Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков)

сти, для описания передатчика не будем использовать общую нелинейную модель (3.97), а ограничимся классом систем Лурье, представляемых как соединение линейной динамической и нелинейной статической подсистем (3.83), (3.84). Модулируемые (информационные) параметры, согласно рекомендаций п. 4.1, введем в модель линейно. Таким образом, модель передатчика принимается в виде

			т
		xd = Axd +В	Y^	Vd = Cxd)			(6.26)
			i=l
где xd G TZn -		вектор состояния передатчика; yd € TZ -					скаляр-
ный выход (передаваемый сигнал); в = col (0Ь ... , 0Ш) -							вектор
параметров		передатчика.	Предполагается, что		нелинейно-
сти (fi(-)	(г =	1,2, . . . , т ) матрицы Л, С и вектор			В	известны;
0Ь ... , в т	могут изменяться во времени, так как они					содержат
информацию о сообщении, которое подлежит передаче.
На первом этапе синтеза				приемника будем считать век-

тор параметров в постоянным и пренебрежем шумом в канале связи, т.е. будем считать, что принимается сигнал yd. Таким образом, приемник представляет собой другую динамическую систему, которая строит оценки 6{ (г = 1 , . . . , т ) параметров передатчика на основе наблюдения за передава-

емым сигналом yd(t). Задача состоит в получении	уравнений
приемника
z = F(z1yd)1	(6.27)
* =	(6.28)
обеспечивающих сходимость
Hm (6(t) - в) = 0,	(6.29)

где 6(t) = col (#i(0> • • • >0m(O) ~ вектор оценок параметров. Предлагаемый ниже приемник относится к классу адап-

тивных наблюдателей и имеет вид:
х = Ах+В	, у = Сх,	(6.30)
0г\ = ф{{уа,у)у	i = 0 , l , . . . , m ,	(6.31)

191

где х € Кп - вектор состояния адаптивной модели передатчика; в0 € 71 - вспомогательный настраиваемый параметр.

Синтез алгоритма адаптации (6.31) выполним методом скоростного градиента, см. п. 4.3. Состоянием приемника является z = (я,0о>0ь • • • Естественной вспомогательной целью может служить

lim e(t) = 0,	(6.32)
f—оо
где e(t) = x(t) — xd(t) - ошибка наблюдения.

Хотя условие (6.32) не является необходимым для обеспечения (6.29), оно подсказывает способ выбора подходящей

целевой функции для синтеза алгоритма адаптации (6.31), а
именно выберем	целевую функцию в виде Q{e)	= 1 т Ре, где
т	положительно определенная п	х п-матрица.
Р = Р > 0 -

Очевидно, достижение цели (6.32) эквивалентно соотноше-

нию lim^oo Q(e{t)) =	0, т.е.	асимптотической			(при	t —• оо)
минимизации функции	Q(e).
Лля решения задачи запишем уравнение ошибки:
е = Ае + В		+	,	У = Се,		(6.33)
где в{ = в{-в{ (г = 1 , . . . , т )		-	ошибки	оценки	параметров;
у = yd — У- В соответствии		с методом		скоростного		градиен-

та вычислим скорость изменения Q(e) в силу системы (6.33):

Q(e, в) = еТ Р i^Ae +	В £	0m{yd) + 0оуj	,	(6.34)
а затем вычислим частные производные			(г = 0,1,... га) -
компоненты вектора скоростного градиента			VqQ} где	в =
= col ( 0 o J u . . . , L ) :
= ePB<pi{yd),		i = 1,2,... , m,
				(6.35)
= e	PB(yd-y).
дв0	УУ	У)

Выражения (6.35) непригодны для непосредственного использования в алгоритме адаптации, поскольку они зависят от

192

вектора ошибки e(t)) недоступного для измерения. Однако эту трудность можно преодолеть, если потребовать выполнения соотношения РВ = С , равносильного тождеству е РВ = у — удТогда алгоритм адаптации, получаемый методом скоростного градиента, имеет вид:

^ = -7.(2/ -	Vd)4>i{Vd)i i = 1,... ,	га,	(6.36)
^о	= ~~7о(у — yd)2-		(6.37)

