Вища Математика для Економістів

75.																											y C1								C2x e3x																					2					x 2								5						x					11				.										76.
																																																							9										27															27
y C1						C2e 5x										2								1						x					5						sin2x														1							cos 2x .																																77.
y C1							C2x e2x													10												164																							41
																					2x 2 4x 3 4x 2e2x																																									cos 2x .																																78.
		x			e			x						x 1 .																																						x
y e									x			2																				79.											y e																			C2x ln																		x		2											.	80.
																																																					C1																															1 xarctgx
y C1 sin 2x C2 cos 2x x cos 2x sin2x ln																																																																	cos x						.																81.
y C e 2									C		2		e x							C								3		sin x C												4			cos x													x 2							3x									e x					1			x sin x.												82.
		1																																																															8											4
y e x
						x 3.						83.									x 0 - точка пів-стійкої рівноваги. 84.																																																																x 0 - точка
пів-стійкої рівноваги,																																x 1									- точка нестійкої рівноваги, x 1 - точка
стійкої рівноваги. 85. x 1 -																																																	точка стійкої рівноваги,																																							x 3 -					точка
нестійкої рівноваги. 86.																																				x 0													- точка нестійкої рівноваги,																																									x a b -
точка стійкої рівноваги. 87.																																																	x 2 n																- точки																нестійкої рівноваги,
x 2n 1															-												точки												стійкої																			рівноваги																								(n				-		ціле).						88.
x C1						C2e7t													3							t(7t 2), y																						2			C1									1				C2e7t												1					14t 2					3t 1.								89.
																		49																														3												2																49
x C et								C e t														1					e3t , y C et																						C e t																	5		e3t .																										90.
		1							2											8																							1										2												8
x	1			3et 5e t																						1			tet			1, y														5			et				e t														2				tet					t.																		91.
																																													4
4																				2																																													2
x	1		t				2, y										2				t 4.																																																																									92.
															3
3																					1																																																														1
x (C				1			C t)et																cos t, y [C																				2		(1 t) C															1			]et 2cost																						sint.									93.
									2											2																																																														2
																																																																																								1
							2t								2t																					2t														2t																										C t2															C t2
x C e									C e												, y 3C e																			C e													.			94. x C e 1																										,		y						e		1	.	95.
		1										2																				1													2																				2																						2C1C2
x 2 y2								C		,			2x (x y)2																					C					2			.						96.										x C et C e3t , y 2C et																																		C e3t .
									1																																																								1											2												1					2
97.																																			x (1 t)e2t , y te 2t .																																																											98.
x e2t						((C1 C2 )cost (C1																												C2 )sint), y e 2t (C1 cos t C2 sint).																																																												99.
x (C				1			C t)e 2t , y (C																								2	C					1		C t)e 2t .																																																						100.
									2																																				2
x C e2t									C e						2t , y 2(C e2t																												C e 2t ).																																																		101.
		1									2																								1													2
x C1 cost C2 sint C3e																																										C4e															,
																																						3t																3t
						1										1																								1				e						C4											1				e									.
y C1								cost											C2 sint C3																												3t																							3t
						2																																	2																					2
															2

472

	102.			x C et C e10t , y 2C et								C e10t .												103.
					1		2				1		2
	x e 4t (C1 cos 3t C2 sin 3t), y e 4t ( C1 sin3t C2 cos 3t).																		104.				Сідло.
	105.	Центр. 106. Нестійкі точки рівноваги											прямої						y 3x .					107.
	Стійкі точки рівноваги прямої							y x 2. 108. Нестійкий фокус.																109.
	Нестійкий вузол. 110.						Стійкий вироджений						вузол.						111.			Стійкий
					H S	t									1					1			1
	фокус. 112.			P P e	f		. 113.	7 років.				114. y						x							e 4x .
				0									4						16			16
	115.	y xk .		116.	y 50000x				x 2	.	117.	U (x)		x 2			100x 25000.
								2					2			1
	118.		y 2(1 x x 2 ).				119.	y xa .			120.		p(t)						( e 4t			e t ) 3;
		1														9
	d(t)		( 31e 4t 4e t		) 14.
		9

473

Варіанти індивідуальних завдань

Завдання 1. Розв’язати рівняння:

1. а) 3 y2dx ydy x2ydy. 2. а) 5 y2dx 4 x2y y dy 0.

