- •§1. Основные понятия
- •§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •I. Необходимый признак сходимости рядов
- •II. Признак Даламбера
- •III. Радикальный признак Коши
- •IV. Интегральный признак Коши
- •V. Признаки сравнения
- •§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов
- •§4. Степенные ряды
- •§5. Ряды Маклорена и Тейлора
- •§6. Применение рядов в приближенных вычислениях
- •§1. Основные понятия 3
§6. Применение рядов в приближенных вычислениях
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.
Примеры
I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
а)
Решение.Для вычислениязапишем ряд (5.3) при, принадлежащем области сходимости:
Взяв первые пять членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда, мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е..
Итак,
б)
Решение.Воспользуемся разложением (5.11), подставив в него, входящее в область сходимости:
Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.
Если в качестве взять сумму первых трех членов, мы допустим погрешность
(здесь мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна)
Итак,
в)
Решение.Для вычислениязапишем ряд (5.4) при, принадлежащем области сходимости:
(необходимо взять два члена, так как при этом погрешность ). Итак,
.
II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:
a)
Решение.Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.
Воспользуемся разложением (5.4). Разделив обе части на , получим
, причем ряд сходится при всех значениях. Интегрируя почленно, получим:
Возьмем первые три члена разложения, т.к. .
Итак,
б)
Решение.Заменивнав разложении (5.3), получим:
.
Умножая полученный ряд на :
,
и почленно интегрируя в интервале , принадлежащем интервалу сходимости ряда, имеем:
При этом . Итак,.
Задачи
Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.
86. 87.88.
89. 90.91.
92.
Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти область сходимости полученного ряда.
93. по степеням
94 по степеням
95. по степеням
96. по степеням
97. по степеням
98. по степеням
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
99. 100.101.102.103.
104.
Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:
105. 106.
Ответы
В задачах 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 42, 43, 44 – ряды сходятся.
В задачах 2, 4, 5, 11, 14, 16, 20, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 39, 40, и 41 – ряды расходятся.
В задачах 45, 46, 47, 49, 50, 51, 55 – ряды абсолютно сходятся.
В задачах 48, 53, 54, 57 – ряды сходятся условно.
В задачах 52, 56, 58, 59 – ряды расходятся.
60. (-1;1], 61. [-1/2;1/2), 62. {0}, 63. (-1/3;1/3], 64. (-1;1), 65. [0;2], 66. [-10;10), 67. (-∞;∞), 68. (-7;-1), 69. [-4;4), 70. (-2;2), 71. ,72. [1;3), 73. (-1/3;1/3), 74. (-∞;∞), 75. [-1;1], 76. [-1;1), 77. (1;5], 78. (-1/4;1/4), 79. (-1/3;1/3), 80. (-3;1], 81. (-1;1], 82. (-∞;∞), 83. ,84. ,85. [-1/e;1/e),
86.87.
88.89.
90.91.
92.93.
94.95.
96.97.
98.
99.100.101.
102.103.104.
105.106..
Оглавление