AGLA

(

б)

(x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 = 36, 3x + y − z − 9 = 0;

(

в)

x2 + y2 + z2 − 12x + 4y − 6z + 24 = 0, 2x + 2y + z + 1 = 0.

9.6. Задано рiвняння сфери S : x2 + y2 + z2 = R2 i рiвняння площини α : Ax + By + Cz + D = 0. За якої необхiдної i достатньої умови

а) площина α перетинає сферу S? В цьому випадку знайти центр i радiус кола, по якому перетинаються сфера S i площина α;

б) площина α дотикається сфери S? В цьому випадку знайти координати точки дотику;

в) площина α i сфера S не мають жодної спiльної точки?

9.7. Площина Ax + By + Cz + D = 0 перетинає сферу x2 + y2 + z2 = R2, але не проходить через її центр. За якої необхiдної i достатньої умови точка (x0, y0, z0) лежить всерединi кульового сегмента, обмеженого сферою i площиною, який не мiстить центр сфери?

Рiзнi типи поверхонь другого порядку

9.8. Визначити тип поверхнi при всiх можливих значеннях параметра

λ :

а) x2 + y2 + z2 = λ;				д) x2 − y2 − z2 = λ;
в) λx2	+ y2	+ z2	= λ;	е) x		+ λ y		+ z		= 1;
б) λx2	+ y2	+ z2	= 1;		2		2		2
г) x2 + y2 − z2 = λ;				є) x2 + λ y2 + z2 = λ;

171

ж) x2 + y2 = λz;		ї) x2 + λy2 = λz + 1;
з) λx2 + y2 = z;		к) x2 + y2 = λ;
и) λ x2 + y2	= z;	л) x2 + y2 = λ.

i) x2 + λy2 = λz;

9.9. а) Пояснити, що представляє собою алгебраїчна поверхня першого порядку;

б) навести приклад алгебраїчної поверхнi третього порядку i зобразити її в прямокутнiй декартовiй системi координат;

в) чи може алгебраїчна поверхня другого порядку представляти собою пряму? площину? пусту множину? Навести приклади;

г) назвати типи i виписати канонiчнi рiвняння поверхонь обертання, якi є алгебраїчними поверхнями другого порядку, зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат;

д) навести приклад поверхонь обертання, якi є алгебраїчними поверхнями третього, четвертого порядку i зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат;

е) назвати типи i виписати канонiчнi рiвняння цилiндричних поверхонь, якi є алгебраїчними поверхнями другого порядку, зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат;

є) навести приклад цилiндричних поверхонь, якi є алгебраїчними поверхнями третього, четвертого порядку i зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат;

ж) назвати типи i виписати канонiчнi рiвняння конiчних поверхонь, якi є алгебраїчними поверхнями другого порядку, зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат;

172

з) навести приклад конiчних поверхонь, якi є алгебраїчними поверхнями третього, четвертого порядку i зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат;

и) навести приклади цилiндричних, конiчних поверхонь, якi не є поверхнями обертання;

i)навести приклад поверхнi обертання, цилiндричної i конiчної поверхнi, якi не є алгебраїчними поверхнями;

ї) чи можна розглядати площину як частинний випадок конiчної поверхнi? цилiндричної поверхнi? поверхнi обертання?

Поверхнi обертання

9.10. Скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням кривої γ навколо осi Ox i зобразити отриману поверхню в прямокутнiй декартовiй системi координат. Крива γ в площинi Oxz задається рiвнянням:

а)

x2

+

z2

= 1;

б)

x2

−

z2

= 1;

в) −

x2

+

z2

= 1.

a2

c2

a2

c2

a2

c2

9.11. Скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням кривої γ навколо

(1) осi Oz,

(2) осi Oy;

зобразити отриману поверхню в прямокутнiй декартовiй системi координат. Крива γ в площинi Oyz задається рiвнянням:

а)

y2

+

z2

= 1;

б)

y2

−

z2

= 1;

в) −

y2

+

z2

= 1.

b2

c2

b2

c2

b2

c2

9.12. Скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням кривої γ навколо

173

(1) осi Ox,

(2) осi Oy;

зобразити отриману поверхню в прямокутнiй декартовiй системi координат. Крива γ в площинi Oxy задається рiвнянням:

а)

x2

y2

x2

y2

x2

y2

+

= 1;

б)

−

= 1;

в) −

+

= 1.

a2

b2

a2

b2

a2

b2

9.13. Скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням кривої

z2

= 2py,

навколо осi Oy; б) (

y2 = 2px,

а) (

x = 0

z = 0

навколо осi Ox.

