні відсотків:

dYx rYx , dx

тобто при неперервній зміні x закон зростання виражений диференціальним рівнянням 1-го порядку. Відзначимо для ясності, що Yx - невідома функція, x - незалежна змінна, r - стала. Для розв’язання даного рівняння перепишемо його таким чином:

dYx	rdx		d lnYx rdx	d lnYx	rdx		lnYx rx C,
Yx

звідки Yx=erx+C, або Yx=Perx, де через P позначено eC.

Враховуючи початкову умову Y(0)=Y0, знайдемо P: Y0=Pe0, значить, Y0=P. Розв’язок має вигляд:

Yx=Y0erx.

462

Розглянемо ще одну економічну задачу. Найпростіші макроекономічні моделі також приводять до лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку, що описують зміну доходу або випуску продукції Y як функцій часу.

Приклад 45. Нехай національний доход Y зростає зі швидкістю, яка пропорційна його величині:

dY kY , dt

і нехай, крім того, дефіцит у витратах уряду прямо пропорційний доходу Y (при коефіцієнті пропорційності q). Дефіцит у витратах приводить до зростання національного боргу D:

dD/dt = qY.

Тут ми вважаємо змінні Y та D неперервними та диференційовними функціями часу t. Нехай початкові умови мають вигляд Y=Y0 та D=D0 при t=0. З першого рівняння ми отримаємо, враховуючи початкові умови, Y=Y0ekt. Підставляючи Y у друге рівняння, отримаємо dD/dt=qY0ekt. Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд D=(q/k)Y0ekt+С, де С=const, яку ми визначимо з початкових умов. Підставляючи початкові умови в отриманий розв’язок, ми маємо D0=(q/k)Y0+С. Таким чином,

D=D0+(q/k)Y0(ekt-1),

тобто, національний борг зростає з тою ж відносною швидкістю k, що й національний доход.

Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку знаходять застосування при вивченні, наприклад, економічної моделі павутиноподібного типу з запасами товарів, в якій швидкість зміни ціни P залежить від величини запасу. Якщо попит та пропозиція є лінійними функціями ціни, тобто

D = +aP, S = +bP,

а - стала, що визначає швидкість реакції (тобто зміни ціни при зміні запасів товару), то процес зміни ціни описується диференціальним рівнянням:

d2P (b a)P ( ). dt 2

Як частковий розв’язок можна взяти сталу

P P = ( - )/(b - a),

463

яка є ціною рівноваги. Відхилення p P P задовольняє тоді однорідне рівняння

d2P (b a)p 0. dt 2

Знайдемо загальний розв’язок цього рівняння. Характеристичне рівняння, в якому невідома позначена через k, буде таким:

	k2 + (b-a)= 0.
У звичайному випадку (a<0, b>0, >0)			член (b-a) додатний.
Введемо позначення		. Тоді корені характеристичного
	(b a)

рівняння будуть k1,2= i . Значить, загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:

p C cos( t ),

де C і є довільними сталими, які визначаються однозначно, якщо задані початкові умови. Таким чином, додаючи P , матимемо закон зміни ціни у часі:

P P C cos( t ).

Завдання для самостійної роботи

Довести, що задані функції, які залежать від довільних сталих, задовольняють відповідні диференціальні рівняння:

1. y sin x 1 Ce sin x ,	dy	y cos x	1	sin 2x.
	dx
		2

2.y Cx C C 2,

3.y2 2Cx C 2 ,

dy 2							dy		x 1 y 0.
							dx
dx
		dy				2				dy
y						2x					y 0.
		dx
										dx

4. y2 Cx 2 a2C ,

1 C

	dy			2	x	2
xy 1
	dx

y2 a2 dy . dx

Знайти диференціальне рівняння сім’ї кривих:

464

5. y Cx 2 .

6. y eCx .

7. y x C 3 .

8. y Cx 3 .

9. x 2 Cy2 2y .

10. y2 Cx x 3 .

Розв’язати рівняння з відокремлюваними змінними:

11.

ln cos ydx xtgydy 0.

