Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Teoria_ryadov_12.doc

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

§3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов

I. Необходимый признак сходимости рядов.

Необходимым признаком сходимости рядов является следующая теорема.

Теорема.Если ряд сходится, то предел его общего членаприравен нулю, т.е..

Однако на практике в таком виде применять теорему для исследования ряда невозможно, т.к. мы не знаем, сходится ли наш ряд. Поэтому для практического применения необходимый признак сходимости сформулируем в следующем виде:

Следствие.Если предел общего члена ряда прине равен нулю, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение.Т.к., следовательно (по необходимому признаку сходимости), ряд расходится.

Очень важно помнить, что из того, что , не следует ни сходимость, ни расходимость ряда. Говорят, что принеобходимый признак не работает.

Замечание:Смыслилипользаэтого признака: если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, а если, то это заведомо расходящийся ряд. Этот признак является необходимым, но не достаточным.

В качестве примера рассмотрим ряд , называемыйгармоническим.

Необходимый признак сходимости для этого ряда не работает, т.к. . Докажем, что ряд расходится.

Перепишем ряд в виде:

(4)

Напишем вспомогательный ряд:

(5)

Ряд (5) строится так, что каждый его член соответствующего ряда (4).

Обозначим через суммупервых членов ряда (4), и черезчастичную сумму ряда (5).

Т.к. каждый член ряда (4) соответствующего ему члена ряда (5), то

. (6)

Вычислим несколько частичных сумм ряда (5) для значений , равных:

………………………………………………………….

следовательно,, а тогда в силу (6), и ряд (4) расходится.

Далее рассмотрим достаточные признаки сходимостизнакоположительных рядов.

II. Признак Даламбера.

Теорема.Пусть для ряда() существует предел отношения ()-го члена ряда к–му:. Тогда:

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры. Исследовать следующие ряды на сходимость:

Решение.Т.к.

то по признаку Даламбера ряд сходится.

Замечание.Напомним, что, поэтому.

Решение.Воспользуемся формулой, тогда:

следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Решение:

и ряд расходится.

Замечание:С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость имеет смысл только тогда, когда в выражении для- го члена ряда имеются показательная функция и/или факториал.

III. Радикальный признак Коши.

Теорема.Пусть для ряда, () существует

. Тогда

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры. Исследовать следующие ряды на сходимость:

Решение. Вычислим

, следовательно, по радикальному признаку Коши ряд расходится.

Решение. Вычислим

, следовательно, по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Замечание. С помощью радикального признака Коши исследовать ряды на сходимость имеет смысл тогда, когда–й член ряда представляет собой некое выражение, возведенное в–ю степень.

IV. Интегральный признак Коши.

Теорема. Пусть члены рядаположительны и пустьтакая непрерывная функция, что,, …, …, причем функцияневозрастающая на интервалепри некотором. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд,

2) если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд.

Для краткости говорят: «Ряд и интеграл ведут себя одинаково».

Замечание. Для применения интегрального признака к исследованию сходимости ряданадо подобрать такую функцию, что, т.е. попросту говоря выписатьи заменить в немn на x, и затем исследовать сходимость интеграла. Это имеет смысл делать только тогда, когда полученный интеграл достаточно легко вычисляется.

Примеры.

1) Применим интегральный признак к исследованию на сходимость ряда вида ,, называемогообобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Решение. В этом случае требуемой функцией является. Функцияявляется невозрастающей на интервале. Вычислим.

Если , то.

Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при. То же самое можно сказать и о данном ряде.

Запомнить!Обобщенный гармонический рядсходится прии расходится при.

2) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выписави заменив в немn на x, получим функцию.

Внимание!Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида, к интегрированию переходить рано!

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:. Критическая точка, на интервале, функцияубывает. Теперь можно переходить к интегрированию.

,интеграл расходится, расходится и данный ряд.

V. Признаки сравнения.

Теорема. Первый признак сравнения (признак сравнения в форме неравенства).Пусть даны два ряда с положительными членами:

(7)

(8)

причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом

(9)

Тогда: а) если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7)

б) если расходится ряд (7), то расходится и ряд (8).

Удобно применять другую формулировку этой теоремы:

а) если больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится;

б) если меньший ряд расходится, то больший ряд тоже расходится;

Примеры. Исследовать сходимость следующих рядов:

Решение.Сравним данный ряд с гармоническим, мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к.,, и вообще,(ведь), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится.

Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами:

, (10)

Иногда приходится применять более сложные неравенства:

при некотором. (11)

Решение. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в положительную степень. Далее, очевидное неравенствопозволяет заключить, что, а поскольку рядсходится, то и ряд с меньшими членамитоже сходится.

Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом:

(здесь мы учли, что ).

Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при), то исследуемый ряд также сходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд– сходится при, расходится при,

б) обобщенный гармонический рядсходится прии расходится при.

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (9), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства.

Теорема.Второй признак сравнения(признак сравнения в предельной форме). Еслии– ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов, причем, то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причемpудобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1.

Примеры.

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом, причемpподберем в процессе сравнения.

Выпишем предел и преобразуем его:

(12)

Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, т.е., или(в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, т.е. не 0 и не). Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд, т.е. сходится.

Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел (12), далее пишут сходится. Ясно, что слово «сходится» относится сразу к двум рядам и к, и к исходному ряду.

Следствием второго (предельного) признака сравнения является третий признак сравнения.

Теорема. Третий признак сравнения (признак сравнения в форме эквивалентных б.м. или кратко эквивалентный признак сравнения).В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда (сходимость или расходимость) от этого не изменится.

Замечание 1. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин (при):

Замечание 2. При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при, а в рядах всегда, т.е.nявляется б.б.. А вот б.м. являются величины вида:(и вообщепри),(и вообщепри).

Решение.Т.к. при(т.е.— б.м.), то, и рядведет себя так же, как и ряд– обобщенный гармонический рядp=1/2<1, т.е. расходится.

На практике запись ведут кратко:

– расходится. Ясно, что слово «расходится» относится к обоим рядам.

3) .

Решение.Т.к.,то, рядзнакоположительный, и к нему можно применять эквивалентный признак сравнения. Поскольку– б.м. при, тои=.

Последний ряд легко исследуется по признаку Даламбера (он сходится).

Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость.

Решение. Проверим необходимый признак:– необходимый признак не работает. Попробуем применить признак Даламбера:

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Этого следовало ожидать (см. замечаниек признаку Даламбера).

Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом:

т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов.

Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства (первый признак сравнения). Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: ... Т.к. члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического, что вытекает из неравенства, то данный ряд расходится.

Отметим, что для исследования сходимости данного ряда неприменим и интегральный признак, т.к. первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией, т.е. соответствующий неопределенный интеграл является «не берущимся».