Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков)

К уровню 5 сложности относят задачи, решение которых возможно только на уровне открытий, т.е. планировать их решение нельзя.

5.2.2.Подходы к решению задач структурного синтеза

формализация задач структурного синтеза возможна на основе следующих подходов [72]:

-перебор вариантов из архива типовых структур;

-перебор вариантов, генерируемых из библиотечных элементов;

-последовательный синтез;

-выделение варианта из обобщенной структуры;

-использование эвристических приемов;

-сведение задачи синтеза к задаче дискретного математического программирования;

-использование специфических особенностей предметной области.

Решение задачи синтеза в рамках любого подхода обычно имеет поисковый характер. Как правило, на каждом шаге поиска выполняются следующие процедуры: 1 - выбор или генерация очередного варианта; 2 - оценка варианта; 3 - принятие решения о дальнейших действиях.

Основные действия по синтезу структуры выполняются в первой из этих процедур. Результат выполнения первой процедуры, полученный на очередном шаге, может быть использован для замены или модификации результатов предыдущих шагов.

5.3.Методы и алгоритмы структурного синтеза

Метод полного перебора допустим для задач второго уровня сложности. При реализации полного перебора необходимо упорядочить множество исследуемых вариантов, чтобы исключить возможность пропуска вариантов или анализа одних и тех же вариантов более чем по одному разу.

Метод ветвей и границ: на каждом шаге поиска вместо оценки отдельного варианта осуществляется оценка группы вариантов. Если результат такой оценки отрицателен, то вместо одного варианта исключается группа вариантов, что существенно уменьшает число шагов поиска.

181

Метод И-ИЛИ-дерева реализует идею выделения варианта из обобщенной структуры [72].

При описании структуры объекта в виде дерева элементы представляются ветвями, причем элементы одного уровня входят в один ярус ветвей. Каждый элемент первого уровня представляется как система, состоящяя из элементов второго уровня. С помощью ветвей также изображаются признаки элементов. (Ветви, соответствующие признакам элементов помечаются, например, буквой "П"). И-ИЛИ-дерево получается путем объединения отдельных деревьев, описывающих конкретные варианты структуры. Если в объединяемых деревьях встречаются ветви одинаковых признаков или элементов, то в И-ИЛИ-дереве эти ветви изображаются без дублирования. Если в объединяемых деревьях содержатся ветви разных признаков или элементов, то каждый из них в И-ИЛИ-дереве изображается самостоятельной ветвью. Эти ветви могут быть инцидентными узлам двух типов - И или ИЛИ. К узлам типа И Л И подключаются ветви, соответствующие альтернативным вариантам, которые могут одновременно присутствовать в конкретной структуре. В базу данных, содержащую сведения об И-ИЛИ-дереве, должны быть включены данные об условях использования элементов и признаков обобщенной структуры. Эти условия представляются в форме, допускающей их сопоставление с требованиями конкретных технических заданий. На основе такого сопоставления происходит выделение частной структуры из обобщенной. Если в выделенной структуре к какому-либо узлу типа И Л И подключено более одной ветви из одного и того же яруса, то имеющееся техническое задание может быть выполнено с помощью более чем одного варианта структуры.

Данный способ представления знаний о структуре проектируемого изделия находит широкое применение при постро-

ении экспертных	систем.
В алгоритмах	последовательного синтеза выбирается не-

который начальный элемент, к которому поочередно по определенным правилам добавляются новые элементы вплоть до образования законченной структуры. Примером такого алгоритма является последовательный алгоритм компоновки

электронных устройств.

Никто никогда ничего не знает наверняка.

Иосиф Бродский

ГЛАВА 6. П Р И М Е Р Ы РЕШЕНИЯ З А Д А Ч МАТЕМАТИЧЕСКОГО М О Д Е Л И Р О В А Н И Я

6.1.Предсказание курса акций

Вернемся к рассмотренному в п. 3.6 примеру анализа курса акций компании. Рассмотрим задачу предсказания курса по известным данным. В качестве исходного процесса, подлежащего прогнозированию, примем представленный на рис. 3.15, (стр. 101) процесс изменения курса акций компании "Coca Со1ая" после выделения из него линейного тренда [49]. Процесс z[k] имеет нулевое среднее и отличается от исходного процесса у[к] линейной составляющей у[к] = ос + (Зк с параметрами а = 47.3, /3 = 0.0541. Полученное в результате прогноза z[k] используется для предсказания курса акций у[к] по формуле у[к] = у[к] + z[k].