б) y					x2	2xy y2
											.
					2x2 2xy
в) y					2x y 3				.
					2x 2
г) y			3y				2			y 1 1.
					x	x3 ,

3. а) 4 y2dx ydy x2ydy.

б)

xy

3y3

14yx2

2y2 7x2 .

в) y

x 8y 9

.

10x y 9

y

1

y 1 x,

y 0 1.

г)

1 x2

5.а) 6xdx ydy yx2dy 3xy2dx.

б) xy 4x2 y2 y.

в) y 2x 3y 5 . 5x 5

г) y	y	x2,	y 1 1.
	2x
7.			а)

6xdx 6ydy 2x2ydy 3xy2dx.

б) y x2 2xy y2 . 2x2 2xy

в) y x 3y 4 . 3x 6

y y tg x cos2 x,

г)

y 4 12.

9. а) xdx ydy yx2dy xy2dx.

б) xy 42x2 y2 y.

б) y

x2 2xy 5y2

.

2x2 6xy

в) y

6y 6

.

5x 4y 9

г) y

xy

x

,

y 0

2

.

2 1 x2

2

3

4. а) x 1 y2 yy 1 x2 0.

б) xy 3 x2 y2 y.

в) y

y

.

2x 2y 2

г) y 4xy 4x3,

y 0 1 2.

1 x2

1 y2 1 0.

6. а) y y

б) xy

2x2 y2 y.

в) y

y 2

.

2x y 4

г) y 2xy 2x3,

y 1 e 1 .

8. а) x 5 y2dx y4 x2dy 0.

б) y x2 xy 5y2 . x2 6xy

в) y x 6y 7 . 8x y 7

y 2y x 1 x 1 3 ,

г)

y 0 12.

10.

а) 20xdx 3ydy 3x2ydy 5xy2dx.

473

в) y x y 8 . 3x y 8

г)

				2x		2x2			2
	y		1 x2		y 1 x2 ,			y 0 3 .

11. а) ex 8 dy y ex dx 0.

б) 2y y2 6 y 3. x2 x

в) y x 2y 3 .2x 2

г) y	y	sin x,	y	1	.
	x

13.

а) 6xdx 6ydy 3x2ydy 2xy2dx.

б) xy 3x2 y2 y.

в) y 2x y 3 .

	x 1
y	2	y ex x 1 2 ,
г)	x 1

y 0 1.

б)

xy

3y3

6yx2

2y2 3x2 .

в) y

x y 2

.

x 1

2xy

2

y 1 3.

y

1 x ,

г)

1 x2

12. а) x 3 y2dx y2 x2dy 0.

б) 4y

y2

y

x2 10 x

5.

в) y

x 4y 5

.

6x y 5

г) y

2

y x3,

y 1 5 6.

14. а) 1

x

ex y y ex .

б) xy

3y3

2yx2

2y2 x2 .

в) y

3y 2x 1

.

3x 3

y 1 1.

г) y y x 2 x2 ,

15.

2xdx 2ydy x2ydy 2xy2dx.

б) y		x2 xy 3y2					.
				x2 4xy
в) y				5y 5	.
			4x 3y 1
г) y	y
				x sin x,		y				1.
	x							2

17. а) y 4 ex dy ex dx 0.

б) y x 2y . 2x y

в) y 3x 2y 1. x 1

а) 16.

а) 4xdx 3ydy 3x2ydy 2xy2dx.

	б) xy				3y3 4yx2
					2y2 2x2 .
	в) y				4y 8	.

3x 2y 7

г) y 2xy x e x2 sin x,

y0 1.

18.а) e2x 5 dy y e2x dx 0.

б) y y2 8 y 12. x2 x

в) y	2y 2	.
	x y 2

474

	y y cos x	1	sin2x,
г)
	2
	y 0 0.

19. а) x 4 y2dx y1 x2dy 0.

б) y y2 4 y 2. x2 x

в) y x y 2 . 3x y 2

г) y	y	3x,	y 1 1.
	x

21. а) 1 x2 y xy2 x 0.

б) 3y y2 8 y 4. x2 x

в) y 3y x 4 .

	3x 3
y	1	y ex x 1 ,
г)	x 1

y0 1.