Кроме того, для применимости алгоритмов скоростного градиента требуется так называемое условие достижимости цели: существование значений настраиваемых параметров 0*, таких что Q(e,0*) < 0 при е ф 0. Это равносильно выполнению

при некоторых Р,		0J матричного неравенства РА0 + А0Р					< О,
где Ао = А + ВвцС. Как показано в [63, 106], разрешимость							ма-
тричных соотношений РА0			+ А0 Р < 0, РВ = С эквивалентна
тому, что	линейная часть		системы	(6.33)	гиперминимально-
-фазовая,	т.е. числитель		функции	W(A)	= C(AIn — А)"1		В -
гурвицев многочлен степени п — 1. Это и является						условием
достижения цели (6.32) в системе (6.33), (6.36), (6.37).
Если, кроме того, вектор-функция f(t)					= со1(у?! (^(0)» • • •
••• , ¥\n(l/<f(0)) ограничена и удовлетворяет условию						постоян-
ного возбуждения		(ПВ): существуют а > 0, Т > 0, такие что
		J f{s)f{s)Tds>aI				(6.38)
		t

для всех t > 0, то достигается и исходная цель (6.29). Проведенный теоретический анализ позволяет решать ши-

рокий класс задач адаптивной синхронизации. В качестве примера далее рассмотрена задача синхронизации двух цепей Чуа.

6.2.2.Передача сообщений на основе синхронизации с использованием систем Чуа

Пусть в качестве передатчика и приемника используются системы Чуа. Модель передатчика в безразмерной форме имеет вид

7	Б. Р. Андриевский и др.	193

*dx	=	p{*dt	~ x<h + /(*<*,) +		e/i(®a,)),
Xd3	=	Xdl -	Xdj	+ XJ3,	(6.39)
idi	=	-qxd7,
где f(z) = M0z	+	0.5(Aft	-	M0)fx(z), /,(*)	= |z + 1| - \z - 1|;

M0)Mi,p}q - параметры	передатчика.	Пусть 5 =	s(t)	- сооб-
щение, которое следует	восстановить	в приемнике.		Предпо-
ложим, что передаваемый сигнал имеет вид yd(t)			=	а

значения параметров Мо,МХур}q известны .

В соответствии с вышеизложенным, приемник описывается

уравнениями
хх	=	р(х2 -	хх + f{yd) + cxfx{yd)	+ с0(хх - yd)),
х2	=	х х - х 2	+ х3)	(6.40)
	=	-9*2,

где с0,с! - настраиваемые параметры. Алгоритм адаптации (6.36), (6.37) принимает вид

			со = - 7 о Ы - * 1 ) 2 ,								( б 4 1 )
			с\	=	- T i ( * i
где 7o,7i ~ коэффициенты усиления									алгоритма.
Исследуем возможность системы (6.40), (6.41) получать и
декодировать		сообщения.				Лля		этого проверим условие ги-
перминимально-фазовости						(см.		п.	6.2.1),	предполагая,	что
s(t) = const. 1		Из уравнения ошибки следует, что
		=	р{е2 -ех				+ (сх	- s)fx(yd)		+ cq€X),
	ё2	=	е х - е 2		+ е3)						(6.42)
где е,	= Х{ — xdi,		i =	1,2,3.			Система (6.42), очевидно,				имеет
форму	Лурье	(6.33), где вх				= с ь		вх = s, 0О = О),
	'	-Р	Р	0 "				'	1 '
	А =	1	- 1	1		,	В =		0	С = [10 0].
		0	-я	0					0
1 Если s(t) -		изменяющийся во времени, например, двоичный сигнал,
то результаты п. 6.2.1, строго говоря,								неприменимы. Однако если			оцен-

ки параметров сходятся достаточно быстро, во всяком случае быстрее, чем происходят изменения параметров передатчика, то сообщение будет принято приемником.

194

Рис. 6.3. Аттрактор системы (6.39) (а) и выход передатчика

(6).

