III занятие

1.59. Частица движется вдоль оси х по закону x=αt²—βt³, где α и β — положительные постоянные. В момент t=0 сила, действующая на частицу, равна F_o. Найти значения F_x силы в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке х=0.

1.60. Найти модуль и направление силы, действующей на частицу массы т при ее движении в плоскости ху по закону х=А sin ωt, y=B cos ωt, где А, В ω, —постоянные.

1.61. Аэростат массы m=250 кг начал опускаться с ускорением а=0,20 м/с². Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивления воздуха нет.

1.62. В установке, показанной на рис. 1.9, массы тел равны, m₀, m₁, m₂ массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение а, с которым опускается тело m₀, и силу натяжения нити, связывающей тела m₁, m₂, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k.

1.63. Наклонную плоскость, составляющую угол а с горизонтом, поместили два бруска 1 и 2 (рис. 1.10). Массы брусков равны m₁ и m₂, коэффициенты трения между плоскостью и этими брусками — соответственно k₁ и k₂, причем

k₁>k₂. Найти:

а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения;

б) значения угла α, при которых не будет скольжения.

1.64. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α=15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в η=2,0 раза меньше времени спуска.

1.65. В установке (рис. 1.11)

известны угол а и коэффициент трения k

между телом m₁ и наклонной плоскостью.

Массы блока и нити пренебрежимо малы,

трения в блоке нет. Вначале оба тела неподвижны. Найти отношение масс m₁/m₂, при котором тело m начнет: а) опускаться; б) подниматься.

1.67. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m, и на ней брусок массы т₂. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем t по закону F=αt, где α— постоянная. Найти зависимости от t ускорений доски a₁ и бруска a₂, если коэффициент трения между доской и бруском равен k. Изобразить примерные графики этих зависимостей.

1.69. Небольшое тело т начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором A (рис. 1.12). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью k=0,140. При каком значении угла α время соскальзывания будет наименьшим?

1.70. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость υ₀. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k. При каком значении угла α наклона шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

1.71. Брусок массы m тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k (рис. 1.13). Найти угол а, при котором натяжение нити будет наименьшим. Чему оно равно?

IV занятие

1.81. На покоившуюся частицу массы т в момент t=0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F=bt(τ—t), где b—постоянный вектор, τ —время, в течение которого действует данная сила. Найти:

а) импульс частицы после окончания действия силы;

б) путь, пройденный частицей за время действия силы.

1.82. Частица массы т в момент t=0 начинает двигаться под действием силы F=F₀ sin ωt, где F₀ и ω—постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от t. Изобразить примерный график этой зависимости.

1.83. В момент t=0 частица массы т начинает двигаться под действием силы F= F₀ cos ωt, где F₀ и ω— постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?

1.84. Катер массы т движется по озеру со скоростью υ₀. В момент t=0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера, F=rv, найти:

а) время движения катера с выключенным двигателем;

б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки.

1.85. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от v₀ до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.

1.86. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути х по закону k=γx, где γ — постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.