Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков)

Решениями (3.58) являются гармонические колебания

	y(t) = А0 sin ut + Ах cos wt	(3.59)
с круговой частотой и и периодом Т = 2я/и,		амплитуда ко-
торых А = у/А\+А\	зависит от начальных условий: Ах=у(0),
Ао = у{0)/(jJ (рис.	3.19, а, для ш = 1. Очевидно,	решение (3.59)

непрерывно зависит от начальных условий, т.е. малое изменение величин 2/(0),2/(0) приводит к равномерно малому изменению решения y(t) на всей временной полуоси 0 < t < оо. Частотный спектр функции (3.59) дискретен и состоит из одной точки ш/2^ (рис. 3.19, б).

Лля описания колебаний более сложной формы можно соединять модели вида (3.58) с различными частотами колеба-

ний	Например, последовательное соединение		двух
моделей вида (3.58) описывается соотношениями
	£i(0 +"i2/i(0 = 0.
	Ы0+"22/2(0 = 2/1(0
и имеет частные решения видау2 (0 =		+А2 sin u2t,	где

коэффициенты АХ) А2 зависят от начальных условий. Если частоты L>i,...,u;r соизмеримы (являются целыми кратными некоторой частоты и>о), то колебания будут периодическими с периодом 27г/ы0 (рис. 3.20 для г = 3, и>: = 1, и>2 = 2, и>3 = 4). Если же частоты инесоизмеримы, то такие колебания не являются периодическими; они относятся к классу квазипериодических (рис. 3.21, где г = 2, u>i = 1, ш2 = 5/л-). В обоих случаях решение непрерывно зависит от начальных условий, а его спектр является дискретным конечным множеством. 1

Заметим, что "на глаз" различить периодические и квазипериодические колебания может быть затруднительно, поскольку реальные измерения (в том числе измерение частоты колебаний) выполняются с конечной точностью и отличить рациональное отношение частот от иррационального оказывается практически невозможным.

1 Спектральные характеристики, показанные на рис. 3.19 - 3.21, вычислены при помощи пакета MATLAB (см. п. 3.2.2). Взяты реализации процессов длиной Т = 100, количество точек N = 210 = 1024, интервал дискретности Т0 = T/N « 0.098. Соответственно частота Найквиста luh = 7г/То ~ 32.

121

y(t)		a				S(co)
		i			2000
					1500
					1000
f					500
20	40	60	80	/	0	1	2	(О

Рис. 3.22. Предельный цикл и его спектр.

.10'4

Г —г

!

		1	i
		1,	• Jmm ,.i		!
8 10 12	t	i ИвымиТт' 1'Ftw"		15	20	О)
			10
Рис. 3.23. Хаотический процесс		в системе Лоренца и его спектр.

Рис. 3.24. Хаотический аттрактор системы Лоренца.

122

На рубеже XIX-XX веков выяснилось, что линейных моделей колебаний недостаточно для описания новых явлений и процессов в физике и технике. Основы соответствующего

математического аппарата -	теории нелинейных колебаний
- были заложены в работах	А.Пуанкаре, Б.	Ван дер По-
ля, А.А. Андронова, Н.М.	Крылова и Н.Н.	Боголюбова,

[6, 7, 14, 28, 54, 68]. Важнейшим в теории нелинейных колебаний является понятие устойчивого предельного цикла - периодической траектории, к которой сходятся все другие траектории (по крайней мере, траектории с близкими начальными условиями). К числу классических примеров нелинейных дифференциальных моделей, обладающих предельным

циклом, относятся уравнение Ван дер		Поля
у + е{у2 -1)у+и2у		=	0,	(3.60)
где е > 0; уравнение Дуффинга
У + РУ-ЯУ	+ ЯоУ3 =		0,	(3.61)
где р > 0, q > 0, qo > 0; система с релейным				элементом
y + py + qy-	sign(y)	= 0.		(3.62)

Даже простые нелинейные модели позволяют описывать колебания сложной формы, например релаксационные (близкие к прямоугольным) колебания, учитывать изменение формы колебания в зависимости от начальных условий (системы с несколькими предельными циклами) и т.д. Теоремы о разложении периодической функции в ряд Фурье показывают, что спектр предельного цикла состоит из счетного набора частот, кратных некоторой основной частоте. На рис. 3.22, а

приведен график решения системы (3.60)	при е = 2.5, и = 1
и начальных условиях у(0) = 0.5, у = 0.	Соответствующий
спектр изображен на рис. 3.22, 6.