12. 3e

x

tgydx

1

e

x

sec

2

ydy 0,

y(0) 4.

13.

y 2x y ,

y( 3) 5.

14. y sin(x y) sin(x y).

x y6 1dx y2 x 4 1dy 0,

16.

dx

dy 0.

15.

xy

x

xy

y

y(0) 1.

e

x

dx

siny cos xdy cosy sin xdx,

17.

1

1.

18.

dt

y(0) 4.

19.

20. 2x

yy

y

2.

y ctgx y 2, y(0) 1.

2

2

Розв’язати однорідні диференціальні рівняння:

21.

xdy ydx ydy.

22. xy y arctg

y

x,

y(1) 0.

x

23.

y ey x

y

.

24. y2 3x 2 dy 2xydx 0,

x

y(0) 1.

25.

xy sin y x x y sin y x .

26. xyy y2 2x 2.

27.

xy 2 y

.

x4

6x2y2

y4 dx

xy

28. 4xy x2

y2 dy 0,

y(1) 0.

29.

y

x y

.

30.

2 x y dy 3x 3y 1 dx 0,

y(0) 2.

x y

31. x 2y 3 dy 2x y 1 dx 0.

32. x y 4 dy x y 2 dx 0.

Розв’язати лінійні диференціальні рівняння:

33.

y

1 2x

y 1.

34.

y

ytgx sec x,

y(0) 0.

x 2

36. x y y 1 x 2 e x .

35.

y 2xy xe x2 .

n

a

38. 1 x 2 y y arctgx.

37.

y

y

, y(1) 0.

x

xn

y

x

y

cos2 lntg

.

39.

y

1 x 2 y arcsin x, y(0) 0. 40.

sin x

2

41.

2

y.

42. y

4

2x y

y.

y x y

465

Розв’язати рівняння у повних диференціалах:

43.2x 3 xy2 dx 2y3 x 2y dy 0.

44.eydx xey 2y dy 0.

			xdy						y
45.											1 dx.
			2		2			2		2
		x		y					y
						x
46.	x sin y dx x cos y sin y dy 0.
47.	x 2			y2		y dx 2xy x ey dy 0,
		y(0) 0.

48. y e x siny dx x e x cos y dy 0.

49.	x 2 cos x y dx xdy						0,		(x).
50.	x 2 y dx xdy 0,						(x).
	y 1 y		2				2
51.				dx x 1 y				y dy 0,

(y).

52.y 1 xy dx xdy 0, (y).

Розв’язати рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку:

53.	y arctgx.																					54.	y x sin x, y(0) 0,
	1 x 2 y y 2																						y (0)				0, y (0) 2.
55.																	1				0.	56.	1 x 2 y xy 2.
							1																					2
57.	y										.											58.	xy			x y y						0,
					4
								y
																							y(2) 2,					y (2) 1.
59.	yy y 2												y2 lny.									60.	y y y y 2									0.
	y4 y3y 1,																					62.	yy y 2								y .
																													yy
61.
	y(0)																	2
								2,													.
													y (0)					2
	y						y								2													, y 0
63.			y														0.					64.	y				x
											y														y e						0, y 0 1.
Розв’язати лінійні диференціальні рівняння другого порядку:
65.	y tgx y														2y 0.							66. x 2y ln x xy y 0.
						2x											2y					68. x 2y xy y 4x 3.
67.	y		x 2					1y							x 2 1						0.

466

69. y	x		y	1		y x 1.	70. 2x 2 3x y 6 x 1 y 6y 6.
	x 1			x 1
71. x 1 xy x 2 y y x 1 x .							72. 2x 1 y 2x 1 y 2y x 2 x.

Розв’язати лінійні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами:

73. 2y y y 2e x .

75. y 6y 9y 2x 2 x 3.

77. y 4y 4y 8 x 2 e 2x sin2x .

74. y a2y e x . 76. 2y 5y cos2 x.

78.y 2y e x x 2 x 3 , y(0) 2, y (0) 2.

79.	y 2y y	e	x		80.	y 4y 2tgx.
				.
		x 2
			1			y y 3 2 x 2 ,
81.	y(4) y xe x	cos x.			82.
						y(0) y (0)	y (0) 1.