23.а) 3 ex yy ex .

б) xy 3y3 10yx2 . 2y2 5x2

в) y x 2y 3 . 4x y 3

y y ctg x 2x sin x,

г)

y 2 0.

25.

а) 6xdx 2ydy 2yx2dy 3xy2dx.

б) xy 23x2 y2 y.

в) y x 3y 4 .

		5x y 4
г) y		y			x 1		ex ,	y 1 e.
		x			x
27. а) 3 y2					1 x2yy 0.

	г) y			y	12			y 1 4.
			x		x3		,

20. а) y lny xy 0.

б) xy 32x2 y2 y.

в) y x 5y 6 .

7x y 6
г) y y ln x ,	y(1) 1.

xx

22.а) 5 y2 y y1 x2 0.

б) xy 3y3 12yx2 . 2y2 6x2

в) y 2x y 1. 2x 2

y y cos x sin2x,

г)

y 0 1.

24. а) 3 x2y y dy

2 y2dx 0.

б) xy

x2 y2 y.

в) y

x 2y 3

.

x 1

г) y

y

2

ln x

,

y 1 1.

x

x

26. а) 2x 2xy2

2 x2 y 0.

б) xy 2 x2 y2 y.

в) y

x y 2

.

2x 2

г) y xy x3 ,

y(0) 3.

28. а) 4 x2y xy2 x 0.

475

	б) y		x2 xy y2
							.
				x2
					2xy
	в) y			x 2y 3		.
				2x 2
	y			y	x2 2x,
		x 2
	г)
	y 1 3 2.

29. а) 2xdx ydy yx2dy xy2dx.

б) y x y .

	x y
в) y		3y 3	.
		2x y 1
г) y y x x2,				y(1) 0.

б) y x2 3xy y2 . 3x2 2xy

в) y y 2x 3 . x 1

y y cos x sin2x,

г)

y 0 3.

30. а) y 1 lny xy 0.

б) 2y

y2

y

x2 8 x 8.

в) y

x y 4

.

x 2

г) y

2x 5

y 5,

y 2 4.

x2

Завдання 2. Розв’язати задачу Коші:

1. а) y2dx x e2 y dy 0,

y

x e 2.

б)

y 2xy 2x3y3,

y 0

2.

в) x ey2 dx x2y ey2 tg2 y dy 0.

2. а)

y4 ey 2x y y,

y

x 0 1.

б)

2xy 3y 20x2 12 y3,

y 1 1 2

2.

1

1

в)

siny

y siny

dx x cosy cos x

dy 0.

x

y

3. а) y2dx xy 1 dy 0,

y

x 1 e.

б) 2y 3y cos x 8 12cos x e2x y 1,

y 0 2.

в)

ey dx cosy x ey dy 0.

4. а)

2 4y2 4y x y 1,

y

x 0 0.

б)

8xy 12y 5x2 3 y3,

y 1

2.

476

в) y3 cos x dx 3xy2 ey dy 0.
5. а)	cos2y cos2 y x y siny cosy,		y		x 1 4	3.
б)	xy y y2 ln x,	y 1 1.

				x
в)
			x	2	y	2

y dx x



		y
	x	2	y	2 dy 0.

6. а)

x cos2 y y2 y y cos2 y,

y

x

4.

б)

y y 2xy2,

y 0 1 2.

в)

2

sin x

y

2

dy 0.

cos x y

dx 2y cos x

7. а)

ey2 dx 2xydy ydy,

y

x

0

0.

б)

y y tg x 2

3 y4 sin x,

y 0 1.

в)

10xy

1

dx

5x2

x cosy

y2 siny3 dy 0.

sin

2

y

siny

8. а)

(104y3 x)y 4y,

y

x 8 1.

б)

y 4x3y 4 x3 1 e 4x y2,

y 0 1.

в) 5xy2 x3 dx 5x2y y dy 0.

9. а) dx xy y3 dy 0,

y

x 1 0.

б)

2 xy y y2 ln x,

y 1 2.

y

x

xdy

в)

e

dx

0.

2

y

2

x

2

y

2

x

10.а) 3y cos 2y 2y2 sin2y 2x y y,

y

x 16

4.

б)y 2y cth x y2 ch x,

y 1 1 sh1.

в) xy2 xy2 dx x2y x2 y3 dy 0.