Используем линейную регрессию.

Для рассматриваемых задач наиболее близкой среди из-

вестных линейных моделей	[58] является	авторегрессионная
(АР)-модель. Рассмотрим ее более подробно.
АР-модель представляет собой линейное разностное урав-
нение
у[к] + аху[к - 1] + а2у[к -	2] + • • • + аПау[к - па] = е[к], (6.1)

где к = 0,1,2,... - дискретное время (номер итерации или

выборочного момента	времени);	а,- (г	= 1,2,...па )	- параме-
тры модели. В это уравнение белый			шум е[к] входит как его
непосредственная ошибка.
Настраиваемые параметры модели образуют вектор
в =	[аь а2 , ...,аП в ] .			(6.2)
Введя многочлен от z"1 как A{z)		= l+a!Z"l +a2 z"2 H		banez~n°>
получим описание модели в операторной форме:
	i4(z)y[fc] =	е[к).		(6.3)

Приведем уравнения предсказателя для этой модели.

183

Используя (6.1), получаем:
y[fc|0] = (l-A(z))y[fc].		(6.4)
Теперь введем вектор
¥>[*] = [ - У [ к ~ 1 ) , .	па]]Т.	(6.5)
Тогда (6.4) можно переписать в виде
у[к\6) = <р[к]Т6 =	вГ<р[к],	(6.6)

где вектор параметров модели в определен выражением (6.2).

Таким образом, для систем с одним выходом			предсказатель
описывается в виде скалярного произведения			вектора в и из-
вестного по результатам измерений до момента к - 1 (вклю-
чительно)	вектора <р[к].
В математической статистике модель (6.6)			называют	ли-
нейной регрессией, а вектор		<р - регрессионным	вектором	(ре-
грессором).	Если некоторые из коэффициентов многочлена А
известны	(т.е. не подлежат идентификации), нетрудно полу-
чить линейную регрессию		вида
	№ е] = г[к]Те + ф],			(6.7)
где слагаемое /х[к] также известно по измерениям до момента
к- 1.
При определении параметров моделей нашел широкое при-
менение метод наименьших		квадратов. Лля его применения

уравнения предсказателя (6.7) записываются в виде линейной

регрессии	(6.7).	Ошибка предсказания			6[к}в] =	у[к] - у[к\ в ]
имеет вид 6[к}в]		=	у[к] — (р[к] в. Используем			критериальную
функцию
	JN(6,ZN)		=	-			<6-8)
				к=1
Значение	=	argт\пе€ рм Jjv(0, ZN)			для данной		функции
Jh(9,Zn) может		быть		получено аналитически;		оно	предста-
вляет собой оценку параметров методом					наименьших		квадра-
тов (МНК, LSE), которая получается из выражения

N

(6.9)

к=\

184

Любая оценка, удовлетворяющая уравнениям (6.9), доставляет глобальный минимум функции «7^(0, ZN). Система (6.9) из d линейных уравнений относительно в^ называется системой нормальных уравнений. Если матрица в левой части (6.9) невырожденная, то получается (единственное) значение МНК-оценки Off:

6LNS = I	N	(6.10)

Уравнения МНК (6.8)—(6.10) можно записать в матричной форме. Лля этого введем УУх^-матрицу

т
Г „[!]'
т
Фл/ =	(6.11)
im1
и iVxl-вектор
r»w
» и	(6.12)
ly[N)\
Лля многомерного случая, когда у[к]€Ир}	полагаем

^ = [г/[1]Т,1/[2]Т)...,у[ЛГ]т]Т€7г^)

Флг =	Ml],v(2],. ••	~ {Hp* 1)-матрица.
Перепишем критерий (6.8)		в виде
МО) =	- ф*0||2	= -jfiYN - <S>n0)t(Yn - Ф„в).	(6.13)
Нормальные уравнения (6.9) тогда принимают вид
		=	(6.14)
Если det$^<$/v ф 0, получаем МНК-оценку
	eLNs = ( Ф > N)~l$rNYN.		(6.15)

185

Матрица (Ф^Фуу^Фдг является псевдообратной (для Фдг) 1 матрицей, Ф^ = (ФууФуу)~1Флг. Поэтому (6.15) можно переписать в виде

= Ф+ Y„.