Передаточная функция линейной части системы имеет вид

ЩА) =	Д2 +	Л + <?	.	(6.43)
Видно, что порядок системы	п	= 3, а так	как	числитель -

гурвицев многочлен 2-й степени для всех q > 0 и всех вещественных р, то условие гиперминимально-фазовости выполняется при q > 0 и любых р, М0, Таким образом, обеспечивается ограниченность всех траекторий приемника x(t) и сходимость ошибки наблюдения e(t) —• 0. В частности, y<i{t) — X\(t) —• 0. Далее, для того чтобы иметь возможность восстановить сигнал s(t)} приемник должен обеспечить сходимость Ci(£) — s —• 0 для каждой постоянной s. Согласно

п.6.2.1, это имеет место при выполнении условия ПВ, которое

вданном случае записывается как

to+T
/ fi{Vd{t))dt>a	(6.44)

Для некоторых Т > 0, а > 0 и всех to > 0. Лля проверки (6.44) заметим, что условие (6.44) по существу означает, что траектория передатчика x<i(t) не сходится на плоскость xdi = 0 при t —* оо. Интуитивно ясно, что это верно, если система (6.39) обладает хаотическим поведением.

195

6.2.3.Результаты вычислительных экспериментов

Приведем результаты моделирования описанной выше сис-

темы. Примем следующие значения параметров:	р = 9, q =
= 14.3, Mq = 5/7, Mi = —6/7. Для этих значений	параметров

система (6.39) обладает стохастическим хаотическим аттрактором (рис. 6.3, см. также стр. 127). Начальное состояние передатчика Xrf(O) = [0.3,0.3,0.3] . Начальное состояние приемника х0 и начальные значения настраиваемых параметров с0(0), Ci(0) приняты нулевыми. Для устранения влияния начальных условий никакое сообщение не передавалось в течение первых 20 единиц времени ("настройка", или "калибровка", приемника), т.е. принято s(t) = 1 для 0 < t < 20.

После периода настройки передается сообщение, имеющее вид "прямоугольной волны":

(6.45)

где s0 = 1 005, 52 = 0.005.

5-модель приемника (6.40), (6.41) представлена на рис. 6.4.

Результаты		моделирования для Т0 =	5.0,	= 5.0 показаны
на рис.	6.5.	Рис. 6.5, а соответствует	"идеальному"		каналу
связи, в котором сигнал передается без искажений и					yd(t)	=
=	Как видно из графиков, восстановленный сигнал					y(t)

совпадает с переданным сигналом yd{t) с высокой точностью. Вычислительный эксперимент не только качественно согласуется с теоретическим анализом, но и дает дополнительную количественную информацию о скорости достижения цели. Однако для практики этого мало: требуется добиться работоспособности алгоритма синхронизации в условиях шумов. На рис. 6.5, 6 показана реализация сигнала на выходе приемника при действии в канале связи аддитивного случайного возмущения в виде дискретного белого шума с интерва-

лом дискретности 0.01 и параметром а = 10~4.

Видно, что погрешность оценивания сигнала велика и не дает возможности осуществлять надежный прием сообщений. Для уменьшения влияния возмущений выходной сигнал приемника пропустим через НЧ-фильтр первого порядка с постоянной времени 0.3. Как видно из рис. 6.5, 5, точность системы существенно повышается. На рис. 6.5 через s(t) обозначен параметр передатчика; s(t) - его оценка, полученная по (6.40),

196

Рис. 6.5. Идентификация параметра источника сообщения при: а = 0 (а), а = 10"4 (£).

197

(6.41) ( s(t) = Ci(t)); sj(t) - выход НЧ-фильтра.

Лля дальнейшего повышения точности оценивания следует увеличивать коэффициент усиления в алгоритме адаптации 7х. Разумеется, при учете помех в канале измерений достижимая скорость передачи информации ограничена и зависит от наибольшей частоты спектра несущего сигнала. Лля уменьшения влияния помех применяют различные способы огрубления алгоритмов (используются также термины регуляризация, робастификация): введение отрицательной обратной связи или зоны нечувствительности в алгоритм адаптации, фильтрация ошибки оценивания и т.д.

