Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Ряды_окончательный вариант.doc

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

IV. Интегральный признак Коши

Теорема.Пусть члены рядаположительны и пустьтакая непрерывная функция, что,, …, …, причем функцияневозрастающая на интервалепри некотором. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд,

2) если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд.

Для краткости говорят: «Ряд и интеграл ведут себя одинаково».

Замечание.Для применения интегрального признака к исследованию сходимости ряданадо подобрать такую функцию, что, т.е. попросту говоря, выписатьи заменить в немn на x, и затем исследовать сходимость интеграла. Это имеет смысл делать только тогда, когда полученный интеграл достаточно легко вычисляется.

Примеры

1) Применим интегральный признак к исследованию на сходимость ряда вида ,, называемогообобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Решение.В этом случае требуемой функцией является. Функцияявляется невозрастающей на интервале. Вычислим.

Если , то.

Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при. То же самое можно сказать и о данном ряде.

Запомнить!Обобщенный гармонический рядсходится прии расходится при.

2) Исследовать на сходимость ряд .

Решение.Выписави заменив в немn на x, получим функцию.

Внимание!Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида, к интегрированию переходить рано!

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:. Критическая точка, на интервале, т.е. функцияневозрастающая. Теперь можно переходить к интегрированию.

,интеграл расходится, расходится и данный ряд.

V. Признаки сравнения

Теорема.Первый признак сравнения(признак сравнения в форме неравенства). Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2.5)

(2.6)

причем члены первого ряда не превосходят членов второго при любом , т.е.

(2.7)

Тогда: а) если сходится ряд (2.6), то сходится и ряд (2.5)

б) если расходится ряд (2.5), то расходится и ряд (2.6).

Удобно применять другую формулировку этой теоремы:

а) если больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится;

б) если меньший ряд расходится, то больший ряд тоже расходится.

Примеры

Исследовать сходимость следующих рядов:

Решение.Сравним данный ряд с гармоническим, мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к.,, и вообще,(ведь), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится.

Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами:

, (2.8)

Иногда приходится применять более сложные неравенства:

при некотором.

Решение.Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в четную степень. Далее очевидное неравенствопозволяет заключить, что, а поскольку рядсходится, то и ряд с меньшими членамитоже сходится.

Решение.Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом:

(здесь мы учли, что ).

Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при), то исследуемый ряд также сходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд– сходится при, расходится при,

б) обобщенный гармонический рядсходится прии расходится при.

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (2.7), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства.

Теорема.Второй признак сравнения(признак сравнения в предельной форме). Еслии– ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов, причем, то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причемpудобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1.

Примеры

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом, причемpподберем в процессе сравнения.

Выпишем предел и преобразуем его:

(2.9)

Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, т.е., или(в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, т.е. не 0 и не). Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд, т.е. сходится.

Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел (2.9), далее пишут сходится. Ясно, что слово «сходится» относится сразу к двум рядам и к, и к исходному ряду.

Следствием второго (предельного) признака сравнения является третий признак сравнения.

Теорема.Третий признак сравнения(признак сравнения в форме эквивалентных б.м. или кратко эквивалентный признак сравнения). В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда (сходимость или расходимость) от этого не изменится.

Замечание 1.Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин (при):

Замечание 2.При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при, а в рядах всегда, т.е.nявляется бесконечно большой. А вот бесконечно малыми являются величины вида:(и вообщепри),(и вообщепри).

Решение.Т.к. при(т.е.– б.м.), то, и рядведет себя так же, как и ряд– обобщенный гармонический ряд приp=1/2<1, т.е. расходится.

На практике запись ведут кратко:

– расходится. Ясно, что слово «расходится» относится к обоим рядам.

3) .

Решение.Т.к.,то, рядзнакоположительный, и к нему можно применять эквивалентный признак сравнения. Поскольку– б.м. при, тои=.

Последний ряд легко исследуется по признаку Даламбера (он сходится).

Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость.

Решение.Проверим необходимый признак:– необходимый признак не работает. Попробуем применить признак Даламбера:

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Этого следовало ожидать (см. замечаниек признаку Даламбера).

Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом:

т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов.

Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства (первый признак сравнения). Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: ... Т.к. члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического, что вытекает из неравенства (2.8), то данный ряд расходится.

Отметим, что для исследования сходимости данного ряда неприменим и интегральный признак, т.к. первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией, т.е. соответствующий неопределенный интеграл является «не берущимся».