- •Введение в теорию рядов
- •§1. Основные понятия
- •§2. Свойства сходящихся рядов
- •§3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •I. Необходимый признак сходимости рядов.
- •II. Признак Даламбера.
- •III. Радикальный признак Коши.
- •IV. Интегральный признак Коши.
- •§4. Признаки сходимости знакопеременных рядов
- •§5. Степенные ряды
- •§6. Ряды Маклорена и Тейлора
- •§7. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
- •§8. Применение рядов в приближенных вычислениях
§8. Применение рядов в приближенных вычислениях
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.
Примеры:
I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
а)
Решение.Для вычислениязапишем ряд (2) при, принадлежащем области сходимости:
Взяв первые пять членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е..
Итак,
б)
Решение.Воспользуемся разложением (10), подставив в него, входящее в область сходимости:
Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.
Если в качестве взять сумму первых трех членов, мы допустим погрешность
(здесь мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна)
Итак,
в)
Решение. Для вычислениязапишем ряд (3) при, принадлежащем области сходимости:
(необходимо взять два члена, так как при этом погрешность ). Итак,
.
II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:
a)
Решение.Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.
Воспользуемся разложением (3). Разделив обе части на , получим
, причем ряд сходится при всех значениях. Интегрируя почленно, получим:
Возьмем первые три члена разложения, т.к. .
Итак,
б)
Решение.Заменивнав разложении (2), получим:
.
Умножая полученный ряд на
и почленно интегрируя в интервале , принадлежащем интервалу сходимости ряда, имеем:
При этом .
Итак, .
Задачи.
Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.
1. 2.3.
4. 5.6.
7.
Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти область сходимости полученного ряда.
1. по степеням
2. по степеням
3. по степеням
4. по степеням
5. по степеням
6. по степеням
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
1. 2.3.4.
5. 6.
Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:
1. 2.
Подписано в печать 2012 г. Формат 6084/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. изд. листов 2. Тираж 600. Заказ №
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова
Издательско-полиграфический центр
117571, Москва, просп. Вернадского, 86.
*Напомним, что степенью степенного выражения называется наибольшая из степеней входящих в него слагаемых, само это слагаемое называется старшим, а его коэффициент называется старшим коэффициентом. Например, у степенного выражениястаршее слагаемоеимеет степень 1,5, а старший коэффициент равен 5.