(6.16)

Таким образом, уравнение (6.15) дает псевдообратное решение для переопределенной (при N > d) системы линейных уравнений Y^ =

В [58] рассматривается также "взвешенный"			критерий
	N	2
MOtZN)	= £ > [ * ] ( у [ * ] -		(6.17)
	к=\
или
	N	2
j ^ e ^ » )	= X > W * ] ( y [ f c ] - ф } Т е )	.	(6.18)

к=1

Это связано со следующими причинами:

1.Наблюдения могут иметь различную "надежность". Например, некоторые из них могут содержать большие возмущения и, следовательно, должны иметь меньшие веса.

2.Наблюдения могут иметь изменяющуюся информативность. Например, линейная модель может оказаться слишком грубым приближением для описания системы в некоторой области изменения <р. Наблюдения, относящиеся к такой области, должны иметь меньший вес.

Введем диагональную матрицу Q s = diag{a!,... ,an }. Перепишем критерий (6.17) в виде

	JN(0) = (Yn - ФNefQN(YN			-	Ф„в) й ||У„ -			(6.19)
Минимум (6.19) достигается				при
	On =							(6.20)
1	Псевдообратной	по	Муру-Пенроузу		матрицей	для всякой		пхга-
матрицы Я называется			матрица	Я+	= \im6 ^o(H	Н + б 2 ! ) ' 1 Я .		Если
Я -	nxn-матрица и det Я ф 0, то			Я +	= Н"1 . Если столбцы Я			линей-
но независимы, то Я +		= (Я Я)~*Я . Выполнено также: (Я ) +					= ( Я + ) ,
Я+ = ( Я Т Я ) + Я Т = Я Т ( Я Т Я ) + , Я Я + Я = Я, Я + Я Я + = Я + (см.,							например,

М ) .

186

Как показано в [58], формулой (6.20) можно пользоваться и для произвольной Qn = Qjsf > 0.

Для критерия (6.18) можно также записать выражение МНКоценки в виде, полностью аналогичном (6.10)

( ж X > w • (6-21)

Будем искать параметры предсказателя для АР-модели вида (6.1)

z[k] + axz[k - 1] + a2z[k - 2] + • • • + anaz[k - n j = е[к]. (6.22)

Уравнения предсказателя имеют вид (6.4), (6.6) с вектором параметров модели в вида (6.2), т.е.

¥>[*]= [-	# - ! ] , . . . , - # -па)}]\	(6.23)
г[к\	9] = <р[к]Те = 6Т<р[к]}	(6.24)

где вектор параметров модели в определен выражением (6.2). Указывается значение р - "сдвиг вперед". Оно показывает, на сколько тактов вперед нужно получить прогноз и значение 71 - порядок АР-модели. По выбранному методу получаются оценки значений параметров АР-процесса. Для этого используется процедура аг, которая входит в состав библиотеки программных модулей SYSTEM IDENTIFICATION ("Идентификация систем") [58, 139, 140]. Возможно использование

методов:

ЧЪ'	- метод прямой и обратной аппроксимации
		(принят по умолчанию);
'Is'	-	метод наименьших квадратов;
'yw'	- метод Юла-Уолкера (Yule-Walker);
'burg'	-	метод Бурга (Burg);
'gl'	-	метод решетчатого фильтра.

Найденные значения параметров регрессионной модели используются при переходе от mema-формы к представлению системы уравнениями состояния: [A,B,C,D,K,X0]=th2ss(th).