В течение нескольких десятилетий линейные модели колебаний и нелинейные модели с предельными циклами удовлетворяли потребности инженеров. Считалось, что они описывают все возможные типы колебаний детерминированных систем. Это убеждение поддерживалось и математическими результатами: например, известная теорема ПуанкареБендиксона [6, 7, 14, 54, 28] утверждает, что единственно воз-

123

можные виды ограниченных установившихся движений в непрерывных системах второго порядка - это либо состояние равновесия, либо предельный цикл.

Однако в середине XX века сами математики обнаружили, что уже для систем третьего порядка это не так: в системе становятся возможными весьма сложные движения - ограниченные непериодические колебания. Настоящий переворот начался с работы физика Е. Лоренца [141], опубликованной в 1963 г., где было показано, что качественный характер явлений атмосферной турбулентности, описываемых сложными уравнениями в частных производных Навье-Стокса, может быть передан простой нелинейной моделью третьего порядка (уравнение Лоренца):

х = <т(у- х),
у — гх - у — xz,	(3.63)
z — —bz + ху.

Решения системы (3.63) при некоторых значениях параме-

тров (например, при а = 10, г	=	97,	6 =	8/3 ) выглядят	как
нерегулярные колебания (рис.		3.23,	а,	где изображен	гра-
фик x(t)). Траектории в пространстве				состояний (фазовом

пространстве) могут приближаться к предельному множеству (аттрактору), имеющему весьма причудливое строение (рис. 3.24, а). Внимание многих физиков и математиков, а затем и инженеров к подобным моделям было привлечено по-

сле работы Л.		Рюэля		и Ф. Такенса [149], опубликованной
в	1971 г., которые		назвали такие аттракторы "странными",
а	также работы	Т.	Ли	и Дж. Йорке [138] (1975), которые

ввели термин "хаос" для обозначения подобных нерегулярных явлений в детерминированных системах. Заметим, что основной результат работы [138] является частным случаем теоремы киевского математика А.Н. Шарковского, опубликованной в 1964 г. Серьезные исследования хаотических явлений были выполнены также в 60-70-х годах в России А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом, Я.Г. Синаем, Ю.И. Неймарком, Л.П. Шильниковым и их учениками. В дальнейшем хаотическое поведение было обнаружено в огромном количестве систем в механике, лазерной физике и радиофизике, химии, биологии и медицине, в электронных цепях и т.д. [69, 66, 120, 85,148, 71, 59,109, 135,125,126,127, 91,142, 146, 124].

124

Разработанные новые методы аналитического и численного исследования систем показали, что хаос - это отнюдь не исключительный вид поведения нелинейной системы. Грубо говоря, хаотические движения возникают, когда траектории системы глобально ограничены и локально неустойчивы. В хаотической системе сколь угодно малое начальное расхождение траекторий не остается малым, а в течение некоторого времени растет экспоненциально. Частотный спектр хаотической траектории является непрерывным (рис. 3.23, 5, где изображен спектр функции x(t)). Во многих случаях подобные нерегулярные, непериодические колебания лучше отражают свойства процессов, протекающих в реальных системах. Опять-таки следует отметить, что "на глаз" отличить хаотический процесс от квазипериодического может быть не менее трудно, чем отличить квазипериодический процесс от периодического.

3.8.2.Определение хаотической системы

Терминология в области хаотических моделей еще не устоялась, и существует несколько различных определений хаотических систем. Приведем одно из простейших.

