- •Практикум з курсу
- •Метричні й топологічні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Скрізь щільні та ніде не щільні множини. Сепарабельні простори. Неперервні відображення Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •4.Аксіоми зчисленності та відокремленості. Нормальні простори. Гомеоморфні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 7
- •Варіант 4
- •Список рекомендованої літератури
Варіант 8
Довести, що підмножина топологічного простору ніде не щільна втоді і тільки тоді, коли в будь-якій не порожній відкритій множинііснує така не порожня відкрита множина, що.
Нехай – ніде не щільна в топологічному просторі та– довільна відкрита вмножина. Довести, що множина ніде не щільна в (розглядається як підпростір).
Довести, що якщо в топологічному просторі є така зчисленна сім’я не порожніх відкритих множин, що будь-яка не порожня відкрита множина містить елемент (хоч один) цієї сім’ї, то будь-який скрізь щільний в підпростір буде сепарабельним.
Довести, що відображення топологічних просторів тавідкрите тоді і тільки тоді, колидля будь-якої підмножини.
Варіант 9
Довести, що множина ніде не щільна тоді і тільки тоді, коли в будь-якому околі будь-якої точки існує точка, що входить разом з деяким своїм околом в доповнення множини .
Навести прямий опис множин скрізь щільних у дискретному просторі та в топології стрілки.
Довести, що якщо простір з першою аксіомою зчисленності буде сепарабельним, то і будь-який скрізь щільний впідпростір теж сепарабельний.
Навести приклад негомеоморфних топологічних просторів, кожний з яких гомеоморфний підпростору іншого.
4.Аксіоми зчисленності та відокремленості. Нормальні простори. Гомеоморфні простори Варіант 1
Нехай – простір з другою аксіомою зчисленності. Довести, що з будь-якої бази просторуможна виділити зчисленний набір множин, який також буде базою простору.
Навести приклад – простору, який не є– простором.
Довести, що замкнений підпростір нормального простору також є нормальним.
Нехай ,– неперервні відображення . Довести, що підмножина простору, що складається з усіх розв’язків системи нерівностей,, буде відкритою. Чи можна скінченну систему замінити нескінченною?
Варіант 2
Нехай – множина дійсних чисел і β – сім’я всіх інтервалів типу,. Довести, що сім’я β є базою деякої топології τ і що топологічний простір– нормальний неметризований сепарабельний простір з першою аксіомою зчисленності, на якому не виконується друга аксіома зчисленності.
Навести приклад негаусдорфового – простору
Нехай – гаусдорфів простір, у якому множина неізольованих точок скінченна. Довести, що– нормальний простір.
Побудувати гомеоморфізми між множинами:
а) та,;
б) та;
в) та.
Варіант 3
Довести, що – топологічний простір та вибрати в ньому дві різні бази, якщо:
, ø,.
Нехай і– дві різні топології на одній і тій самій множиніі. Довести, що якщо–– простір (– простір), тоді–– простір (– простір) .
Довести, що регулярність є спадковою властивістю.
Довести, що простір гомеоморфний до будь-якої відкритої кулі цього простору.
Варіант 4
Довести, що – топологічний простір і вибрати мінімальну базу, якщо:
, ø,.
Довести, що – простір, у якому тільки одна точка не ізольована, а решта точок – ізольовані,- нормальний простір.
Довести, що в – просторі множина всіх граничних точок будь-якої підмножини замкнена.
Нехай і– такі неперервні відображення топологічного просторув гаусдорфів простір, що множинаскрізь щільна в. Довести, щона всьому просторі.