9.14. Довести, що проекцiя елiпса, отриманого при перетинi площиною параболоїда обертання, на площину, яка перпендикулярна осi параболоїда, є коло.

9.15. Знайти умову необхiдну i достатню для того, щоб площина z = ax+by +c перетинала елiптичний параболоїд обертання x2 +y2 = 2pz (p > 0) по дiйсному елiпсу.

9.16. Скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням прямої

z	2 = 0,
а) (	− y = 0	навколо осi Ox;
x	y = 0,
б) (	− 2 z = 0	навколо осi Ox;
x	y = 0,
в) (	− 2 z = 0	навколо осi Oy.

9.17. Скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням прямої

174

x = 1 + t,

а) y = 3 + t, навколо осi Oz;

z = 3 + t

(

y − z + 1 = 0,

б) навколо осi Oz; x = 0

		x = −t,	( y = z.
в)		z = 2t	x = y,
	y = 2t, навколо прямої

9.18. Скласти параметричне рiвняння поверхнi, яка утворена обертан-

ням навколо осi Oz кривої

а) z = f (x), x > 0. x = ϕ(t),

б) y = ψ(t),z = χ(t).

9.19. а) Скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням кола x2 + y2 − 4x + 3 = 0 навколо осi Oy;

б) скласти рiвняння поверхнi, яка утворена обертанням гiперболи xy = 1 навколо її асимптот.

Цилiндричнi, конiчнi поверхнi

9.20. Скласти рiвняння прямого кругового цилiндра радiуса r, вiссю якого є пряма

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.
a		b		c

9.21. Скласти рiвняння прямого кругового цилiндра, який

175

а) проходить через точку M (2, 0, 1), якщо його вiссю є пряма

x = 5 + 2t,

y = 1 − t,

z = 3 + 2t;

б) проходить через точку M (2, −1, 1), якщо його вiссю є пряма

x = 3t + 1,

y = −2t − 2,

z = t + 2;

√

в) має радiус 2, якщо його вiссю є пряма

x = 1 + t,

y = 2 + t,z = 3 + t.

9.22.Довести, що рiвняння цилiндричної поверхнi з напрямною

x = ϕ(t),

y = ψ(t),z = χ(t)

i твiрною, паралельною вектору ~u {a, b, c} , визначається рiвнянням

x = ϕ(u) + av,

y = ψ(u) + bv,z = χ(u) + cv.

9.23.Скласти рiвняння цилiндричної поверхнi з напрямною γ, якщо

x2		y2 = 9,
а) γ : (	+	z = 1,	а твiрнi паралельнi вектору ~u(2, −3, 4);

176

		9x2 + 4y2						x		y = 11,
б) γ : (							− 18		− 16	z = 0,	а твiрнi паралельнi вектору
~u(1, 0, 1);
в) γ : (		z			y2		y = 6,
	2			−		+ 4x = 0,			а твiрнi паралельнi осi Ox;
г) γ : (	x2			−	y2 = 25,			а твiрнi паралельнi бiсектрисi кута мiж векто-
					z = 0,
рами ~e2 i ~e3;
			x2 − y2 = z,
д) γ : ( x + y + z = 0,								а твiрнi перпендикулярнi площинi напрямної;

x = −1 + 2 cos t,

е) γ : y = −1 + 2 sin t, а твiрнi паралельнi вектору ~u(1, 1, 1).

z = 3 − 2 cos t − 2 sin t

9.24. Скласти рiвняння цилiндричної поверхнi, описаної навколо сфери x2 + y2 + z2 = r2, якщо напрямний вектор твiрних дорiвнює {a, b, c} .

9.25. Скласти рiвняння цилiндричної поверхнi

а) описаної навколо сфери x2 + y2 + z2 = 1, якщо його твiрнi перпендикулярнi площинi x + y − 2z − 5 = 0;

б) описаної навколо сфери x2 + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z = 3, якщо його

x = 2t − 3,

твiрнi паралельнi прямiй y = −t + 7,

z = −2t + 5;

в) описаного навколо двох сфер (x − 2)2 + (y − 1)2 + z2 = 25 i x2 + y2 + z2 = 25.

