AGLA

(z − 3)2

=

−

1;

и) елiптичний параболоїд

(x + 3)2

+

(y − 3)2

= 2(z

−

1).

1/3

16

1/2

a)

x2

y2

z2

x2

y2

z2

x2

y2

z2

9.32.

+

+

= 1;

б)

+

+

= 1;

в)

+

+

= 1;

4

9

1

2

25

2

x2

y2

16

8

25

z2

г)

+

+

= 1.

9

36

36

y2

z2

x2 + y2

z2

a)

x2

9.33.

+

−

= 1;

б)

−

= 1.

5

9

4

9

x2

10

a) x2

y2

z2

y2

z2

9.34.

+

−

= −1;

б)

−

+

= −1.

1/2

1/3

4

9

16

y2

9.35.

a) x2

− 3z2 = y; б)

+ z2 = 2x.

4

9.36.

a) елiпс, коли |α| < a, |β| < b або |γ| < c; вироджений елiпс,

коли α = ±a (точки (±a, 0, 0)), β = ±b (точки (0, ±b, 0)), γ = ±c (точки (0, 0, ±c)); площина не перетинає елiпсоїд, коли |α| > a, |β| > b або |γ| > c; б) гiпербола, коли α 6= ±a або β 6= ±b; пара перетинних прямих, коли α = ±a або β = ±b; елiпс при всiх γ R; в) гiпербола, при всiх α, β R; елiпс, коли |γ| > c; вироджений елiпс, коли γ = ±c (точки (0, 0, ±c)); площина не перетинає двопорожнинний гiперболоїд, коли |γ| < c; г)

парабола, при всiх α, β R; елiпс, коли γ > 0;	вироджений елiпс, коли
γ = 0 (точка (0, 0, 0)); площина не перетинає	елiптичний параболоїд,

коли γ < 0;

д) парабола, при всiх α, β R; гiпербола, коли γ 6= 0;

пара перетинних прямих, коли γ = 0.

a) елiпс з пiвосями 3, √

, вершинами в точках (2, ±3, 0) ,

9.39.

3

±

√

б)

гiпербола

з

пiвосями 4,

3, вершинами в точках

−

2, 0, ±

3 ;

( 4, 0,

1) ;

в)

парабола

з

параметром

15, вершиною в

точцi

(0, −6, −3/2) .

√

б) |λ| < 1.

9.41.

a) 1 < |λ| < 2;

9.42. a) λ 6= 0 i λ ≥ −1/4 (у випадку λ = −1/4 - вироджений елiпс);

б) λ = 0.

9.43.

a)

гiпербола;

б)

елiпс;

в) гiпербола; г) елiпс;

д)

парабола;

е) гiпербола;

є)

пара

прямих;

ж) пара прямих;

з)

пряма;

и) пряма;

i) елiпс;

ї) парабола.

221

9.45.

a)

x

=

y + 1

=

z − 1

,

x

=

y + 9

=

z + 3

;

б)

x − 6

=

4

1

2

y − 2

1

−2

12

3

=

z − 8

,

x − 6

=

y − 2

=

z − 8

; в)

x

=

y + 4

=

z + 1

,

x

=

0

1

1

4

9

8

20

2

1

y − 4

=

z + 1

.

−2

1

x

=

y − 3

=

z

,

x − 2

=

y

=

z

;

б)

x − 2

=

y − 1

=

z

,

9.46.

a)

1

−1

x − 4

0

−2

0

3

−4

2

1

=

y + 2

=

z

.

2

1

2

y

z

x + 2

y

z

x − 5

y

z

9.47.

a)

x − 2

=

=

,

=

=

;

б)

=

=

,

−1

16

x

y + 4

z

2

1

−8

2

0

2

−1

=

=

.

5

0

2

б) x −2y −3z −6 = 0;

9.48.

a) 3x + y −2z −2 = 0;

в) x + y + z = 0.

9.49.

arccos 1/17.

λ2

9.50.

a) π/2;

б) π/3;

в) arccos

.

λ2 + 1

(

x2

y2 = 1,

y

x = 0,

9.51.

a)

коло

(

+ z = 0;

б) пара

прямих

± z = 0;

в)

гiпербола

(

4x2

−

8z + 3 = 0.

16y2

= −3,

9.52.Вказiвка: Написати рiвняння проекцiй i скористатися умовами того, що пряма є дотичною до вiдповiдної кривої другого порядку.

9.53.Проекцiї прямолiнiйних твiрних дотикаються параболiчних перерiзiв в площинах Oxz i Oyz, а в площинi Oxy вони складають в’язки прямих, паралельнi тим двум прямим, на якi розпадається лiнiя перетину поверхнi i площини Oxy.

9.55. Вказiвка: Для доведення достатньо показати, що всi прямолiнiйнi твiрнi однопорожнинного гiперболоїда обертання утворюють однаковi кути з вiссю обертання (осi Oz), що найкоротша вiдстань вiд довiльної прямолiнiйної твiрної до осi Oz вимiрюється по вiдповiдному радiусу горлового круга (x2 + y2 = a2, z = 0) i дорiвнює цьому радiусу. Можна i беспосередньо вивести рiвняння поверхнi,

222

отриманої при обертаннi прямої навколо осi, яка не лежить з нею в однiй площинi.

9.56. Однопорожнинний гiперболоїд, коли λ =6 1, гiперболiчний параболоїд, коли λ = 1. Вказiвка: Взяти за початок координат середину O спiльного перпендикуляра до заданих прямих, за вiсь Oz цей спiльний перпендикуляр, а за осi Ox i Oy прямi, якi лежать в площинi паралельнiй до даних прямих, i є бiсектрисами кутiв мiж проекцiями даних прямих на цю площину.

9.57.

x2

= 2pz,

z 6= 0,

(

−

Двi

параболи

(без

вершин):

(

y = 0

i

x = 0, де p = a + b

.

y2

=

2pz,

z 6= 0,

2 2

9.58. По двом колам радiуса a.

z + a

z

a

y =

±

−

.

9.59.

√2

,

По чотирьом прямим x = ±

√2

±

−

√

9.60.

По двох колах, якi

лежать в площинах bz

=

y

2

2

a

b .

9.61.По двом елiпсам.

9.62.Круглий цилiндр, якщо прямi паралельнi; конус другого порядку, якщо прямi перетинаються, але не перпендикулярнi; однопорожнинний гiперболоїд, якщо прямi мимобiжнi i не перпендикулярнi; пара взаємно перпендикулярних площин, якщо прямi перпеникулярнi.

223

Лiтература

1 Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука., 1968. 912 с.

2 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука., 1987. 320 с.

3Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука., 1987. 496 с.

4Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука., 1975. 272 с.

5 Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука.,

1971. 232 с.

6 Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука., 1972. 240 с.

7 Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука., 1976. 384 с.

8Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука., 1979. 336 с.

9 Придатченко Ю.В., Львов В.А. Алгебра для фiзикiв: вектори i координати: Навч. посiбник. Видавничо-полiграфiчний центр "Київський унiверситет"., 2002. 87 с.

10 Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука., 1970. 336 с.

224