AGLA

7.48. Визначити, за якої умови точки M (x1, y1, z1) i N (x2, y2, z2) лежать в одному, в сумiжних чи у вертикальних двогранних кутах, утворених при перетинi площин A1x+B1y +C1z +D1 = 0 i A2x+B2y +C2z +D2 = 0.

7.49. Визначити, чи лежать точки M i N в одному, в сумiжних чи у вертикальних двогранних кутах, утворених при перетинi площин α1 i α2, якщо:

а) M (1, 0, 3) , N (1, 1, 1) , α1 : x + 3y − 4z + 8 = 0, α2 : 3x + 5y − 6z + 4 = 0;

б) M (1, −3, 1) , N (3, 0, 7) , α1 : 7x − 4y − 4 = 0, α2 : 2x + 5y − z − 3 = 0;

в) M (1, 1, −3) , N (1, −5, 0) , α1 : −x + y + 3z + 3 = 0, α2 : 2x + y + 4z − 8 = 0;

г) M (1, −1, 0) , N (0, 1, 1) , α1 : 6x − 4y + z + 4 = 0, α2 : −5x + 3y + 4z + 7 = 0.

7.50. Задано двi перетиннi, не перпендикулярнi площини A1x + B1y +

C1z + D1 = 0 i A2x + B2y + C2z + D2 = 0, а також точка M (x0, y0, z0),

яка не належить жоднiй з цих площин. Знайти косинус того кута мiж даними прямими, в якому лежить точка M.

7.51. Знайти кут мiж площинами α1 i α2, в якому лежить точка M, якщо:

а) M (1, 1, −1) , α1 : 3x − 4z + 2 = 0, α2 : 2x + 2y − z − 3 = 0;

б) M (1, −3, −2) , α1 : 2x − y + 3z − 2 = 0, α2 : 4x − 2y + 2z + 1 = 0;

в) M (0, 1, 0) , α1 : x − y + 5z − 4 = 0, α2 : 3x + y + 5z + 1 = 0.

101

7.52. Вказати необхiдну и достатню умову того, що точка M (x0, y0, z0) лежить всерединi тетраедра, сторони якого лежать на площинах

Aix + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 4.

7.53. Визначити, чи лежить точка M всерединi тетраедра, сторони якого лежать на площинах α1, α2, α3 i α4, якщо:

а) M (1, 0, 0) , α1 : x − y + 2z − 4 = 0, α2 : x + 7y + 1 = 0, α3 : 2x + y + z + 1 = 0, α4 : x + 2y − 2 = 0;

б) M (0, 1, −3) , α1 : −x + 5z − 1 = 0, α2 : y + z + 1 = 0, α3 : x − 4z = 0, α4 : x + y + 2z + 1 = 0;

в) M (1, 0, 1) , α1 : 2x − 1 = 0, α2 : 3x − y − 2z + 1 = 0, α3 : 2y + 3z + 4 = 0, α4 : x + z − 3 = 0.

7.54. Скласти рiвняння бiсекторних площин двогранних кутiв, утворених двома перетинними площинами A1x + B1y + C1z + D1 = 0 i

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

7.55. Скласти рiвняння бiсекторних площин двогранних кутiв, утворених двома перетинними площинами:

а) x − 4y + 4z + 4 = 0 i 5x + 2y + 2z + 10 = 0;

б) 2x − 5y − 5z − 4 = 0 i 7x − 2y + z + 2 = 0;

в) x + y − 4z + 5 = 0 i 3x + z − 2 = 0;

г) 5x − 3y − 4z + 1 = 0 i 6x + 3y − 5z + 3 = 0.

7.56. Скласти рiвняння бiсекторної площини гострого двогранного кута, утвореного двома перетинними площинами A1x + B1y + C1z + D1 = 0 i

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

102

7.57. Скласти рiвняння бiсекторної площини гострого двогранного кута, утвореного двома перетинними площинами:

а) x − 2y + 5z + 6 = 0 i 4x − 10y + 2z + 7 = 0;

б) −3x + y + z + 2 = 0 i 6x − 9y − 2z + 1 = 0.

7.58. Скласти рiвняння бiсекторної площини тупого двогранного кута, утвореного двома перетинними площинами:

а) 2x − 2y + z + 1 = 0 i 3x − 6y + 2z + 2 = 0;

б) 5x − 3y + 6z − 2 = 0 i 2x − 3y − 8z − 4 = 0.

7.59. Скласти рiвняння бiсекторної площини того двогранного кута, утвореного двома перетинними площинами A1x + B1y + C1z + D1 = 0 i A2x + B2y + C2z + D2 = 0, в якому лежить точка M (x0, y0, z0) .