Знайти положення рівноваги та рівняння:

83. x x 2.

85. x x 2 2x 3. 87. x sin x.

Розв’язати системи рівнянь:

	dx			4x 6y,
88.	dt
		dy		2x 3y t.
	dt
	dx			y t,
90.	dt									x(0) 1,	y(0) 0.
	dy			x			e	t		,
	dt
	dx						x			,
91.	dt					x y				x(1) 2, y(1) 4.
		dy					y			,
						x y
	dt

побудувати фазовий портрет

84.	x x 4 x 2.
86.	x x a bx ,	a,b 0.

	dx			e	3t	y,
89.	dt
	dy			2e		3t	x.
	dt

467

	dx			2x y cos t,
92.	dt
	dy			x 2sint.
	dt
	dx				t	,
94.	dt				y		t
	dy							.
							x
	dt

Розв’язати системи рівнянь:

	dx				5x 2y,
96.	dt
		dy			4x y.
	dt
	dx				3x 2y,
98.	dt
	dy				x y.
	dt
		dx
							y,
100.		dt
		dy
							4x.
		dt
		dx						7x	3y,
102.		dt
			dy					6x	4y.
		dt

dx

dt

97.

dy

dt

dx

dt

99.

dy

dt

dx

dt

93.

dy

dt

dx

95.dt

dy

dt

3x y,

x(0)

x y,

y x,

x 3y.

x 2 xy,

xy y2.

y

(x y)2 ,

x

(x y)2 .

1,y(0) 0.

	dx			x 4y,
101.	dt
	dy			x y.
	dt
	dx			4x 3y,
103.	dt
		dy		3x 4y.
	dt

Визначити характер положень рівноваги систем рівнянь, зобразити фазові портрети систем:

	dx			4x 6y,
104.	dt
		dy		3x 5y.
	dt

	dx			x 4y,
105.	dt
		dy		x y.
	dt

468

dx

dt

106.

dy

dt

dx

dt

108.

dy

dt

dx

dt

110.

dy

dt

0,

3x y.

2x y,

x 2y.

x y,

x 3y.

dx

dt

107.

dy

dt

dx

dt

109.

dy

dt

dx

dt

111.

dy

dt

x 2y,

2x 4y.

x 4y,

2x 5y.

7x y,

2x 5y.

112.Проінтегрувати диференціальне рівняння розширеного

відтворення dP H S P, вважаючи, що H, S, f – сталі. dt f

113. Через який проміжок часу відбудеться подвоєння сукупного національного продукту Р, якщо його залежність від часу відбиває

рівняння розширеного відтворення	dP		H S	P, де H=0,6; S=0,5; f=1.
	dt		f

114. Повні витрати виробництва є функцією від обсягу виробництва х. Граничні і повні витрати для всіх значень х задовольняють рівнянню y 4y x 0. Знайти функцію повних витрат, що задовольняє початковій умові у(0)=0.

115. Повні витрати виробництва є функцією від обсягу виробництва х. Знайти функцію повних витрат у, якщо відомо, що граничні витрати для всіх значень х пропорційні середнім витратам. Коефіцієнт пропорційності рівний k, початкова умова у(1)=1

(функцією середніх витрат називається функція S	f (x)	,	y f (x) -
	x
повні витрати).

116. Сумарний прибуток фірми є функцією у(х), де х – кількість виробленої продукції. Граничний прибуток фірми відповідає функції y 50000 x. Якою буде функція сумарного прибутку фірми, якщо нульовий випуск продукції дає нульовий прибуток.

469

x 2x 2

117. Виторг від продажу х одиниць товару описується функцією U(x). Граничний виторг - U (x) x 100. Яким буде виторг за продану продукцію, якщо виторг від продажу 100 одиниць продукції дорівнює

40000 грош. од.

118. Нехай еластичність виробничої функції y=f(x) відносно змінної х характеризується співвідношенням

Ex (y) 1 x x 2 .

Визначити саму функцію, якщо її графік проходить через точку

				x dy
	М(1,2)		(y)
		Ex		y dx			.

