§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов

I. Необходимый признак сходимости рядов

Необходимым признаком сходимости рядов является следующая теорема.

Теорема.Если ряд сходится, то предел его общего членаприравен нулю, т.е..

Однако на практике в таком виде применять теорему для исследования ряда невозможно, т.к. мы не знаем, сходится ли наш ряд. Поэтому для практического применения необходимый признак сходимости сформулируем в следующем виде:

Следствие.Если предел общего члена ряда прине равен нулю, то ряд расходится.

Пример.Исследовать на сходимость ряд

Решение.Т.к., то ряд расходится (по необходимому признаку сходимости).

Очень важно помнить, что из того, что , не следует ни сходимость, ни расходимость ряда. Говорят, что если, то необходимый признак не работает.

Замечание.Смыслилипользаэтого признака: если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, а если, то это заведомо расходящийся ряд. Этот признак являетсянеобходимым, но не достаточным.

В качестве примера рассмотрим ряд

, (2.1)

называемый гармоническим.

Необходимый признак сходимости для этого ряда не работает, т.к. . Докажем, что ряд расходится.

Перепишем ряд (2.1) в виде:

(2.2)

Напишем вспомогательный ряд:

(2.3)

Ряд (2.3) строится так, что каждый его член меньше либо равен соответствующему члену ряда (2.2).

Обозначим через суммупервых членов ряда (2.2), и черезчастичную сумму ряда (2.3).

Т.к. каждый член ряда (2.2) больше либо равен соответствующему ему члену ряда (2.3), то

. (2.4)

Вычислим несколько частичных сумм ряда (2.3) для значений , равных:

………………………………………………………….

следовательно,, а тогда в силу (2.4), и ряд (2.1) расходится.

Далее рассмотрим достаточные признаки сходимостизнакоположительных рядов.

II. Признак Даламбера

Теорема.Пусть для ряда() существует предел отношения ()-го члена ряда к-му:. Тогда:

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры

Исследовать следующие ряды на сходимость:

1) . Решение.Т.к.

то по признаку Даламбера ряд сходится.

2)

Замечание.Напомним, что, поэтому.

Решение.Воспользуемся формулой, тогда:

следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

3)

Решение

и ряд расходится.

Замечание.С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость имеет смысл только тогда, когда в выражении для- го члена ряда имеются показательная функция и/или факториал.

III. Радикальный признак Коши

Теорема.Пусть для ряда, () существует. Тогда

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры.Исследовать следующие ряды на сходимость:

1)

Решение.Вычислим

, следовательно, по радикальному признаку Коши ряд расходится.

2)

Решение.Вычислим

, следовательно, по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Замечание.С помощью радикального признака Коши исследовать ряды на сходимость имеет смысл тогда, когда-й член ряда представляет собой некое выражение, возведенное в-ю степень.