7.60. Скласти рiвняння бiсекторної площини того двогранного кута, утвореного двома перетинними площинами α1 i α2, в якому лежит точка M, якщо:

а) M (0, 1, 0) , α1 : 2x − 7y − 2z − 5 = 0, a2 : 7x + 2y − 2z + 9 = 0;

б) M (1, 0, 0) , α1 : 3x − y − z + 2 = 0, a2 : 3x + 9y − 3z + 7 = 0;

в) M (1, 1, 1) , α1 : 6x + 9y + 2z − 3 = 0, a2 : 2x + 6y + 3z − 2 = 0;

г) M (1, 0, 1) , α1 : y + 3z + 10 = 0, a2 : x + y + 2z − 9 = 0.

8Кривi другого порядку

Вцьому роздiлi використовуються такi поняття та результати.

1.Коло. Рiвняння кола. Координати центра, радiус кола.

103

2.Елiпс. Канонiчне рiвняння елiпса. Фокуси, їх координати. Довжини фокальних радiусiв довiльної точки елiпса. Ексцентриситет елiпса, рiвняння директрис. Властивостi елiпса як геометричного мiсця точок. Рiвняння дотичної до елiпса.

3.Гiпербола. Канонiчне рiвняння гiперболи. Фокуси, їх координати. Довжини фокальних радiусiв довiльної точки гiперболи. Асимптоти гiперболи,їх рiвняння. Ексцентриситет гiперболи, рiвняння директрис. Властивостi гiперболи як геометричного мiсця точок. Рiвняння дотичної до гiперболи.

4.Парабола. Канонiчне рiвняння параболи. Фокус параболи, рiвняння директриси. Довжина фокального радiуса довiльної точки параболи. Ексцентриситет параболи. Властивiсть параболи як геометричного мiсця точок. Рiвняння дотичної до параболи.

5.Рiвняння кривих другого порядку в полярнiй системi координат.

6.Зведення загального рiвняння кривої другого порядку до канонiчного виду.

Приклади розв’язання задач

Приклад 8.1. Знайти велику, малу пiвосi, координати фокусiв, ексцентриситет, рiвняння директрис наступних елiпсiв i зобразити їх на рисунку, знайти фокальнi радiуси точки M , якщо

2	2		2			−5		3		√
а) 36x			2	= 3600,	M		,
	+ 100y									3 ;
б) 100x		+ 36y		= 3600,	M	3√			, 5 .
							3

Розв’язання. а) Запишемо рiвняння заданого елiпса в канонiчному видi

x2		y2
	+		= 1,
		36
100

звiдки a2 = 100, b2 = 36. Таким чином, a = 10 велика пiввiсь елiпса, b = 6 мала пiввiсь елiпса.

Для знаходження координат фокусiв скористаємося спiввiдношенням c2 = a2 − b2, звiдки c2 = 100 − 36 = 64, c = 8. Фокуси елiпса мають такi координати F1(8, 0), F2(−8, 0).

Ексцентриситет елiпса дорiвнює ε = ac = 45 .

Рiвняння директрис: x = ±aε = ±252 .

104

y

Mb

		r	r
	F		1	F
		2			x
- a -a	2			1
	-c			c a	a
ε					ε
			-b

√Фокальнi радiуси точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = −5, y0 = 3 3) дорiвнюють

4

r1 = F1M = a − εx0 = 10 − 5 · (−5) = 14,

4

r2 = F2M = a + εx0 = 10 + 5 · (−5) = 6.

б) Запишемо рiвняння заданого елiпса в канонiчному видi

x2 + y2 = 1,

36 100

звiдки a2 = 36, b2 = 100. Таким чином, a = 6 мала пiввiсь елiпса, b = 10 велика пiввiсь елiпса.

Для знаходження координат фокусiв скористаємося спiввiдношенням c2 = b2 − a2, звiдки c2 = 100 − 36 = 64, c = 8. Фокуси елiпса мають такi

	координати F1(0, 8), F2(0, −8).					c		4
	Ексцентриситет елiпса дорiвнює ε =						=		.
						b		5
		b		25
	Рiвняння директрис: y = ±		= ±		.
		ε		2					√

Фокальнi радiуси точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = 3 3, y0 = 5) дорiвнюють

4

r1 = F1M = b − εy0 = 10 − 5 · 5 = 6,

4

r2 = F2M = b + εy0 = 10 + 5 · 5 = 14.

105

y
b ε
b
F c
1
r	M
1
	x
-a	a
r
2

F2-c -b

-bε

Приклад 8.2. Знайти дiйсну та уявну пiвосi, координати фокусiв, ексцентриситет, рiвняння асимптот i директрис наступних гiпербол i зобразити їх на рисунку, знайти фокальнi радiуси точки M, якщо

2

2

2

2

√

√

а) 64x − 36y = 2304,

M 9, 4

5 ;

б) −64x

+ 36y = 2304,

M

−3 5, −12 .

Розв’язання. а) Запишемо рiвняння

заданої

гiперболи в канонiчному

видi

x2

y2

−

= 1,

36

64

звiдки a2 = 36, b2 = 64. Таким чином, a = 6 дiйсна пiввiсь гiперболи, b = 8 уявна пiввiсь гiперболи.