Приведенные примеры дают представление о практике математического моделирования: теоретический анализ должен дополняться вычислительным экспериментом. Рекомендации теории основаны на более простых моделях и поэтому отличаются большей общностью, но не учитывают многих деталей. Используя полученные выводы как первое приближение и уточняя их на более полных и более точных компьютерных моделях, можно получить более полные и практически ценные рекомендации. Удачный выбор гаммы моделей различной степени сложности - это искусство, от которого зависит удача всего исследования. А чтобы научиться этому искусству, надо решать новые и новые задачи, ставить новые и новые увлекательные вычислительные эксперименты.

Ивсе-таки я, рискуя прослыть Шутом, дураком, паяцем,

Иночью и днем твержу об одном: Не надо, люди, бояться!

Не бойтесь сумы, не бойтесь тюрьмы, Не бойтесь мора и глада, А бойтесь единственно только того,

Кто скажет: "Я знаю, как надо!"

Александр Галич

ЗА К Л Ю Ч Е Н И Е . МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МО Д Е Л И Р О В А Н И Е - ВЧЕРА, СЕГОДНЯ,

ЗА В Т Р А

Когда-то считалось, что явление изучено, если построена его математическая модель. Понадобился гений Р. Лекарта

иопределенный уровень развития науки, чтобы сформулировать новый принцип: для каждого явления возможны несколько моделей: вопрос в том, какая из них самая точная. Сегодня мы начинаем понимать, что, как правило, нельзя сказать: одна модель лучше, чем другая. Лаже в рамках одного

итого же исследования могут одновременно использоваться несколько моделей сообразно с целями исследования и доступными вычислительными средствами.

Заметим, что многие из приведенных в книге понятий и подходов (например, само определение системы) родились в кибернетике и теории автоматического управления и несут отпечаток своего происхождения. Тем не менее они носят универсальный характер и полезны в задачах, где управление отсутствует. Впрочем, граница между задачами с управлением и без оного в математическом моделировании является "нечеткой". Например, при проектировании математическая модель используется для так называемого предварительного синтеза: структура и параметры модели и решения выбираются, когда реальной системы еще не существует. Напротив, в задачах управления синтез решения (выбор управляющего воздействия) осуществляется в процессе работы системы на основе текущей информации о ее поведении (так называемый совмещенный, или управляемый, синтез). Однако это означает просто, что управляемый синтез решения требует больше текущей, но меньше априорной информации, предоставляя новые возможности исследователю,

199

проектировщику или конструктору системы. Таким образом, разница между системами "с управлением" и "без управления" не носит качественного характера. Это видно и из формального определения системы (см. п. 1.2 ): система со входом превращается в систему без входа, если множество возможных значений входа является одноэлементным.

На протяжении книги мы рассматривали и исследовали различные математические модели, в том числе динамические модели, отражающие наличие памяти в системе. Подавляющее большинство динамических моделей относится к двум большим классам: модели состояния и модели "входвыход". Исторически модели состояния стали изучаться гораздо раньше, начиная с первых моделей небесной механики (закон всемирного тяготения), появившихся еще в XVII в. Целый ряд их свойств для механических систем был изучен еще Ж. Лагранжем, а систематические и достаточно общие теории были развиты на рубеже XIX - XX веков в трудах А.М.Ляпунова, А.Пуанкаре, Лж.Биркгофа и др. Интересно, что во многих исследованиях по механике и физике входные переменные вообще не упоминались. Это было связано с тем, что систематически не рассматривались задачи, требующие активного и целенаправленного воздействия на систему в реальном времени, т.е. задачи управления.

Необходимость решения достаточно сложных задач управления и развитие теории электрических цепей привели в 40-х годах XX в. Г.Воде, Г.Найквиста и других ученых к созданию линейной теории управления на языке "вход-выход", которая была позже названа "классической" и в свою очередь привела к росту популярности моделей "вход-выход" в кибернетике и общей теории систем. После получения Р.Калманом фундаментальных результатов по теории линейных систем в пространстве состояний поток исследователей теории систем и теории управления разделился: часть продолжала работать на языке переходных и передаточных функций, другая - стала изучать модели состояния. К концу XX в. эти направления в значительной степени слились и теория управления, по существу, стала "двуязычной", обогатив технику прочным фундаментом для решения задач проектирования технических систем со встроенными управляющими устройствами.

200