- •Практикум з курсу
- •Метричні й топологічні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Скрізь щільні та ніде не щільні множини. Сепарабельні простори. Неперервні відображення Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •4.Аксіоми зчисленності та відокремленості. Нормальні простори. Гомеоморфні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 7
- •Варіант 4
- •Список рекомендованої літератури
Варіант 5
Нехай β – база топологічного простору і. Довести, що сім’я де утворює базу в підпросторі .
Довести, що в – просторі точка, база якої складається із скінченного числа елементів, ізольована.
Довести, що в означенні регулярного простору аксіому можна замінити на аксіому. Чи виконується це твердження для нормальних просторів?
Нехай ,– неперервні відображення топологічного простору в . Довести, що підмножина топологічного простору , яка складається із всіх розв’язків системи рівнянь , буде замкненою. Чи можна скінченну систему рівнянь замінити нескінченною?
Варіант 6
Довести, що топологічний добуток скінченного числа топологічних просторів з другою аксіомою зчисленності буде топологічним простором з другою аксіомою зчисленності. Чи виконується обернене твердження?
Довести, що підмножина топологічного простору з першою аксіомою зчисленності замкнена тоді і тільки тоді, коли межа будь-якої збіжної в послідовності з належить .
Нехай – множина дійсних чисел. Довести, що сім’я всіх інтервалів типу,буде базою деякої топології τ на множині. Довести, що– нормальний простір.
Нехай ,– неперервні відображення топологічного простору в . Довести, що підмножина топологічного простору , яка складається із всіх розв’язків системи рівнянь , буде відкритою. Чи можна скінченну систему рівнянь замінити нескінченною?
Варіант 7
Довести, що будь-який підпростір простору з другою аксіомою зчисленності буде простором з другою аксіомою зчисленності.
Довести, що будь-який підпростір – простору буде– простором.
Довести, що – простір буде нормальним тоді і тільки тоді, коли для будь-яких двох замкнених неперетинних у ньому підмножин існує такий окіл однієї з них, що його замикання не перетинається з іншими.
Довести, що вся площина 2 гомеоморфна до будь-якого відкритого квадрату цієї площини.
Варіант 8
Навести приклад, який довів би, що неперервний образ простору з другою аксіомою зчисленності може не задовольняти цій аксіомі.
Довести, що у – просторі будь-яка множина буде перетином деякої сім’ї відкритих множин.
Довести, що – простір тоді і тільки тоді регулярний, коли для будь-якої точки та будь-якої замкненої множини , що не містить цю точку, існує такий окіл, для якого.
Довести, що будь-який відкритий прямокутник в 2 буде гомеоморфний в 2.
Варіант 9
Довести, що образ бази при неперервних відображеннях може не бути базою.
Навести приклад – простору, у якому ніяка множина з однією точкою не є замкненою.
Довести, що образ нормального простору при неперервному замкненому відображенні буде нормальним простором.
Довести, що замкнений круг в 2 буде гомеоморфний до замкненого квадрату в 2.
Зв’язність топологічних просторів.
Лінійна зв’язність. Гомеоморфізм
Варіант 1
Навести приклад двох зв’язних множин, перетин яких не буде зв’язною множиною.
Навести приклад, який підтверджує, що прообраз зв’язної множини при неперервному відображенні не обов’язково буде зв’язним.
Нехай – графік функції. Довести, що множина2 – зв’язна, але не лінійно зв’язна.
Визначити, чи будуть гомеоморфні «букви» і на площині.
Варіант 2
Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що містить тільки одну раціональну координату.
Визначити, чи буде локально зв’язною підмножина точок числової прямої.
Нехай і– топологічні простори. Довести, щоітоді і тільки тоді зв’язні, коли топологічний простір– зв’язний.
Визначити, чи будуть гомеоморфні «букви» і на площині.
Варіант 3
Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що мають хоча б одну раціональну координату.
Нехай та. Довести, що– лінійно зв’язна множина, а – зв’язна, але не лінійно зв’язна
Довести, що зв’язність топологічного простору є те саме, що: будь-яка неперервна функціязадовольняє властивостям Дарбу, тобто разом з будь-якими двома своїми значеннями приймає і всі проміжні значення.
Визначити, чи будуть гомеоморфними 2 і 2.
Варіант 4
Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що має точно дві раціональні координати.
Визначити, чи буде локально зв’язною множина всіх цілих чисел у топології, яка індукована з 1.
Довести, що якщо множина – зв’язна, то будь-яка множина така, що , також буде зв’язною.
Визначити, чи будуть гомеоморфними кулі в 2 та коло в 2.
Варіант 5
Довести, що топологічний простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли існує власна підмножина цього простору така, що .
Навести опис усіх зв’язних підмножин множини дійсних чисел, що наділені топологією скінченних доповнень.
Нехай – шлях, що з’єднує точку множини з точкою, що належить. Довести, що, тобто шлях перетинає межу множини .
Довести, що відкритий інтервал не гомеоморфний ніякому напіввідкритому і ніякому замкненому інтервалу.
Варіант 6
Довести, що простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли його можна неперервно сюр’єктивно відобразити в гаусдорфів простір, який складається з двох точок.
Визначити, чи буде локально зв’язною множина всіх раціональних чисел з топологією, яка індукована з 1.
Нехай – підмножина лінійно зв’язного топологічного простору. Довести, що якщо – лінійно зв’язна, то і також лінійно зв’язна множина.
Визначити, чи будуть гомеоморфними коло в 2 та кругове кільце в 2.