Варіант 3

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) (;

б) де.

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , депробігають цілі числа.

3. Описати топологічну структуру, що є індукованою у множині цілих чисел топологією множини дійсних чисел із задачі 3 варіант 1 лабораторної роботи 1. Описати замкнені множини та сім’ю околів точки в.

4. Визначити, чи справді для будь-яких множин ітопологічного простору виконуються рівності;.

5. Нехай метрика на множинізадовольняє такі умови

, .

Довести, що у метричному просторі сфери не тільки замкнені, а ще й відкриті.

Варіант 4

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) (\); б).

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де.

3. Навести опис топологічної структури , що є індукованою на множинітопологією скінчених доповнень у множині дійсних чисел. Навести опис замкнених множин та околи точок в просторі (,) .

4. Довести, що якщо множини ітопологічного простору задовольняють умові, то.

5. Довести, що множина метричного просторуобмежена тоді і тільки тоді, коли вона міститься у деякій кулі. Як пов’язані між собою радіус цієї кулі і?

Варіант 5

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а)(;

б).

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , депробігають від’ємні цілі числа.

3. Довести, що топологія числової прямої і топологія що індукована на множині дійсних чисел за допомогою топології площини (топології²), збігаються. Довести, що єдиною відкритою множиною прямої, яка також відкрита на площині, є .

4. Довести, що відкрита множина тоді і тільки тоді перетинається з множиною, коли(і– підмножини топологічного простору).

5. Навести приклад двох неперетинних замкнених множин на прямій, відстань між якими дорівнює нулю.

Варіант 6

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) \;

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де– натуральні числа.

3. Довести, що множина відкрита в топологічному просторітоді і тільки тоді, коли кожна точка множинимає втакий окіл, щовідкритий в.

4. Довести, що для будь-яких неперетинних відкритих множин топологічного простору замикання одного з них не перетинається з іншим.

5. Нехай – нескінченна множина, яка має топологією скінчених доповнень. Перевірити аксіоми відкритих множин і довести, що кожна точкає граничною для будь-якої нескінченої підмножини.

Варіант 7

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) ;

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання всіх точок вигляду , де – всілякі невід’ємні цілі числа.

3. Нехай – підпростір топологічного простору і . Нехай також – замикання у підпросторі , – замикання у просторі . Показати, що .

4. Довести, що коли – замкнена множина топологічного простору, то .

5. Нехай і – довільні підмножини топологічного простору. Довести, що . Навести приклад, коли ці множини не збігаються.