Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков)

для так называемых жестких систем.1 Сведения о жестких ОДУ и методах их интегрирования приведены в [74, 87, 97].

2.2.4.Применение системы SIMULINK

Рассмотрим решение задачи о постановке машины в гараж (п. 1.3) в среде системы визуального моделирования SIMULINK. Программа моделирования SIMULINK, хоть и имеет текстовое представление, создается и используется исследователем в виде блок-схемы (S-моделъ), в которой содержится описание рассматриваемой системы и задаются требуемые действия

[29].	Основным действием является моделирование системы,
т.е.	расчет протекающих в ней процессов в зависимости от
времени.		5-модель для рассматриваемой задачи показана на
рис. 2.4.		Блок Step - источник ступенчатого входного сиг-

Step

Gain

Integrator Integrator

Soope

Рис. 2.4. 5-модель системы (1.4).

нала. Указаны следующие значения параметров настройки:

Step time (длительность ступеньки) - t l ; Initial value (начальное значение) равно b; Final value (конечное значение) равно

-а.

Блок Gain - усилитель. Параметр Gain (коэффициент передачи) установлен равным 1/т.

Блок Integrator - интегрирующий блок. Приняты заданные по умолчанию значения параметров, в частности нулевые начальные условия (параметр Initial condition).

Блок Scope - индикатор. Служит для вывода результатов в процессе интегрирования в "электронное окно". Параметры блока могут быть настроены после моделирования с помощью выводимых на панели окна кнопок [29].

Диалоговое окно 5-модели имеет меню Simulation (моделирование), которая включает опцию Parameters (параметры).

1 Следует заметить, что для рассматриваемого примера точность в значительной степени зависит от того, насколько близко лежат точки i', К к дискретной последовательности t. При попытке использовать lsim с неравномерным шагом по времени выводится сообщение об ошибке.

51

Эта опция содержит несколько окон. При моделировании зададим в окне Solver (решатель) значение параметра Stop time (время окончания), равное Т, а в окне Workspace I/O (ввод-вывод в рабочую область) зададим значения параметров Time (время) и States (состояния) - t и х соответственно. Это дает возможность выводить массив моментов времени и состояний системы в рабочую область MATLAB для последующей обработки, а не только отображать индикатором Scope. 5-модель может быть запущена командой Start из меню Simulation. При этом должны быть заданы (содержаться в рабочей области MATLAB) численные значения всех параметров, обозначенных в модели идентификаторами. Представляется более удобным запускать SIMULINK на выполнение из MATLAB-программы. Эта программа должна содержать установку параметров модели, оператор моделирования, операторы обработки результатов. С этой целью используем приведенную выше головную программу интегрирования уравнений, заменив в ней только строчку обращения к процедуре ode45:

[t,x]=ode45('fpl _ 2',[0; T],x0);

на оператор sim запуска 5-модели. В рассматриваемом примере эта модель хранится в файле sl_2.mdl, поэтому соответствующий оператор имеет вид sim( ' s l _ 2 ' ) . В результате выполнения программы получаем относительную погрешность не более 2"13 % (т.е. близко к "машинному - е"), а время вычислений - порядка 0.06 с.1 При вычислении выполнено пх = 59 шагов; наименьший шаг имеет длину 1.5 • 10"14 с и соответствует моменту времени t\ а наибольший - длину 0.074 с. Как видно из полученных результатов, система SIMULINK является не только удобным, но и эффективным в вычислительном отношении инструментом моделирования.

1 Лля оценки времени вычислений использованы операторы tic и toe.

С чем рифмуется слово "истина" - Не узнать ни поэтам, ни гражданам!

Александр Галич

ГЛАВА 3. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ М О Д Е Л И

3.1.Классификация моделей

Этап построения математической модели (ММ) системы разбивается на две части: выбор структуры и выбор параметров. Как было сказано в п. 1.2, структура сложной системы определяется типами моделей каждой ее подсистемы и характером связей (отношений) между ними. Все многообразие имеющихся типов ММ можно классифицировать по нескольким основным признакам, см. табл. 3.1.

Т а б л и ц а З . 1 . Математические модели систем

Статические	Динамические
y(t) = F(u(t))	y(t) = F({u(s) - 0 0 < 5 < < } )
Дискретные (U, У, Т -	Непрерывные (U, У, Т -
конечные (счетные)	континуумы (прямые, отрезки,
множества)	тела в многомерных
	пространствах))
Летерминиров анные	Стохастические;
	нечеткие
Сосредоточенные (уравнения	Распределенные (уравне-
конечные,1 разностные,	ния с запаздыванием,
обыкновенные	в частных производных,
дифференциальные)	интегральные)
Линейные	Нелинейные
Стационарные (параметры	Нестационарные (параметры
не меняются со временем)	изменяются со временем)

Кроме того, структура модели определяется также набором размерностей - количеством переменных (входа, выхода, состояния) и параметров. Прежде всего следует дать краткую характеристику основным типам ММ.

1 То есть алгебраические, или трансцендентные .

