- •Введение в теорию рядов
- •§1. Основные понятия
- •§2. Свойства сходящихся рядов
- •§3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •I. Необходимый признак сходимости рядов.
- •II. Признак Даламбера.
- •III. Радикальный признак Коши.
- •IV. Интегральный признак Коши.
- •§4. Признаки сходимости знакопеременных рядов
- •§5. Степенные ряды
- •§6. Ряды Маклорена и Тейлора
- •§7. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
- •§8. Применение рядов в приближенных вычислениях
§4. Признаки сходимости знакопеременных рядов
Определение:Знакочередующимся рядомназывается ряд вида
, (1)
где – положительные числа.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости:
Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) убывают по абсолютной величине и предел его общего члена приравен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.
Т.е. для того, чтобы исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, достаточно проверить выполнение двух условий:
1) (2)
2) (3)
Замечание: Неравенства (2) могут выполняться, начиная с некоторого.
Пример 1.
Исследовать на сходимость ряд
Решение.Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:, и вообще,, а общий член ряда пристремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится.
Пример 2.
Исследовать на сходимость ряд .
Решение.Проверим условие (2):. Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функциямонотонно убывает на некотором интервале вида. Для этого вычислим ее производную. Т.к., при, то отсюда следует, чтопри, т.е. функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенство (2) выполняется для любых, начиная с трех.
Проверим условие (3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим. Следовательно, и.
Т.о. оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится.
Определение.Ряд называетсязнакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.
Предполагаем теперь, что в записи
(4)
имеются как положительные, так и отрицательные .
Теорема (модульный признак сходимости знакопеременных рядов).
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (4):
(5)
сходится, то сходится и данный ряд.
Отметим, что если ряд (5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд)расходится.
В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости:
Определение.Знакопеременный рядназываетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение. Знакопеременный рядназываетсяусловно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, а сам ряд сходится.
Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А рядявляется абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин, сходится (обобщенный гармонический при).
Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:
Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке):
Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.
Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
Примеры:
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.
1)
Решение.Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:сходится по признаку сравнения, т.к., а ряд– сходится (обобщенный гармонический ряд при). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.
2)
Решение.Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:. Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом(pподберем в процессе сравнения), имеемилишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при, следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет.
Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что:
1) , 2).
Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится.
Задачи.
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
1. 2.3.
4. 5.6.
7. 8.9.
10.11.12.
13.14.15.