§4. Степенные ряды

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени:

(4.1)

Определение.Ряд вида (4.1) называетсястепенным, а числаназываютсякоэффициентамистепенного ряда.

Рассматривают и степенные ряды более общего вида:

(4.2)

(по степеням ). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (4.1), ибо приводится к нему простой заменой переменной:.

Определение.Множество значений, при которых степенной ряд (4.1) или (4.2) сходится, называетсяобластью сходимостистепенного ряда.

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы:

Теорема Абеля

1) Если степенной ряд вида (4.1), т.е. по степеням , сходится при значении(отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значенияхтаких, что.

2) Если степенной ряд вида (4.1) расходится при значении , то он расходится при всех значенияхтаких, что.

Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.

Теорема.Областью сходимости степенного ряда вида (4.2), т.е. ряда по степеням, является интервал с центром в точкеи с концами в точкахи.

Число получило названиерадиуса сходимости, а интервал–интервала сходимостистепенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. приивопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при), у других охватывает всю числовую ось (при).

Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (4.1).

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:

(4.3)

Т.к. при каждом конкретном ряд (4.3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:

Допустим, что существует

.

Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если (т.е. при), и расходится, если(т.е. при).

Следовательно, ряд (4.1) сходится абсолютно при и расходится при, и интервалом сходимости является интервал, а радиусом сходимости является число.

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости, поэтому необходимо, подставляя значенияв ряд (4.1), исследовать получающиеся числовые ряды в каждом конкретном случае.

Замечание.Интервал сходимости можно найти, используя радикальный признак Коши (также применяя его к ряду (4.3)):

.

Примеры

Найти области сходимости степенных рядов:

1)

Решение.Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

.

Применим к нему признак Даламбера.

Отсюда получаем интервал сходимости: .

Исследуем сходимость на концах интервала:

При исходный ряд принимает вид:– это обобщенный гармонический ряд при, а значит, он сходится. Приполучаем абсолютно сходящийся ряд, т.к. ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид: .

2) .

Решение.Ряд, составленный из модулей, имеет вид:

.

ряд сходится при любых. Таким образом, интервалом сходимости является интервал.

3)

Решение.Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, исследуем с помощью радикального признака Коши:

Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки .

4)

Решение

.

Отсюда получаем интервал сходимости: .

При исходный ряд имеет вид:– это расходящийся ряд (обобщенный гармонический при). Подставляя, получаем условно сходящийся ряд. Окончательно, интервал сходимости ряда имеет вид:.

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией во всем интервале сходимости ряда.

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему в интервале сходимости

.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать сколь угодно раз. При этом будут получаться степенные ряды с тем же радиусом сходимости:

Задачи.Найти области сходимости степенных рядов:

60 61.62.

63. 64.65.

66. 67.68.

69. 70.71.

72. 73.74.

75. 76.77.

78. 79.80.

81.82.83.

84. 85.(Указание: при исследовании сходимости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга ).