Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков)
.pdfТа б л и ц а 3.5.
иУ
я |
я |
П |
д |
0.8 |
0.4 |
0.3 |
|
п |
0.4 |
0.8 |
0.4 |
л |
0.3 |
0.4 |
0.8 |
и "пасмурно", да и дождь может идти не по всему городу) и определяться, например, по сообщениям экспертов. Пусть в результате усреднения мнений группы экспертов ы0 задается как
X |
Я |
П |
Л |
|
0.4 |
0.5 |
0.1 |
Как узнать прогноз на завтра? |
Вспомним, что множество |
||
- частный случай отношения и представим его как отношение Wq с фиктивным одноэлементным множеством входов и нечетким множеством выходов. Теперь легко понять, что значение переменной "погода завтра" (u>i) определится с помощью соответствующего отношения Wi по формуле композиции отношений (3.49).1
Таким образом, W\ = До о W0 и, значит, |
например, |
|||
^ ( Я ) = max{min{0.1, 0.3}, |
min{0.5, |
0.4}, |
min{0.4, 0.8}} = |
|
= max{0.1, 0.4, 0.4} =0.4. |
|
|||
Итоговая таблица прогноза на завтра имеет вид |
||||
У |
я |
П |
Л |
|
Мо., (у) |
0.4 |
0.5 |
0.4 |
|
1 Чтобы убедиться в этом, нужно рассмотреть все возможные случаи типа "завтра ясно" ЕСЛИ { "сегодня ясно" И ("сегодня ясно" ВЛЕЧЕТ "завтра ясно") } ИЛИ {"сегодня пасмурно" И ("сегодня пасмурно" ВЛЕЧЕТ "завтра ясно") } ИЛИ {"сегодня дождь" И ("сегодня дождь" ВЛЕЧЕТ "завтра ясно") }. При этом надо учесть, что связки И, ИЛИ формализуются по табл. 3.4, а отношение ВЛЕЧЕТ задано в табл. 3.5.
111
Полученный результат можно снова подать на вход системы прогноза и получить новый результат "прогноз на послезавтра":
W7 = До wx = (Я О Я) о Ис-
правило вывода, соответствующее композиции нечетких отношений, называется композиционным правилом вывода и составляет основу нечеткой логики. В нечеткой логике значения истинности предложений лежат от нуля до единицы; закон исключенного третьего не выполняется.
Приведенный пример обнаруживает глубокую аналогию между понятиями "система" и "логическое исчисление" (аксиоматической или дедуктивной системы [114]). Действительно, значение входа системы соответствует в исчислении аксиомам и фактам (утверждениям), а отношение "вход - выход" (ММ системы) - набору правил (продукций, импликаций) исчисления. Вычисление значения выхода системы В по значению ее входа А соответствует шагу логического вывода по
правилу |
|
(Л, А-+В)=>В. |
(3.51) |
Единственное отличие системы от исчисления: на каждом шаге работы системы используется только текущее состояние, а исчисление обрабатывает все утверждения, выведенные ранее. Различие устраняется, если включить в состояние системы всю ее предысторию. Это показывает, что рассмотренные выше модели систем с конечной памятью пригодны для описания более узкого класса систем, чем логические исчисления. Однако это означает, что анализ моделей, заданных, как исчисления требует больше вычислений, т.е. недостаток обращается в достоинство.
3.7.3.Задачи группировки и упорядочения
Нечеткие отношения, как и обычные, могут обладать специ-
альными свойствами. Для отношения |
Я |
: X |
х X |
—• [0,1] |
|||
рассмотрим свойства: |
х) = 1 для всех х G Х\ |
|
|
||||
- |
рефлексивность |
Я(х, |
|
|
|||
- |
симметричность |
Я(х, |
у) = Я(у, х) для всех х, у € |
Х\ |
|||
- антисимметричность гшп{Я(х, у), |
R(y) |
х)} = 0 при х ф у\ |
|||||
- |
транзитивность |
Я(х, |
z) > т т { Я ( х , |
у), |
R(y, |
z)} для всех |
|
X, у, |
2 £ X. |
|
|
|
|
|
|
112
Отношение называется отношением сходства, если оно рефлексивно и симметрично. Рефлексивность и антисимметричность характеризуют отношение доминирования. Если к перечисленным свойствам добавляется свойство транзитивности, то отношение соответственно называют эквивалентностью и порядком. На основе введенных определений строятся процедуры решения двух практически важных задач.
Задача группировки (кластеризации, таксономии). На конечном множестве объектов {хь ...хп } задано отношение сходства (для любых двух объектов задана степень их близости, похожести). Требуется разбить все множество на группы объектов, близких между собой. Эта задача встречается при классификации минералов, материалов по их свойствам, систематике биологических организмов (видов), определении психологической совместимости коллективов. Процедура группировки состоит в том, что сначала исходное отношение сходства R преобразуется в отношение эквивалентности R путем транзитивного замыкания, 1 а затем производится разбиение на классы эквивалентности при различных величинах порога близости а. К одному классу относятся объекты х, у, для которых Д(х, у) > а.
Задача упорядочения. На конечном множестве объектов {xi,...,xn} задано отношение доминирования, т.е. указаны степени предпочтения для каждой пары объектов. Требуется линейно упорядочить объекты: указать наилучший, затем следующий за ним и т.д. Задача возникает, например, при выборе наиболее предпочтительного проектного варианта. Попарные предпочтения вариантов задаются независимыми экспертами или критериями сравнения. Ясно, что получается нечеткое отношение доминирования, поскольку для каждой пары объектов (xf, Xj) определяется Д(хп х; ) - число экспертов 2 (критериев), которые предпочитают х,, и число
1 Транзитивное замыкание - операция, которая строит по данному отношению R наименьшее транзитивное отношение, включающее R. Она выполняется по формуле
Д(х, у) = |
max min{/l(i, yi), Д ( у ь |
у)}. |
|
(п,У1 ,..,Уп) |
|
2 Строго говоря, числа Я(х,, х^) не удовлетворяют определению нечеткого отношения, так как могут не лежать в промежутке [0,1]. Можно их пронормировать, разделив, например, на максимальное, однако на результате, как видно из (3.52), это не отразится.
113
R(xj) я,) экспертов (критериев), предпочитающих xj. Аналогичные задачи возникают при оценке результатов работы и распределении премий в трудовом коллективе и т.п. Один из существующих способов решения задачи состоит [73] в построении так называемой функции полезности характеризующей степень предпочтения данного объекта, т.е. сводящей оценки разных экспертов в одну. Можно использовать следующую формулу:
(3.52)
Например, для отношения R(ii,Xj), заданного таблицей или графом (рис.3.18), получаем:
=min {г•f}= |
^ |
=min {i s} = v |
||
<р(х3) = min |
|
Л , |
|
|
что приводит к упорядочению: |
1) х3, 2) х ь |
|
3) х2. Отметим, |
|
|
X. |
|
XJ |
|
|
1 |
|
|
*s |
|
*1 |
|
3 |
|
|
- |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
2 |
|
xs |
5 |
8 |
- |
Рис. 3.18.
что если число объектов достаточно велико или бесконечно, следует применять более сложные методы, разработанные для распознавания образов и искусственного интеллекта
[ш].
114
3.7.4.Нечеткие числа
Рассмотрим свойства и применения нечетких подмножеств числовой оси 1Z1 = (-оо,+оо) - так называемых нечетких чисел. Над нечеткими числами можно производить арифметические и иные действия, правила выполнения которых вытекают из правил действий с отношениями (см. п. 3.7.2) и из того, что любую бинарную операцию можно рассматривать как тернарное (3-местное) отношение. Например, функция принадлежности нечеткой суммы С = А © В нечетких чисел Л, В имеет вид
/zc(;r)=sup min {^а{х)^в{у)}- |
(3.53) |
x+y=z |
|
Прикладной смысл нечеткого числа - это число, заданное с погрешностью. Лля того чтобы работать с такими числами, нужно задавать функции принадлежности и погрешностей, а это невозможно сделать во всех х £ И 1 в силу бесконечности множества TV. Один из способов преодоления этой трудности - использование нечетких L—Д-чисел (L—R - сокращение от "left - right").