53

3.1.1.Статические и динамические модели

Математическая модель системы называется статической, если значение выхода y(t) зависит от значения входа в один и тот же момент времени t. Символически это свойство записывается так:

у(0 = W 0 ) ,

(3-1)

где F - символ некоторого преобразования (оператора). Кроме явных функциональных зависимостей (3.1) статические модели могут задаваться неявно, в виде уравнения или системы

ф ( у ( 0 , « ( 0 ) = 0 .

(3.2)

Так обычно записываются уравнения статических режимов радиоэлектронных схем, многих механических, энергетических систем и т.д. Уравнение (3.2) должно быть однозначно разрешимо относительно y(t).

Статическими моделями пользуются, когда в рамках поставленной задачи (с точки зрения достижения выбранной цели) инерционностью и "памятью" реальной системы можно пренебречь. Это возможно при выполнении ряда условий,

вчисло которых входят следующие:

1)система устойчива, т.е. переходные процессы после скачкообразного изменения входов затухают. Конечное время затухания с заданной точностью обозначим через *пер;

2)входы меняются медленно, т.е. Д£вх > fnep, где Д*вх - время между изменениями входных воздействий;

3)выходы изменяются редко, т.е. Д*вых > £пер, где Д£вых =

=h+i — tk ~ промежутки между измерениями входных вели-

чин.

В динамических моделях значение y(t) может зависеть от всего прошлого (предыстории) входного процесса:

у(0 = *•({«(«). *<«})•

(3-3)

Динамические модели позволяют учесть наличие "памяти", инерционности системы. Математическим аппаратом описания динамических систем являются дифференциальные, разностные уравнения, конечные автоматы, случайные процессы. Некоторые классы динамических моделей рассмотрены в п. 3.3.

54

3.1.2.Дискретные и непрерывные модели

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества С/, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное 1 множество. Под непрерывным (континуальным) будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью является отрезок, луч или прямая линия, т.е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества {/, Т лежат в многомерных пространствах, т.е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики)

d(x}y) (например, d(x)y) =|	х — у |). Числовые	множества
являются упорядоченными:	отношение порядка	следования

(х < у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции, 2 например линейные: х + у, х • у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (3.1)—(3.3) быть согласованными с этими операциями и сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: у = аи + Ь, dy/dt = ay + Ьи и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.

1 Строго говоря, счетное множество представляет собой некоторую идеализацию, которую невозможно реализовать практически из-за конечности размеров технических систем и пределов человеческого восприятия. Такие идеализированные модели (например, множество натуральных чисел N = {1,2,...} ) имеет смысл вводить для множеств с конечным,

но заранее не ограниченным (или неизвестным) числом элементов.

2 Формально понятие операции является частным случаем понятия отношения между элементами множеств. Например, операция сложения двух чисел задает трехместное (тернарное) отношение R: тройка чисел (х,у, z) принадлежит отношению R (пишем (х,у, г) € R)} если z = х + у.

55

Т а б л и ц а 3.2. Детерминированные модели систем

	Статические			Динамические
	Дискретные	Непрерывные	Дискретные по Т			Непрерывные по Т
	по Uy У	по U, У	Дискретные	Непрерывные	Дискретные		Непрерывные
			по U, У	по U, У	по U, У		по U, У
Математи-	Графы; таблицы	Функции веще-	Конечные	Разностные	Асинхронные		Обыкновен-
ческий ап-	соответствий; бу-	ственных пе-	автоматы [92]	уравнения	автоматы; сети		ные дифферен-
парат опи-	лева алгебра;	ременных [118]		[75]	Петри;	модели	циальные
сания	предикаты				теории	распи-	уравнения
	[88, 82]				саний [77, 96]		(ОДУ)
Методы	Методы матема-	Методы ин-	Теория конеч-	Идентифика-	Методы иден-		Идентифика-
оценки па-	тической логики	терполяции;	ных автома-	ция; теория	тификации		ция; численное
раметров	[82]	аппроксима-	тов [92]	устойчивости			интегрирова-
и анализа		ции [9]		[95, 75]			ние ОДУ
							[72, 95, 9]
Методы	Карты Карно;	Методы опти-	Методы синтеза	Динамическое	Динамическое		Теория управ-
синтеза	метод Куайна;	мизации (ли-	микропрограммных программиропрограммиро-				ления; методы
	дискретное про-	нейное и не-	автоматов;	вание; дис-	вание; теория		оптимизации
	граммирование	линейное про-	динамическое	кретный прин-	расписаний		[72, 95]
	[48]	граммирова-	программиро-	цип макси-
		ние [80, 22])	вание [88, 114]	мума [75]
Области	Ре лейно-контакт-	Количествен-	Цифровые САУ;	Импульсные	Параллельные		САУ; механи-
примене-	ные схемы; им-	ные модели	логическое	и цифровые	процессы		ческие; тепло-
ния	пульсные и логи-	исследования	управление	САУ			вые; электрон-
	ческие схемы;	операций					ные и другие
	качественные						процессы
	модели исследо-
	вания операций