119. Нехай еластичність виробничої функції y=f(x) відносно змінної х характеризується співвідношенням Ex (y) a, a const. Знайти цю функцію, якщо її графік проходить через точку М(1,1).

120. Знайти залежність ціни p і попиту d від часу t, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями

d(t) p 4p p 17, s(t) 2p p 3p 5, p(0) 3,

d(0) 11, d(t) s(t).

ВІДПОВІДІ
5.				y 2y x .									6.	y exp xy y .									7.					y 3y2 3 .									8.										xy 3y .									9.
x 2y xy yy .													10.					2xyy y2 2x 3 .												11.				y arccoseCx .																						12.
1 e x 3 tgy 8 .													13.			2x			2y		3	.	14.						2sin x ln											tg y							2			C .						15.
																				32
3arctgx 2 2arctgy3 2 .																			16.																											1						1
																				x y 2						x		2			y		2ln											x						y						C .
17.						et C 1 e x .									18.															19.																										20.
																			cos x						cos y .												y 2 3 cos x.
																								2
	2						1 x																																	y												y
y				2 Ce						. 21. ln						y		x y C . 22.											2			2																								23.
																											x			y				exp												arctg								.
																																								x												x
ln			Cx			exp y x .									24.				y3 y2				x 2 .						25.					ln		Cx						cos y x .														26.
y2				4x 2 ln					Cx			.	27.	16xy y 4x Cx 2 2 .																28.				x 5 10x 3y2 5xy4																						1.

470

29. arctg y x lnC x 2	y2 . 30.	3x 2y 4 2 ln	x y 1		0 .	31.
x 2 xy y2 x 3y C .	32.	x 2 2xy y2 4x 8y C .				33.
y Cx 2e1 x x 2. 34.	y x cos x .	35. y e x2 C x 2			2 . .	36.

y e x ln x x 2 2 Ce x . 37. y a(x 1)xn . 38. y arctgx 1 Ce arctgx .

			arcsinx			1
39.	y arcsin x 1	Ce		. 40.	y tg x	2
							2

x 1 sin 2x C . 41. 4

	x Cy y2.									42.		x Cy2							y4					2.			43.							x 4 x 2y2 y4 C .														44.
	xey y2 C .								45. x arctg y											x C .						46.				1		x 2 x siny cos y C .																47.
																													2
		1																																				y x C sin x .
			x 3 xy2					xy ey			1.			48.				xy e x siny C .																49.														50.
	3
										51.																			52.																			53.
	x y x C .												xy					1 y2							C .													x 2	2x y C .
	y 1 2 arctgx x 2 1 1 2 x ln x 2 1 C1x C2 .																																															54.
	y x cos x 3 sin x x 2 2x .																		55.						y 1 C12 ln												x C1					C1x C2 .						56.
	y arcsin x 2																					57. x							4								2C1											58.
									C1 arcsin x C2 .																																			C1 C2 .
																																	y										y
																													3
	y 2 ln x 2 4 .
															59.						y							lny C1e x										C2e x .										60.
	y y				2	2			2				y	2				2								2			2										61.						y 1 e			x2			.
						C1		C1		ln y					C1												2C1 x 3C2 .
	62.												ln				y C1								C1			x C2 .																				63.
																							y C1
																					y
	y y				2	2			2				y	2				2								2			2										64.						y ln1 x					.
						C1		C1		ln y					C1												2C1 x 3C2 .

65.y C1 sin x C2 1 sin x lntg 4 x2 . 66. y C1x C2 ln x 1 .

67.	y C1x C2 x 2									1 .			68.				y x 3
y C e x C		2	x x 2				1.						70.				y C	x 3
1																	1
y C1	x 2			C	2		x					x		3		. 72.	y C1 2x
									1 ln
				x				2						2

73. y C1e x C2ex2 ex . 74. y C1 cosax

x C1 C2 ln		x				.		69.
C2 x 1 x .								71.
1 C2e x			x 2 1						.
							2
C2 sin ax							ex
										.
				a			2
								1

471