Чтобы определить нечеткие L — Д-числа, на промежутке [0,оо) задаются две невозрастающие неотрицательные функции 1(х), Д(х), обладающие свойствами L(0) = Д(0) = 1. После этого функцию принадлежности нечеткого числа А определяют в виде
|
|
(3.54) |
где а - вещественное число, называемое средним |
значени- |
|
ем (употребляют также термины "центр", |
"мода") |
нечеткого |
числа; а > 0, /? > 0 - левый и правый коэффициенты |
нечетко- |
|
сти. Если L(x) = Д(х), а = /? , то нечеткое число |
называют |
|
симметричным. |
|
|
Примеры задания L - Д-чисел при L(x) |
= Д(я) |
приведе- |
ны в табл. 3.6, из которой видно, что L - Д-нечеткость можно интерпретировать как способ взвешенного учета погрешностей. Пример 1 соответствует обычному четкому числу без погрешности. Выбрав способ из примера 2, мы выражаем уверенность в том, что искаженное погрешностью число
115
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Т а б л и ц а 3.6. Примеры нечетких L-Л-чисел |
|
|
|
||||
Функция L(x) |
График функции |
График функции |
|||||
|
|
принадлежности |
|||||
|
Цх) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
П |
|
JC |
||
|
|
|
М |
г—1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
* |
|
« I |
a |
1 , |
|
|
|
1 |
|
а-а |
a+fi |
х |
||
|
L(x) |
|
кИ |
|
|
|
|
' \ 0, 2>1 |
К 1 |
* |
|
|
а |
|
х |
|
|
|
|
||||
|
Цх) |
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
' " Ж |
|
|||
|
V |
|
х |
||||
L{x) = e" |
К |
* |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L(x) = e-*2 |
дг |
|
|
а |
|
х |
|
^ ад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
а |
|
х |
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
'""74 |
|
|||
|
|
X |
|
|
а |
|
х |
116
должно лежать в промежутке от а— до а+ и не может ока-
заться где-то |
в другом месте. Это обычный способ |
учета |
||
погрешности |
путем указания |
ее границ. |
Примеры 3 |
- 6 , 1 |
соответствуют различным промежуточным случаям. |
|
|||
Поскольку функции L(x), |
R(x) задаются заранее и не ме- |
|||
няются, для выполнения действий с L — Л-числами достаточ- |
||||
но помнить лишь тройку А = |
{а,а,/?}. Правила арифметики |
|||
L — Л-чисел |
вытекают из общих правил |
арифметики нечет- |
||
ких чисел (см. например, (3.53)) и напоминают правила распространения ошибок в приближенных вычислениях. Если Л = {а,а,/3},Я + {Ь,7,6}, то
А® В = {а + Ь,а + 7,/3 + б},
АПВ = {аб, ау + Ьос + cry,аб + Ь/3 + (16}, (при а,Ь > 0).
Если В - четкое число (7 = 5 = 0), то АПВ = {аб,а|Ь|,/?|6|}. Другой способ работы с нечеткими числами состоит в том,
что числовая ось (отрезок) дискретизируется, т.е. разбивается на несколько участков. После этого каждый участок "размывается", т.е. описывается некоторой функцией принадлежности, и числовые переменные превращаются в лингвистические. Этот способ эффективен при построении моделей сложных систем со значительной неопределенностью исходных данных, а следовательно, и результатов. Число градаций (участков дискретизации) должно быть невелико. Психологи рекомендуют брать его в пределах 5 ± 2 градаций.
3.7.5.Вероятность или нечеткость?
Продемонстрируем на простом примере разницу между стохастическим и нечетким подходами. Пусть сделано несколько измерений х ь хп некоторой неизвестной величины а с погрешностью, не превосходящей величины а. Требуется оценить значение а и определить погрешность оценки.
Предположим, что в качестве оценки выбрано среднее арифметическое х = х%- При стохастическом подходе мы постулируем, что х, случайны и независимы, Afx, = а, и, поскольку погрешность может быть произвольным числом из [-а^а], считаем, что х,- равномерно распределены на [а-сца+а].