Для знаходження координат фокусiв скористаємося спiввiдношенням c2 = a2 + b2, звiдки c2 = 36 + 64 = 100, c = 10. Фокуси елiпса мають такi координати F1(10, 0), F2(−10, 0).

Рiвняння асимптот гiперболи: y = ±ab x = ±43x.

Ексцентриситет гiперболи дорiвнює ε = ac = 53.

Рiвняння директрис: x = ±aε = ±185 .

106

-	a	y a
	ε	ε
		r2	M
		b
			r
			1
F			F	x
2		a	1
-c -a			c
		-b

√

Фокальнi радiуси точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = 9, y0 = 4 5) дорiвнюють

5

r1 = F1M = εx0 − a = 3 · 9 − 6 = 9,

5

r2 = F2M = εx0 + a = 3 · 9 + 6 = 21.

б) Запишемо рiвняння заданої гiперболи в канонiчному видi

x2 − y2 = −1,

36 64

звiдки a2 = 36, b2 = 64. Таким чином, a = 6 уявна пiввiсь гiперболи, b = 8 дiйсна пiввiсь гiперболи.

Для знаходження координат фокусiв скористаємося спiввiдношенням c2 = a2 + b2, звiдки c2 = 36 + 64 = 100, c = 10. Фокуси елiпса мають такi координати F1(0, 10), F2(0, −10).

b

4

Рiвняння асимптот гiперболи: y = ±

x = ±

x.

a

3

Ексцентриситет гiперболи дорiвнює ε =

c

=

5

.

b

4

b

32

Рiвняння директрис: y = ±

= ±

.

ε

5

√

Фокальнi радiуси точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = −3 5, y0 =

107

y

F
1 c
b	b ε
	x
-a	a

- b ε

	r		-b
	1
M	r2	F	-c
		2

−12) дорiвнюють				− b| =						· (−12) − 8
			r1 = F1M = |εy0				4				= 23,
							5
			r2 = F2M = |εy0	+ b| =				5			= 7.
								4		· (−12) + 8
Приклад	8.3	.	Визначити величину		параметра, координати фокуса, рiв-

няння директриси наступних парабол i зобразити їх на рисунку, знайти фокальнi радiуси точки M, якщо

а) y2

M

,

√

б) y2

= −12

x, M

,

√

= 12x,

2

4

−4 3 ;

−4

4 3 ;

6

=

12

в) x = 12y, M 6√2, 6 ;

2

−

−

√

−

2

г) x

y,

M

2,

6 .

Розв’язання.

а) Канонiчне рiвняння параболи має вигляд y = 2px,

звiдки 2p = 12,

p = 6 параметр заданої параболи.

Фокус параболи має координати F

p

, 0 , звiдки F (3, 0).

2

108

-p 2			y
			p 2	x
			F
			M
Рiвняння директриси: x = −	p		= −3.
	2

Фокальний радiус точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = 4, y0 =

√

−4 3) дорiвнює

p

r = F M = M K = x0 + 2 = 4 + 3 = 7.

б) Канонiчне рiвняння параболи має вигляд y2 = −2px, звiдки 2p = 12, p = 6 параметр заданої параболи.

	y
M
-p 2	p 2 x
F

Фокус параболи має координати F −p2, 0 , звiдки F (−3, 0).

Рiвняння директриси: x = p2 = 3.

√Фокальний радiус точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = −4, y0 =

4 3) дорiвнює

− 2

= |−4 − 3| = 7.

r = F M = M K = x0

p

2

py, звiдки

p

,

в) Канонiчне рiвняння

параболи має вигляд x

= 2

2

= 12

p = 6 параметр заданої параболи.

p

Фокус параболи має координати F 0,

, звiдки F (0, 3).

2

109

		y
		F	M
p
	2		x
-p 2

Рiвняння директриси: y = −	p	= −3.
	2
		√

Фокальний радiус точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = 6 2, y0 = 6)

дорiвнює

p

r = F M = M K = y0 + 2 = 6 + 3 = 9.

г) Канонiчне рiвняння параболи має вигляд x2 = −2py, звiдки 2p = 12, p = 6 параметр заданої параболи.

y

p 2

x

M

F

-p

2

0

p

, звiдки F

(0

,

−3)

.

Фокус параболи має

координати F

,

−

p

2

Рiвняння директриси: y =

= 3.

2

√

Фокальний радiус точки M (x0, y0) (в нашiй ситуацiї x0 = −6 2, y0 =

−6) дорiвнює	− 2			= |−6 − 3| = 9.
r = F M = M K = y0
		p

Приклад 8.4. а) Скласти рiвняння елiпса, фокуси якого знаходяться на осi абсцис симетрично вiдносно початку координат, якщо сума довжин осей дорiвнює 16, а вiдстань мiж фокусами дорiвнює 8;

110