187

Здесь параметры А,С,К содержат матрицы регрессионной модели, представленной разностными уравнениями

	х[к + 1] = Ах[к] + Ке[к],			у[к] = Сх[к]\			(6.25)
матрицы 5, D для АР-модели не используются. Параметр ХО
задает оценку начального состояния системы.
В	программе формируется		массив		tm	моментов времени
tk =	кТ0} к = 1,2,... р. Вычисляются				р-я	и (п — 1)-я степе-
ни матрицы А : Ар=А~р; Ап=А~(п-1).					Лалее		для вычисле-
ния	начального состояния	находится			матрица		наблюдаемо-
сти [3, 6, 95, 75]		Г	С?	'
	Q .

с помощью процедуры obsv тулбокса CONTROL SYSTEMS [74, 61]: Q= obsv (А , С). Эта матрица позволяет найти начальное состояние х0, чтобы получить заданную начальную по-

следовательность выхода {z[-n -hi],... ,z[0]} изт соотношения

xq = Q~lZk> где вектор Zk = [*[fc-n + l], ... ,z[k]] [6]. Процесс формирования вектора Z* и пересчета начального состояния производится на каждом шаге к (начинал с к = п + р) для вычисления прогноза: yl=z(k - p - n+l:k - p); x_=inv(Q)*yl. Из уравнения (6.25) следует, что если известно состояние на А:-м шаге, то его прогноз на fc + p-шаге (полагаем е[к] = 0) получается по формуле х[к + р\к] = Арх[к]. Для вычисления соответствующего значения выхода используем формулу у[к + р\к] =

= САпх[к + р\к] : хр=Ар*х_;	yp(k)=C*An*xp. Лалее	вычисля-
ем ошибку прогнозирования	e = z - y p ( l : l e n g t h ( z ) )	и относи-
тельную среднеквадратическую ошибку
	s e = s t d ( e ) / s t d ( z ) .

Лля восстановления вида исходной последовательности и сравнения ее с прогнозом учитываем линейный тренд

ypr=alpha#ones (size (ур)) +beta*tp' +ур;

Результаты использования АР-модели для заданной последовательности при прогнозе на один и четыре шага представлены на рис. 6.1, 6.2.

Из анализа полученных результатов видно, что точность АР-модели в незначительной степени зависит от выбора метода, а в большей степени - от порядка модели п. С ростом

188

Одношаговый прогноз по AR- модели ( п=5)
Uob а,	1	.	—	!I	'	jI " —!.
				«		1	/ /
				уЮ\		\
				•		/7 \	1
	i	1		i j f ^ y ( k \ k - l h
О	335	340	345	350		355	360	сут

Рис. 6.1. Прогноз курса акций на один шаг (р = 1).

189

п > 4 -f- 6 точность практически не возрастает, что позволяет рекомендовать этот диапазон значений п.

6.2.Управление синхронизацией систем на основе адаптивных наблюдателей

Как уже говорилось в п. 3.8, одним из эффективных применений хаотических моделей является современная техника телекоммуникаций, в частности мобильная телефония. Надо сказать, что шумоподобные и широкополосные сигналы применялись в системах связи и раньше, см. [38], но недавние исследования показали возможность использования специфических свойств хаотических систем, таких как их синхронизируемость [33].

В настоящем параграфе рассмотрена задача синхронизации двух нелинейных систем (приемника и передатчика или объекта управления и эталонной модели) в условиях неполноты измерений и при неполной информации о параметрах систем. Строится алгоритм адаптивного управления синхронизацией на основе адаптивного набюдателя. Приводятся пример адаптивной синхронизации двух цепей Чуа и результаты компьютерного моделирования системы связи. Рассматриваемая задача интересна еще и тем, что она иллюстрирует подход к построению нелинейной теории сигналов, намеченный в п. 3.9. Изложение основано на материале работы [143], см. также [6].

6.2.1.Общая постановка задачи и схема решения

Традиционная теория передачи и приема сигналов основана преимущественно на линейных моделях передачи (модуляции) и приема (оценивание параметров) сигналов, а также на стохастических моделях шума (помех). Существующие работы по нелинейной модуляции [16] предполагают медленное изменение параметров линейных моделей. Ниже описывается вариант другого подхода, основанного на синхронизации хаотических сигналов. Такой подход вызывает в последние годы растущий интерес специалистов.

Учитывая сложности перехода к нелинейным моделям, которые необходимы для генерации хаотических сигналов, будем, по возможности, упрощать постановку задачи. В частно-

190