117
Отсюда Dxi = (2а)2/12 = а2 /3. В силу независимости Dx =
(1 /n)Dxi = а2 /3п и по формуле (3.46) из центральной |
предель- |
ной теоремы получим, что |
|
\ х - а \ < 2 a / \ / b |
(3.55) |
с вероятностью 0.95. Аналогичный вывод справедлив и при неизвестном а. В этом случае нужно заменить в (3.55) а на
|
|
а |
\ |
|
|
|
|
|
П = 1 |
|
|
Примем теперь нечеткую модель измерений. |
Естественно |
||||
представить измерение как нечеткое L-R-число |
Х, = {а,а,а} |
||||
со следущей |
характеристикой: L(x) = R(x) = 1 при 0 < х < 1, |
||||
L(x) = R(x)= |
0 при х > 1, т.е. как в примере 2 табл. 3.6. То- |
||||
гда |
= {па,па,па}, откудаX = {а,а,а}, т.е. погрешность |
||||
оценки определится неравенством |
|
||||
|
|
|
|х - а| < а. |
(3.56) |
|
Сравнивая (3.55) и (3.56), мы видим, что интервал (3.55) меньше примерно в у/п раз. Это получено за счет эффекта усреднения. Если же нет уверенности в том, что погрешности ведут себя нерегулярно и уничтожаются при усреднении, то доверять (3.55) нельзя и мы возвращаемся к оценке (3.56). Однако за нечетким подходом остаются дополнительные возможности. Например, имея информацию о том, что малые значения погрешностей встречаются чаще, чем большие, мы можем взять функции L(x))R(x)1 как в примере 3 из табл. 3.6. Соответственно меняется функция принадлежности X и (3.56) уточняется.
Кроме того, если п мало, например п =10, то проверить правомерность усреднения практически невозможно. В результате оценка погрешности при п =10 по (3.55) получается всего в 2.7 раза меньше, чем по (3.56), причем она верна лишь в 95% случаев и при труднопроверяемых предположениях.
Отметим, что |
выбор |
х в качестве оценки не |
единствен- |
но возможный. |
В духе |
нечеткой теории можно взять "лин- |
|
гвистическую" оценку: |
х = х ь и х2) и..., и хп. |
Поскольку |
|
/ii(x) = mini[ixt (x), для симметричных L-R-чисел |
при строго |
||
убывающей R(x) |
> 0 получим х = (maхх, + minxj)/2. |
||
118
В заключение следует заметить также, что кроме описанных в (3.53) вариантов действий с нечеткими множествами имеется еще несколько, среди которых наиболее употребителен способ, заимствованный из теории вероятностей:
ЦАС\В{Х)=11А{Х) -/Мх)> ЦАив{х)=ЦА(х) +/*£ (*) ~ ( * ) ' Vв{
|
(3.57) |
Операции, определенные в (3.57), называют иногда произве- |
|
дением и суммой нечетких множеств. |
|
3.8. |
Хаотические модели |
3.8.1, |
От колебаний - к хаосу |
Сравнительно недавно, в 70-х годах XX века, в науку о математических моделях вошло новое понятие, перевернувшее многие привычные представления, - понятие хаоса (точнее, детерминированного хаоса). Хаотические системы предоставили исследователям новый класс моделей неопределенности, отличающихся по своим свойствам как от стохастических, так и от нечетких моделей. Если в детерминированной модели будущую траекторию можно предсказать на сколь угодно большое время вперед, зная текущее состояние системы, а в стохастической модели точный прогноз, вообще говоря, невозможен даже на сколь угодно малое время, то в хаотической модели ошибка прогноза растет экспоненциально и, следовательно, возможен прогноз на ограниченное время вперед, определяемое допустимой ошибкой прогноза. Процессы в хаотических моделях имеют вид нерегулярных колебаний, в которых меняется, "плавает", как частота, так и амплитуда.
Колебательные процессы часто встречаются в природе и технике, поэтому формы их описания непрерывно развива-
ются и совершенствуются. В течение многих лет, до |
начала |
||
XX в. основным видом математических моделей колебаний в |
|||
механических, электрических и других |
системах считались |
||
линейные дифференциальные уравнения, |
например |
|
|
y{t) + u7y{t) = 0, |
0 < t < оо. |
(3.58) |
|
119
S(a>) |
j |
|
|
|
1 |
! |
! |
|
|
|
|
: |
: |
|
|
|
: |
: |
|
|
|
; |
; |
|
|
|
; |
: |
|
|
|
; |
i: |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
; |
|
|
|
i |
i |
(О |
Рис. 3.20. Периодические колебания (о/, = 1,2,4).
S(o>) |
; |
i |
|
||
|
|
; |
|
|
! |
|
!
;
:
I . i
(О
Рис. 3.21. Квазипериодические колебания (ы, = 1, 5/7г.)
120