177

9.26. Скласти рiвняння конiчної поверхнi з вершиною в початку коор-

динат, якщо її напрямна визначається рiвняннями:

(

а)

a2

+ b2 = 1,

г)

a2

− b2 = 1,

є)

z = c;

x2

y2

x2

y2

y2

= 2px,

z = c;

z = c;

x2

z2

z2

x2

x2 = 2pz,

б)

a2 + c2 = 1,

д)

c2 − a2 = 1,

ж)

(

y

=

b

;

y = b;

y = b;

y2

z2

y2

z2

2

в)

+

= 1,

е)

−

= 1,

z

= 2py,

b2

c2

b2

c2

з)

x = a;

x = a;

(

x = a.

9.27. Скласти рiвняння круглого конуса з вершиною в початку координат, якщо

а) вiсь Oz є вiссю симетрiї конуса, а точка M (3, −4, 7) лежить на його поверхнi;

б) вiсь Oy є вiссю симетрiї конуса, а його твiрнi нахиленi до осi Oy пiд кутом π/3;

в) його вiсь паралельна вектору ~u = {1, 1, 1}, а твiрнi утворюють з

1

вiссю кут arccos √ ; 3

г) його твiрнi дотикаються сфери (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 9;

x2	z + 1	= 0,
д) його напрямна задана рiвнянням (	y− 2z + 1	= 0;
	−
9.28. Скласти рiвняння конуса з вершиною в точцi S, якщо
			x2		y2
а) S (0, 0, c) , а напрямна визначається рiвнянням					z = 0;
		a2		+ b2		= 1,

178

б) S (3, −1, −2) , а напрямна визначається рiвнянням

(

x2 + y2 − z2 = 1,
x − y + z = 0;
в) S (5, 0, 0) , а твiрнi дотикаються сфери x2 + y2 + z2				= 9;
г) S (1, 1, 1) , а твiрнi дотикаються сфери x2 + y2 + z2				= 2;
д) S (3, 0, −1) , а твiрнi дотикаються елiпсоїда	x2		y2		z2
		+		+		= 1.
	6		2		3

9.29. Довести, що рiвняння конiчної поверхнi з напрямною

x = ϕ(t),

y = ψ(t),z = χ(t)

i вершиною в початку координат визначається рiвнянням

x = vϕ(u),

y = vψ(u),z = vχ(u).

Елiпсоїди, гiперболоїди, параболоїди

9.30. Визначити, якi поверхнi заданi рiвняннями, зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат:

а) 36x2	− 16y2 + 9z2 = 144;	д) 9x2	+ 72y − 4z2 = 0;
б) x2 + 4y2 + 4z2 = 16;
в) x2 + 4y2 + 8z = 0;		е) (x + 1)2 + 4y2 + 32z − 32 = 0;
г) 36x2	− 9y2 − 4z2 = 36;	є) 3x2	− 9(y − 1)2 + 4z2 + 36 = 0;

179

ж) 4x2 − y2 + 8z + 8 = 0;	и) 3(x+3)2+9(y+1)2−4z2−36 = 0.
з) 9(x −1)2 + 36y2 + 4(z −2)2 = 36;

9.31. Визначити, якi поверхнi заданi рiвняннями, зобразити їх в прямокутнiй декартовiй системi координат:

а) x2 + 2y2 − 4z2 − 6x + 4y + 32z − 49 = 0;

б) x2 + 2y2 + 6x − 8y + 6z + 1 = 0;

в) 4x2 + 9y2 + 36z2 + 8x + 36y − 72z + 40 = 0;

г) 2x2 + y2 − z2 + 16x − 2y + 4z + 17 = 0;

д) x2 − 2y2 + 6x + 4y − 8z + 47 = 0;

е) 3x2 + 4y2 + 6z2 − 6x + 16y − 36z + 49 = 0;

є) x2 + 2y2 − z2 + 2x − 4y + 2z + 1 = 0;

ж) 2x2 − 3y2 + 12x + 12y − 12z − 42 = 0;

з) 4x2 + 16y2 − z2 − 8x + 32y + 6z + 27 = 0;

и) 2x2 + 3y2 + 6x − 18y − 2z + 47 = 0.

9.32. Скласти рiвняння елiпсоїда, осi якого збiгаються з осями координат, за умови, що елiпсоїд проходить через

		y2		z2				x2		y2
				x = 0						z = 0;
а) елiпси		16	+	9	= 1,	та		4	+	16	= 1,

		x2	+	y2
б) елiпс		8		z = 0		та точку M (2, 0, 1);
				1	= 1,

180