Вища Математика для Економістів

X (1)	cost		sint
	e 6t		ie 6t	.
	cost sint		cost sint

Одержимо два лінійно незалежних частинних розв’язки:

cos t

e

sint

,

за

допомогою

яких

і

e 6t

,

6t

sint

cos t

sint

cos t

утворюється загальний розв’язок.

dx

1

5x1

x2 ,

Приклад 33. Розв’язати систему

dt

dx2

x1

3x2.

dt

Складемо характеристичне рівняння матриці системи

5 k

1

0,

або k 2 8k 15 0 , звідки k

4 .

1

3 k

1,2

Шукаємо розв’язки системи,

що відповідають власному числу k 4

кратності

2

у

вигляді

x

1

e

4t a t a

2

,

x

2

e 4t b t b

2

,

де

a1, a2, b1, b2

1

1

-

невизначені коефіцієнти. Обчислимо похідні цих

функцій та підставимо їх у систему:

e

4t

a1

4a1t 4a

2 , x

4t

b1

4b1t 4b2 ,

x1

2 e

a1 4a1t 4a2 5 a1t a2 b1t b2 ,

b 4b t 4b

2

a t a

2

3 b t b

2

.

1

1

1

1

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях змінної t , одержимо:

4a1 5a1 b1,

3b1,

a1 b1,

4b1 a1

4a2

5a2 b2,

b2

a1,

a1

a2

4b2

a2 3b2,

b1

Отже, x

1

e 4t C t C

2

,

x

2

e 4t C t C

2

C

1

.

1

1

a1 C1,

a2 C2,b1 C1,

b2 C2 C1.

Фазові портрети лінійних однорідних систем диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо систему

dx		1		a11x1		a12x2,
dt						(51)
dx2				a	21x1	a22x2,
	dt

442

яку називають динамічною і автономною. Нехай система (51) має дійсні розв’язки x1 1(t), x2 2(t), t R , тоді ці рівняння визначають криву на площині x1Ox2 . Ця крива називається фазовою

траєкторією системи, а картина, яку утворюють фазові траєкторії, фазовим портретом системи.

Очевидно,	що x1(t) 0, x2(t) 0 є	розв’язком системи, тому
точка 0,0 є	фазовою траєкторією.	Ця точка називається

положенням рівноваги системи (особливою точкою системи). В

системі (51) можливі три типи фазових траєкторій: точка, замкнена крива і незамкнена крива. Розв’язок, траєкторією якого є точка – сталий. Замкнена траєкторія відповідає періодичному розв’язку, а незамкнена – неперіодичному.

Матриця системи (51) має два власних числа. Розглянемо можливі ситуації.

I. Нехай власні числа k1, k2 дійсні, відмінні від нуля та різні

0 k1 k2 , тоді відповідні їм власні вектори e1, e2 є лінійно

незалежними і утворюють базис на площині. Загальний розв’язок системи (51) матиме вигляд

			x(t) C ek1te	1	C ek2te	2	,					(52)
			1		2
де C	, C	2	- довільні дійсні сталі. Позначимо						C ek1t ,		2	C ek2t
1								1	1			2

координати вектора x(t) в базисі e1, e2 . Легко бачити, що фазовий

портрет у випадку ортогональності базисних векторів буде симетричний відносно осей координат. У загальному випадку фазовий портрет зберігає риси симетрії. При C2 0, C1 0 фазова

траєкторія – додатна частина осі 1 , при C1 0, C2 0 фазова траєкторія – додатна частина осі 2 . Якщо k1 0 , то точка x(t) із ростом t рухається по додатній частині осі 1 в напрямку до початку координат, якщо k1 0 , то цей рух має протилежний напрямок – від початку координат. Аналогічне твердження можна сформулювати стосовно руху по додатній частині осі 2 . В інших областях фазовий портрет добудовується відповідно до вимог симетрії.

Нехай k1 0, k2 0 . Фазові траєкторії мають вигляд парабол. Рух відбувається в напрямку початку координат по додатнім

частинам

осей та

по

довільній

траєкторії всередині області

1 0, 2

0 . Якщо t , то точка рухається так, що її координати

нескінченно зростають, причому 2

зростає

швидше за 1 в силу

умови 0

k1

k2

.

Такий

фазовий

портрет

називається стійким

вузлом (рис. 5).

443

2

1

Рис. 5.

Якщо k1 0, k2 0 , то фазові траєкторії залишаються тими самими, але рух по ним відбувається в протилежному напрямку. Ми маємо нестійкий вузол (рис. 6).

2

1

Рис. 6.

Якщо k1 0 k2 , то фазові траєкторії мають вигляд гіпербол, а

рух по ним відбувається до початку координат вздовж осі 1 та в напрямку від початку координат вздовж осі 2 . Такий фазовий

портрет	називається сідлом (рис. 7). При цьому траєкторії
1 0, 2	0 називаються вусами (сепаратрисами) сідла.

444

2

1

Рис. 7.