Рассмотрим динамическую систему в непрерывном време-

ни	i	=	F(x),	(3.64)
где х = x(t)	6 Rn - вектор состояния системы, 0 < t < оо.
О п р е д е л е н и е		1.	Замкнутое	множество ft Э	К1
называется	аттрактором	системы (3.64), если: а) существу-
ет открытое множество ft0		С ft, такое что все траектории			x(t)

системы (3.69), начинающиеся в ft0, определены при всех t > О

и стремятся	к ft при t —• оо (т.е. dist(x(/),ft) —* 0 при t —• оо,
если х(0) €	ft0, где dist(x,ft) = infy€n \\х - у|| - расстояние от

точки х до множества ft); б) никакое собственное подмножество ft этим свойством не обладает.

О п р е д е л е н и е 2. Аттрактор называется странным, если он ограничен и любая траектория, начинающаяся на

нем, неустойчива по Ляпунову.		хаотической,
О п р е д е л е н и е	3. Система называется
если у нее существует	хотя бы один странный	аттрактор.

125

Аналогичные определения даются для систем, дискретных по времени:

®t+i = F(xk),

к = 0,1,2,...

(3.65)

Неустойчивость по Ляпунову характеризует основное свойство хаотических колебаний, называемое "сверхчувствительностью", или "чувствительной зависимостью" от начальных условий: любые две сколь угодно близкие траектории обязательно удаляются друг от друга на конечное расстояние.

Имеются и другие определения странных аттракторов и хаоса. Например, часто в определение странного аттрактора включают дополнительные требования: существование траекторий (или семейства периодических траекторий), всюду плотных в fi, топологическую транзитивность и т.д., подчеркивающие наличие свойства "перемешивания" траекторий. Недавние результаты Г. А. Леонова [54] показывают, что вместо отсутствия устойчивости по Ляпунову при определении странного аттрактора целесообразно требовать отсутствия так называемой устойчивости по Жуковскому, допускающей разную скорость течения времени на разных траекториях системы. Однако строго доказать хаотичность системы непросто, даже пользуясь простейшим определением. Для некоторых общепризнанных хаотических систем (например, для системы Лоренца (3.63)) доказательства хаотичности весьма громоздки, хотя численных и экспериментальных подтверждений накоплено предостаточно. Поэтому основным методом изучения хаотических систем остается численное исследование - имитационное моделирование и оценка различных характеристик (см. п. 3.8.3). Приведем несколько примеров хаотических систем.

П р и м е р 3.8.1. Система (цепь) Чуа. Около 15 лет назад специалисты по электронным цепям Л. Чуа и Т. Мацумото предложили простую электронную цепь с одним нелинейным элементом, способную генерировать весьма разнообразные, в том числе хаотические, колебания.

Электрическая схема цепи Чуа представлена на рис. 3.25, а. Эта цепь содержит нелинейный резистор Д„ (диод Чуа), вольтамперная характеристика которого отражена на рис. 3.25, 6. Нетрудно убедиться, что уравнения Кирхгофа для этой цепи

126

Рис. 3.25. Электрическая схема цепи Ч у а (а) и вольт-амперная характеристика нелинейного резистора (б).

Рис. 3.26. А т т р а к т о р системы Ч у а (3.66).

500	1
	1
20 40 60 80 I w01		1 2 3 со

Рис. 3.27. Хаотический процесс х(/) в системе Ч у а и его спектр.

127

имеют вид

Пренебрегая активным сопротивлением катушки индуктивности и переходя к безразмерным величинам, получим математическую модель цепи Чуа в виде:

' ± = р ( у - / ( * ) ) .	(3.66)
у = х - у + z,

* = -qy.

где x,y,z - безразмерные переменные, пропорциональные на-

пряжениям на емкостях и току через индуктивность; f(x)		=
= Mlx+0.5{Ml-M0)(\x+l\-\x-l\).	При р=9, д = 14.3, Мх =	-6/7,

М0 = 5/7 траектории системы (3.66) демонстрируют хаотическое поведение (рис. 3.26, 3.27).

