- •Практикум з курсу
- •Метричні й топологічні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Скрізь щільні та ніде не щільні множини. Сепарабельні простори. Неперервні відображення Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •4.Аксіоми зчисленності та відокремленості. Нормальні простори. Гомеоморфні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 7
- •Варіант 4
- •Список рекомендованої літератури
УДК 514.12 (075.8)
Т61
Рецензенти: канд. фіз.-мат. наук, доц. Є.М. Іщенко
канд. фіз.-мат. наук, доц. Л.І. Бойко
Т61 Тушев, А.В. Практикум з курсу „Топологія” [Текст] / А.В. Тушев; Н.А. Турбай . – Д.: РВВ ДНУ, 2013. – 16 с.
Наведені практичні завдання з базових розділів курсу „Топологія”.
Для студентів механіко-математичного факультету ДНУ.
Темплан 2012, поз.
Навчальне видання
Анатолій Володимирович Тушев
Надія Анатоліївна Турбай
Практикум з курсу
„Топологія”
Редактор А.Я. Пащенко
Техредактор Л.П. Замятіна
Коректор Т.А. Белиба
Підписано до друку .05.2013. Формат 60x84/16. Папір друкарський.
Друк плоский. Ум.друк.арк. . Ум.фарбовідб. . Обл.-вид.арк. .
Тираж 100 пр. Зам. № .
РВВ ДНУ, пр. Гагаріна, 72, м. Дніпропетровськ, 49010.
Друкарня ДНУ, вул. Наукова, 5, м. Дніпропетровськ, 49050.
© Тушев А.В., Турбай Н.А., 2013
Метричні й топологічні простори Варіант 1
Довести, що множина всіх неперервних на функцій складає метричний простір, якщо під відстанню між двома елементамитацієї множини розуміти число
.
Нехай і- дві метрики на множині. Довести, що якщо існують сталітатакі, що
,
то метрики таеквівалентні.
Нехай . Визначити, які з наступних наборів його підмножин є топологічними структурами на множині:
а) ,
б) ,
в) ,
Якщо який-небудь з наборів а) – в) виявиться топологією, то знайти сім’ю замкнених множин для цих топологій.
Довести, що .
Варіант 2
Визначити, чи є метричним простором множина всіх дійсних чисел, якщо під відстанню між двома числами тарозуміти число
Довести, що метрики і, задані на множині, еквівалентні.
Нехай – промінь, аскладається з,і всіх можливих променів, де. Визначити, чи єтопологією на. Якщо так, знайти сім’ю замкнених множин.
Довести, що .
Варіант 3
Визначити, чи буде метричним простором множина дійсних чисел, якщо метрику на ній означити так:
.
Довести, що метрики і– еквівалентні на множині.
Нехай – числова пряма,складається з,і всіх можливих променів вигляду, де. Визначити, чи будетопологією на. Якщо так, знайти сім’ю замкнених множин.
Довести, що .
Варіант 4
1. Довести, що функція + (+– множина невід’ємних дійсних чисел) є метрикою на тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови:
а) ;
б) ,.
2. Довести, що метрики іеквівалентні на множині .
3. Нехай – нескінченна множина, а– топологія скінчених доповнень на. Довести аксіоми відкритих множин. Знайти сім’ю замкнених множин.
4. Довести, що .
Варіант 5
Довести, що функція + (+– множина невід’ємних дійсних чисел) є функцією, яка задовольняє умовам:
а) ;
б) ,
то функція буде метрикою на.
Довести, що метрики іеквівалентні на множині .
Визначити, чи буде перетин топологій, які задані на одній і тій самій множині , топологією на.
Довести, що,– відображення і.
Варіант 6
Довести, що якщо і– метрики на, тоітакож є метриками на. Чи будуть метриками функції;;?
Довести, що метрики іеквівалентні на множині.
Визначити, чи буде об’єднання топологій, які задані на одній і тій самій множині , топологією на.
Довести, що,– відображення і.
Варіант 7
Довести, що коли – метрика на, то функціятакож є метрикою, якщо задовольняє умовам , монотонно зростає і
, .
Показати, що метрики і(див. задачу 1) еквівалентні, якщо– неперервна функція.
Нехай – площина. Визначити, чи буде топологічною структурою набір множин, що складається з,і відкритих кругів з центром в одній і тій самій точці з різноманітними радіусами.
Довести, що ,– відображення і.
Варіант 8
Нехай – метрика на. Довести, що функціятакож є метрикою.
Довести, що метрики і(див. задачу 1) еквівалентні.
Нехай і ,, де. Визначити, чи будетопологією на множині . Якщо так, то навести опис сім’ї замкнених множин.
Довести, що ,– відображення і.
Варіант 9
Нехай – метричний простір і. Довести, що– метрика на.
Довести, що метрики таз задачі 1 еквівалентні.
Знайти число різних топологій на множині з трьох елементів. Навести опис сім’ї замкнених множин цих топологій.
Навести приклад, коли , де– відображення і.
Замкнені множини. Ізольовані, граничні, межові точки множин
Варіант 1
Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин, що належать :
а);
б)(\).
Ці множини є відкритими чи замкненими?
Знайти замикання множин усіх точок вигляду , де.
Навести опис топологічної структури, замкнених множин і околи точок, що індукуються в множині топологією прямої.
Нехай множина відкрита в топологічному просторіі, де. Довести, що.
Нехай – підмножина метричного простору. Відомо, що. Довести, щоне має граничних точок.
Варіант 2
Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:
а)(; б)де.
Ці множини є відкритими чи замкненими?
Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де– усі можливі цілі числа, відмінні від нуля.
Описати топологічну структуру , що індукована втопологією стрілки. (простір із задачі 3 варіанта 2 лабораторної роботи 1 називається стрілкою). Описати в топологічному просторі (,) сім’ю замкнених множин околів точки.
Нехай множина – замкнена, а множина– відкрита. Довести, що– замкнена,– відкрита.
Нехай – множина вигляду, депробігають усі натуральні числа. Визначити, чи буде множиназамкненою. Яка у неї похідна множина? Якими будуть друга та третя похідні множини?