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность У. Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем (табл. 3.1.2) по признакам "статические - динамические", "дискретные - непрерывные" включает шесть основных групп; для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Пример 3.1.1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, грубом, приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (ui) и человек без жетона (и2), т.е. U = {^i, i^}- После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (-гг0), т.е. U = {u0, Множество значений выхода содержит элементы "открыто" (у0) и "закрыто" (yi). Таким образом, У = {yo,2/i} и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:

u(t)	У(0
"0	Уо
"1	Уо
и2	У1

При необходимости хранить ММ системы в памяти компью-

тера	ее можно представить				(закодировать) в виде матрицы
F =	" 1 1 0 "			или более	экономно, в		виде списка (0,0,1),
	0	0	1
в котором на г - м месте стоит						если	значению входа	\
соответствует значение выхода уу

П р и м е р 3.1.2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание жетона и прохождение человека. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения("есть" или "нет"). Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и0 - "нет

57

воздействия", u\ - "опускание жетона", и2 - "прохождение". Множество У можно задать так же, как и в примере 3.1.1.

Однако теперь значение выхода y(t)		не определяется только
значением	входа u(t), а зависит еще и от того,		был	ли опу-
щен жетон	раньше, т.е. от значений	при s	< t.	Система

имеет "память". Простейший тип ММ для описания дискретных систем с памятью - это конечный автомат [92]. Для его построения вводится конечное множество внутренних состояний системы Х} определяющее "память". В данном случае в X достаточно включить два элемента: xQ - "жетон не был брошен", хх - "жетон был брошен". Значения состояния системы в следующий момент времени и выхода в текущий момент зависят от текущих значений состояния и входа, т.е.

х(к + 1) = F(*(fc), tt(*))f у(к) = G(x(k), и(к)), (3.4)

где к - номер момента времени такта. Отметим, что, выделив "текущий" и "следующий" моменты времени, мы незаметно ввели предположение о дискретности времени, которое при более детальном исследовании может оказаться неправомерным (см. ниже п. 3.3.3). Функцию переходов F(x)u) и функцию выходов С(х,гг) можно задать таблично:

		"о	«1 Щ		"о	щ	«2
F(x,u).	*0	*0		, G(x,n): *0	Уо	Уо	У\
			*0		Уо	Уо	Уо

Можно также построить графы переходов и выходов:

Пример 3.1.3. Рассмотрим простейшую электрическую систему - ЛС-цепь (рис. 3.1), входом которой является напряжение источника u(£) = £"о(0> а выходом - напряжение на

58

конденсаторе y(t) = E\(t). Закон Кирхгофа дает ММ системы в виде дифференциального уравнения первого порядка

ту = и-у)

(3.5)

где г = RC - постоянная времени цепи. Модель (3.5) полностью непрерывна: U = Y = Т = R1. Если исследователя

R

		о
	• х	ЕЛО
	"Г

Рис. 3.1. Электрическая схема ЯС-цепи.

интересует поведение системы в статических режимах, т.е. при E0{t) = const, то нужно положить в (3.5) у = 0 и получить статическую модель

у(0 = «(0- (з-б)

Моделью (3.6) можно пользоваться как приближенной в случае, когда вход Eo(t) изменяется достаточно редко или медленно (по сравнению с г).

Пример 3.1.4. Рассмотрим экологическую систему, состоящую из двух взаимодействующих популяций [95, 74, 52, 90], существующих на некоторой территории. Предположим, что система автономна, т.е. внешними воздействиями (входами) можно пренебречь; за выходы системы примем численности популяций (видов) y\{t),y2{t). Пусть второй вид является пищей для первого, т.е. система относится к классу "хищник - жертва" (например, ух - численность лис в лесу, у2 - численность зайцев; или у\ - число бактерий возбудителей заболевания в городе, у2 - число заболевших и т.д.). В данном случае у\, у2 - целые числа, и на первый взгляд в ММ системы множество У должно быть дискретным. Однако для построения ММ удобнее считать, что ух, у2 могут принимать произвольные вещественные значения, т.е. можно перейти к непрерывной модели (при достаточно больших ух, у2 этот переход не внесет существенной погрешности). При этом мы сможем пользоваться такими понятиями, как скорости изменения выходных переменных = у\, ^jff- = у2. Простейшая

59

модель динамики популяции получается, если предположить, что:

-при отсутствии хищников численность "жертв" растет экспоненциально;

-при отсутствии "жертв" численность хищников убывает экспоненциально;

-численность "съеденных" жертв пропорциональна числу

хищников и числу жертв, т.е. величине у\у2.

При этих предположениях динамика системы, как нетрудно видеть, описывается так называемой моделью Лотки-Во- льтёрра:

У\ = ау\ - Ьугу2) у2 = сухУг - dy2,

(3.7)

где а, 6, с, d - положительные параметры. Если есть возможность изменять параметры, то они превращаются во входные переменные, например когда изменяются коэффициенты рождаемости и смертности видов, коэффициенты размножения бактерий (при введении лекарств) и т.д.

3.2.Примеры исследования моделей

3.2.1.Исследование четырехполюсника

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 3.2. Эта цепь является пассивным двухступенчатым режектор-

F-11-nU

Рис. 3.2. Режекторный аналоговый фильтр.

ным (заграждающим) фильтром, применяемым в системах управления для устранения влияния упругости механических

60