477

11. а) 8 4y3 xy y y 1,

y

x 0 0.

б) y xy x 1 ex y2,

y 0 1.

в)

1

1

ex y

dx

1

x

ex y

dy 0.

2

y

y

12.

а) 2lny ln2 y dy ydx xdy,

y

x 4

e2 .

б) y y xy2,

y 0 1.

в)

x y dx x y dy

0.

x2 y2

13.

а) 2 x y4 y y,

y

x 2

1.

б) 2 y xy x 1 ex y2,

y 0 2.

в) xdx ydy xdy ydx x2 y2 0.

14.а)y3 y 1 dx 3xy2 y 1 dy y 2 dy, y

2.

б) y y xy2,

y 0 1.

x 1 4

y

y

1

y

в)

cos

dx

cos

2y dy 0.

x

2

x

x

x

15.а) 2y2dx x e1 y dy 0,

y

x e 1.

б) 2 y y xy2,

y 0 2.

в) sin2x 2cos x y dx 2cos x y dy 0.

16. а) xy

dy y2dx 0,

y

x 1 2 4.

y

б) 2y 3y cos x e 2x 2 3cos x y 1,

y 0 1.

1

3y2

2y

в)

dx

dy

0.

2

x

4

x

3

x

17.а)sin2ydx

sin2 2y 2sin2 y 2x dy,

y

x 1 2

4.

478

б) 4y x3y x3 8 e 2x y2,

y 0 1.

x

1

1

y

1

1

в)

2

y

2

y

dx

x

2

y

2

dy 0.

x

x

x

y

18.

а) y2

2y x y 1,

y

x 2

0.

б) 2 xy y xy2,

y 1 2.

в) xy2dx y x2 y2 dy 0.

19.

а) 2y

ydx 6x

7 dy 0,

y

x 4 1.

y

б) y 4x3y 4y2 e4x 1 x3 ,

y 0 1.

в) 3x3 6x2y 3xy2 dx 2x3 3x2y dy 0.

20.

а) dx siny 3cosy 3x dy,

y

x e 2

2.

б)

2y y cos x y 1 cos x 1 sin x ,

y 0 1.

x

y

1

в)

x e

dx

dy 0.

x

2

x

21.

а) chydx 1 x sh x dy,

y

x 1

ln2.

б) xy y xy2,

y 1 1.

y

1

в)

2x

1

dx

2y

dy 0.

x

2

x

22.

а) 13y3

x y 4y,

y

x 5

1.

б) 3 xy y xy2,	y 1 3.
в) y2 y sec2 x dx 2xy tg x dy 0.
23. а)y2 y2 4 dx 2xy y2 4 dy 2dy,		y		x 8	2.
б) xy y 2y2 ln x,	y 1 1 2.

479

в)

y

dx

xy 1

dy 0.

x2

x

24. а) x ln2 y lny y y 2,

y

x 2

1.

б)

2y 3y cos x e2x 2 3cos x y 1,

y 0 1.

в) 3x2 4y2 dx 8xy ey dy 0.

25. а) 2xy

dy 2y2dx 0,

y

x 1 2

1.

y

б) 3 xy y y2 ln x,

y 1 3.

dx

x y2

dy 0.

в)

y2

y

26.а)ydx 2x 2sin2 y y sin2y dy 0,

y

x 3 2

4.

б) 2xy 3y 5x2 3 y3 ,

y 1 1

2.

в) 3x2 ey dx x3 ey 1 dy 0.

27. а) 2 y3

y xy dy dx,

y

x 2 0.

б) 3xy 5y 4x 5 y4 ,

y 1 1.

в) 3x2y 2y 3 dx x3 2x 3y2 dy 0.

28. а) 2y x tg y y2 tg y dy dx,

y

x 0 .

б) xy y y2 ln x 2 ln x,

y 1 1.

в) 2 3xy2 2x3 dx 3 2x2y y2 dy 0.

29. а) 4y2dx e1 2y x dy 0,

y

x e 1 2.

б)

3y 2xy 2xy 2 e 2x2 ,

y(0) 1.

1 xy

1 xy

в)

dx

dy

0.

2

xy

2

x y

30.а)dx 2x sin2y 2cos2 y dy 0,

y

x 1 0.

480