Розглянемо вироджений випадок, коли одне з власних чисел

обертається в нуль. Нехай	k1 0, k2	0 ,	тоді загальний розв’язок
можна записати у вигляді	x(t) C ek1te		C e	2	. В	силу того, що
	1	1	2
2 const , то рух відбувається по прямим			2 const			в напрямку до

прямої 1 0 (рис. 8) або від неї в залежності від знака числа k1 . Всі точки прямої 1 0 є положеннями рівноваги.

2

1

Рис. 8.

II. Нехай власні числа k1, k2 комплексно-спряжені: k1,2 i ,

, - дійсні числа. Тоді їм відповідають комплексно-спряжені власні вектори e, e . Будь-який розв’язок системи (51) має вигляд (52), а будь-який дійсний розв’язок –

x(t) Cek1te	C	ek2t		,	(53)
			e

445

де C - довільна комплексна стала. Покладемо e f1 if2,								C a ib , де
числа a, b та вектори f1,				f2			дійсні. Тоді
x(t) f	1		2	f	2	,	2e t a cos t b sin t ,
1							1

2 2e t b cos t a sin t .

Якщо 0 , власні числа суто уявні k1,2 i , то

1 0 cos ( t ), 2 0 sin ( t ),

де 0 a2 b2 , tg ba . Кожна фазова траєкторія, крім положення рівноваги 0,0 , є замкненою (еліпс), і маємо фазовий портрет, який називається центром (рис. 9). Напрям обходу траєкторії залежить від знака (тут 0 ).

2

1

	Якщо 0 , то					Рис. 9.
			рівняння фазових траєкторій мають вигляд
		e t cos ( t ),		2		e t sin ( t ). Кожна траєкторія є
1	0				0

незамкненими (логарифмічною спіраллю у випадку ортогональності базисних векторів), а фазовий портрет називається фокусом. Якщо0 , то точка при зростанні t асимптотично наближається по траєкторії до початку координат. Маємо стійкий фокус (рис. 10). Якщо 0 , то точка при зростанні t віддаляється від початку координат в напрямку нескінченності, маємо нестійкий фокус.

446

2

1

Рис. 10.

III. Нехай власні числа k1,	k2 дійсні та рівні k1 k2 k . В
цьому випадку можуть виникнути ситуації:		відповідні власні вектори
e1, e2 утворюють базис; рівним	власним	числам відповідає лише

один власний вектор e , до якого можна підібрати інший вектор h , лінійно незалежний з ним.

У першому випадку загальний розв’язок системи (51) матиме вигляд

x(t) C ekte

1

C

2

ekte

2

x

0

ekt ,

(54)

де C1, C2

1

- довільні дійсні сталі. Записаний розв’язок має початкове

значення

0,x0 . При

k 0

кожний розв’язок задає пів-пряму, яка

виходить

з початку

координат.

При

k 0 рух

відбувається в

напрямку до початку координат (рис. 11),

при k 0 - від початку

координат (рис. 12).

При k 0

загальний

розв’язок записується у

вигляді

x(t) x0 , x0

C1e1

C2e2 ,

тобто

кожна

точка фазової

площини є точкою рівноваги.

447

y

0

x

Рис. 11.

448

y

0

x

Рис. 12.

У другому випадку загальний розв’язок системи (51) матиме вигляд

x(t) C	1	C	t ekte C ekth ,	(55)
		2	2
де C1, C2 - довільні дійсні сталі.			При k 0 маємо фазовий портрет,

який називається стійким виродженим вузлом (рис. 13), при k 0

- нестійким виродженим вузлом (рис. 14). При k 0			загальний
розв’язок	записується у вигляді x(t) C1	C2t e C2h . Рух
відбувається рівномірно по кожній з прямих 2		const .	Всі точки
прямої 2	0 є точками рівноваги (рис. 15).
			449

2

1

Рис. 13.

1

2

Рис. 14.

450

2

1

Рис. 15.

Приклад 34. Визначити тип положення рівноваги та характер

dx

x,

поведінки фазових кривих системи dt

dy

x 2y.

dt

Система має єдине положення рівноваги (0,0). Складемо

характеристичне рівняння матриці системи

1 k

0

0, або (1 k)(2 k) 0 , звідки k1 1,

k2

2 .

1

2 k

Власні числа

дійсні, різні і

додатні, тому точка рівноваги

(0,0) є

нестійким вузлом. Для k

1

1

, а для

1

знаходимо власний вектор

1

k

0

2

2 - вектор

.

1

На площині

xOy будуємо прямі

x y 0, x 0 ,

напрямними

векторами яких є вказані власні вектори. Кожна з цих прямих містить три фазові траєкторії: положення рівноваги та дві пів-прямі, на які пряма поділяється точкою рівноваги. Решта фазових траєкторій є частинами парабол, які дотикаються при підході до

точки (0,0) прямої x y 0 , бо

k1

k2

. Схематично фазовий

портрет системи зображено на рис. 16 .

451