- •Практикум з курсу
- •Метричні й топологічні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Скрізь щільні та ніде не щільні множини. Сепарабельні простори. Неперервні відображення Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •4.Аксіоми зчисленності та відокремленості. Нормальні простори. Гомеоморфні простори Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 7
- •Варіант 4
- •Список рекомендованої літератури
Варіант 8
Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:
а) \);
б) | .
Ці множини є відкритими чи замкненими?
Знайти замикання всіх точок вигляду , де – від’ємне ціле число, а – натуральне.
Нехай і - топології на такі, що . Нехай далі – замикання множини відносно . Довести, що для .
Довести, що для будь-якої множини топологічного простору .
Довести, що підмножина метричного просторувідкрита тоді і тільки тоді, колидля.
Варіант 9
Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:
а) \);
б) | .
Ці множини є відкритими чи замкненими?
Знайти замикання всіх точок вигляду , де – від’ємне ціле число, а – натуральне.
Нехай – підпростір топологічного простору і . Нехай також – внутрішність в , – внутрішність в . Чи вірно, що ?
Довести, що ізольована точка множини топологічного простору належить тоді й тільки тоді, коли множина відкрита в . У противному разі точка є межовою точкою .
Визначити, чи дійсно . Чи буде , якщо ?
Скрізь щільні та ніде не щільні множини. Сепарабельні простори. Неперервні відображення Варіант 1
Довести, що підмножина топологічного простору ніде не щільна тоді і тільки тоді, коли .
Довести, що для будь-якої відкритої підмножини в топологічному просторі множина ніде не щільна.
Довести, що в сепарабельному топологічному просторі множина всіх ізольованих точок є зчисленною (нескінченною або скінченною).
Довести, що топологічний простір є дискретний тоді і тільки тоді, коли кожне його відображення у топологічний простор неперервне.
Варіант 2
Навести приклад послідовності скрізь щільних множин на прямій, таких, що , а також .
Довести, що топологічний простір буде дискретним тоді і тільки тоді, коли скрізь щільною множиною в ньому буде тільки він самий. Подати прямий опис скрізь щільних множин у топології стрілки.
Довести, що в сепарабельному топологічному просторі будь-яка сім'я не порожніх відкритих неперетинних множин буде зчисленною (нескінченною або скінченною).
Довести, що відображення топологічних просторів танеперервне тоді і тільки тоді, коли для кожного елементадеякої бази β простору є відкрита множина в .
Варіант 3
Довести, що множина топологічного простору ніде не щільна втоді і тільки тоді, коли в будь-якій не порожній відкритій множинііснує така не порожня відкрита підмножина, що.
Довести, що межа замкненої множини ніде не щільна.
Довести, що топологічний добуток скінченної кількості сепарабельних просторів – сепарабельний.
Довести, що відображення топологічних просторів танеперервне тоді і тільки тоді, колидля кожної множини.
Варіант 4
Довести, що множина топологічного простору скрізь щільна втоді і тільки тоді, колидля будь-якої не порожньої відкритої підмножини.
Нехай і – скрізь щільні підмножини топологічного простору і – відкрита в . Довести, що є скрізь щільна множина в .
Довести, що будь-який підпростір сепарабельного метризованого простору – сепарабельний.
Визначити, чи буде замкнене відображення одного топологічного простору на інший також відкритим.
Варіант 5
Множина – ніде не щільна в топологічному просторі . Що можна сказати про,і?
Навести прямий опис множин скрізь щільних у тривіальному просторі та в просторі скінченний доповнень.
Довести, що цілком обмежений метричний простір є сепарабельним.
Визначити, чи буде відкрите відображення одного топологічного простору на інший також замкненим.
Варіант 6
Довести, що підмножина топологічного простору ніде не щільна втоді і тільки тоді, коли в будь-якій не порожній відкритій множинііснує така не порожня відкрита множина, що.
Довести, що об’єднання скінченного числа ніде не щільних в просторі множин ніде не щільне в.
Довести, що образ сепарабельного простору при неперервному відображенні буде сепарабельним.
Довести, що відображення топологічних просторів тазамкнене тоді і тільки тоді, колидля будь-якої підмножини.
Варіант 7
Довести, що підмножина топологічного простору скрізь щільна втоді і тільки тоді, колидля будь-якої не порожньої відкритої підмножини.
Довести, що перетин скінченного числа відкритих скрізь щільних у просторі множин буде скрізь щільним в.
Нехай – неперервне сюр’єктивне відображення топологічних просторів та – сепарабельним топологічний простір. Довести, що простір– сепарабельний.
Довести, що відображення топологічних просторів тавідкрите тоді і тільки тоді, коли для кожного елементадеякої бази β простору є відкрита множина в .