- •§1. Основные понятия
- •§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •I. Необходимый признак сходимости рядов
- •II. Признак Даламбера
- •III. Радикальный признак Коши
- •IV. Интегральный признак Коши
- •V. Признаки сравнения
- •§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов
- •§4. Степенные ряды
- •§5. Ряды Маклорена и Тейлора
- •§6. Применение рядов в приближенных вычислениях
- •§1. Основные понятия 3
§5. Ряды Маклорена и Тейлора
Предположим, что функция , определенная и бесконечно дифференцируемая в окрестности точки, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд
(5.1)
Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции, почленно дифференцируя рядраз:
…………………………………………………………….
Полагая в полученных равенствах , получим,,,, …,, откуда
,,,,…,,…
Подставляя значения коэффициентов , в (5.1), получим ряд:
(5.2)
называемый рядом Маклорена.
Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся или сходящимся не к функции.
Если представить ряд Маклорена в виде , где– -я частичная сумма ряда,–-й остатокряда, то можно сформулировать следующую теорему:
Теорема.Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции, необходимо и достаточно, чтобы приостаток ряда стремился к нулю, т.е.для всех значенийиз интервала сходимости ряда.
Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.
Замечание.Ряд Маклорена является частным случаемряда Тейлора:
при
Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:
, где– остаточный член формулы Тейлора, который можно записатьв форме Лагранжа:
,.
Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
1.
Имеем ;
, и по формуле (5.2) получаем
. (5.3)
Областью сходимости этого степенного ряда является интервал .
2.
Имеем: ,,,,, откуда
,,,,и т.д.
Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка,, и по формуле (5.2) имеем
(5.4)
Область сходимости ряда .
3. .
Рассматривая аналогично функции , получим:
(5.5)
Область сходимости ряда .
4. , где– любое действительное число.
Имеем ,,
,, …,
, …
При :,,,
, …,и по формуле (5.2) получаем
(5.6)
Найдем интервал сходимости ряда:
Ряд, составленный из модулей , исследуем с помощью признака Даламбера:
.
Следовательно, интервал сходимости ряда . На концах интервала присходимость ряда зависит от конкретных значений.
Ряд (5.6) называется биномиальным. Если– целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулубинома Ньютона, так как присомножительравен нулю, следовательно,-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
Выпишем некоторые разложения функции при различных.
:
,(5.7)
Если в это разложение подставить вместо, получим:
(5.8)
:
,(5.9)
:
,(5.10)
5. .
Получить разложение для этой функции, непосредственно вычисляя коэффициенты с помощью производных, не очень просто, поэтому мы воспользуемся разложением (5.7) и свойством 2) степенных рядов. Интегрируя почленно равенство (5.7) в интервале , где, с учетом того, что, получим
(5.11)
Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала) есть .
6.
Проделаем то же самое, что и в предыдущем случае, воспользовавшись разложением (5.8):
(5.12)
Область сходимости ряда .
7.
Воспользуемся разложением (5.10), подставив в него вместо:
Интегрируя в интервале , где, получаем:
(5.13)
Область сходимости ряда
Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (5.3) – (5.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.
При разложении более сложных функций часто используют готовые разложения (5.3) – (5.13).
Примеры
1) Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Воспользуемся известной тригонометрической формулой
Разложим в ряд Маклорена функцию , заменяя в разложении (5.5)на:
Тогда
Это и есть разложение в ряд Маклорена функции . Очевидно, что оно справедливо при любом.
2) Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию
Решение.Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было воспользоваться разложением (5.7):
Полученное разложение справедливо, когда . Отсюда получаемили.