S(co) 1

1500

1000

500

1	ч.
	СО

Рис. 3.28. Решение уравнения Дуффинга при гармоническом воздействии и его спектр.

Пример 3.8.2. Разнообразные хаотические колебания можно генерировать, подавая гармонический сигнал на вход нелинейных осцилляторов, например заменяя ноль в правых частях уравнений (3.60)—(3.62) синусоидальной функцией

z(t) = Asin((Jot).

(3.67)

128

При некоторых значениях частоты и амплитуды возбуждения происходит "размазывание" предельного цикла и колебания в нелинейной системе становятся хаотическими.

Рис. 3.29. Фазовый портрет и интегральная кривая решения уравнения Луффинга при гармоническом воздействии.

На рис. 3.28, 3.29 представлены колебания, возникающие при подаче на систему Луффинга (3.61) воздействия (3.67) с

параметрами: р — 0.4,	q = —1.1, qo = 1,	А =	1.8,	u>o — 18 (на
рис. 3.28, а изображен	график процесса	y(t))	на рис.		3.28, 6
- спектр y(f), на рис.	3.29, а - фазовый	портрет		на	плоско-
сти (у, т/), на рис. 3.29, 6 - соответствующая				интегральная

кривая). Лля дискретного времени примеры хаотических систем существуют для любой размерности состояния системы, даже прvi/h — 1.

Пример 3.8.3. Лискретная	система с квадратичной	пра-
вой частью
Xk+1 = Axjk(l -	х*), хк е R\	(3.68)

построенная с помощью так называемого логистического отображения F(x) = Ах(1 - х), является хаотической [69, 66, 120] при 3.57 < А < 4. Ее аттрактором является отрезок [0,1].

П р и м е р 3.8.4. Система

zjk+i = {Мх*},

(3.69)

где через {Л} обозначается дробная часть вещественного числа Л, является хаотической при любом М > 1. Система (3.69) часто используется для генерации псевдослучайных чисел, возможно первого практического применения хаоса.

5 Б. Р. Андриевский и др.

129

Это применение основано на том, что при любом начальном условии х0, несоизмеримом с М, доля точек последовательности (3.69), попавших в некоторый интервал, лежащий в отрезке [0,1], пропорциональна длине этого интервала [93]. Таким образом, если частоту попадания точек в интервал считать оценкой некоторой вероятности, то совокупность таких вероятностей будет задавать равномерное распределение на [0,1].

3.8.3.Критерии хаотичности

Как уже было сказано, основным критерием хаотичности является локальная неустойчивость, т.е. разбегание близких вначале траекторий. Соответственно основной характеристикой хаотичности является скорость разбегания, определяемая так называемым старшим показателем Ляпунова. Показатели Ляпунова определяются для заданной "опорной" траектории x(t) системы (3.64) с начальным условием х(0) = х0. Лля этого составляется уравнение в вариациях (система, линеаризованная вблизи х(1)):

£бх	= W(t)6xy	(3.70)
где 6х = х — x(t)\ W(t) =	- матрица	Якоби системы

(3.64) (матрица частных производных от правых частей), вы-

численная вдоль решения x(t).			Предполагается, что			частные
производные от F(x)	существуют,			т.е.	правые части		(3.64)
- гладкие функции.	Задав	начальное			отклонение z	=	<5х(0),
можно вычислить величину
a(x0 ,z) =		l i m i l n i l ^ M ,					(3.71)
	t - 0 0		t	\\Z\\

характеризующую скорость экспоненциального роста реше-

ний (3.70) в направлении z и называемую		характеристиче-
ским показателем	(ляпуновской экспонентой)	в направлении
z [69, 66, 120, 31].
Еще A.M. Ляпунов показал, что при небольших			дополни-
тельных предположениях предел в (3.71) существует,			конечен
для любого z G Rn	и не зависит от начального выбора точки
х0 на траектории x(t). Более того, число различных			характе-
ристических показателей конечно, их можно		пронумеровать

130