VII занятие

1.147. Цепочка массы m=0,80 кг, длины l=1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет η=1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

1.148. Тело массы т бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью υ₀ . Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

1.157. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U=a/r²-b/r, где а и b — положительные постоянные, r—расстояние от центра поля. Найти:

а) значение r₀, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;

б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей U(r) и F_r(r) — проекции силы на радиус-вектор r.

1.196. Момент импульса частицы относительно некоторой точки О меняется со временем по закону L=а+bt², где а и b — постоянные векторы, причем аb. Найти относительно точки О момент M силы, действующей на частицу, когда угол между векторами L и М окажется равным 45°.

1.215. Некоторая планета массы М движется по окружности вокруг Солнца со скоростью =34,9 км/с (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.

1.216. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Счи­тая орбиты планет круговыми, найти:

1. во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца;

2. скорость и ускорение Юпитера в гелиоцентрической системе отсчета.

1.217. Некоторая планета массы М движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно /•ц а максимальное — Га. Найти с помощью (1.46) период обращения ее вокруг Солнца.

1.218. Два спутника движутся вокруг Земли по касающимся траекториям. Один спутник движется по окружности радиуса r, другой — по эллипсу, с периодом обращения в  раз большим, чем у первого спутника. Найти с помощью (Т²а³) максимальное расстояние между вторым спутником и центром Земли.

1.237. Найти период обращения спутника, движущегося вокруг некоторой планеты вблизи ее поверхности, если средняя плотность планеты ρ=3,3 г/см³.

1.252. Тонкий однородный стержень АВ массы m=1,0 кг движется поступательно с ускорением а=2,0 м/с² под действием двух сил F₁ и F₂. Расстояние между точками приложения этих сил B=20 см. Кроме того, известно, что F₂=5,0 Н. Найти длину стержня.

1.254. К точке с радиус-вектором r₁=ai приложена сила F₁=Aj, а к точке с r₂=bj — сила F₂=Bi. Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат О, i и j — орты осей x и у, А и В — постоянные. Найти плечо равнодействующей силы относительно точки О.

1.255. Найти момент инерции:

а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня т и его длина l;

б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны а и b, а ее масса — т.

1.256. Тонкая однородная пластинка массы m=0,60 кг имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти ее момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов, длина которого а==200 мм.

1.258. Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом а и массы т относительно оси, совпадающей с его диаметром.

1.263. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы т. В момент t=0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени:

а) модуля угловой скорости цилиндра;

б) кинетической энергии всей системы.

1.264. Концы тонких нитей, плотно намотанных на ось радиуса r диска Максвелла, прикреплены к горизонтальной штанге. Когда диск раскручивается, штангу поднимают так, что диск остается неизменно на одной и той же высоте. Масса диска с осью т, их момент инерции относительно их оси симметрии I. Найти ускорение штанги.

1.265. Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ массы т и длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящее через его конец A. В некоторый момент на конец В начала действовать постоянная сила F, которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота φ из начального положения.