- •Введение в теорию рядов
- •§1. Основные понятия
- •§2. Свойства сходящихся рядов
- •§3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •I. Необходимый признак сходимости рядов.
- •II. Признак Даламбера.
- •III. Радикальный признак Коши.
- •IV. Интегральный признак Коши.
- •§4. Признаки сходимости знакопеременных рядов
- •§5. Степенные ряды
- •§6. Ряды Маклорена и Тейлора
- •§7. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
- •§8. Применение рядов в приближенных вычислениях
§6. Ряды Маклорена и Тейлора
Предположим, что функция , определенная и бесконечно дифференцируемая в окрестности точки, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд
Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции, почленно дифференцируя рядраз:
…………………………………………………………….
Полагая в полученных равенствах , получим,,,, …,, откуда
,,,,…,,…
Подставляя значения коэффициентов , получим ряд:
(1)
называемый рядом Маклорена.
Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся или сходящимся не к функции.
Если представить ряд Маклорена в виде , где– -я частичная сумма ряда,–-й остатокряда, то можно сформулировать следующую теорему:
Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции, необходимо и достаточно, чтобы приостаток ряда стремился к нулю, т.е.для всех значенийиз интервала сходимости ряда.
Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.
Замечание. Ряд Маклорена является частным случаемряда Тейлора:
при
Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:
, где– остаточный член формулы Тейлора, который можно записатьв форме Лагранжа:
,.
§7. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
1.
Имеем ;
, и по формуле (1) получаем
. (2)
Областью сходимости этого степенного ряда является интервал .
2.
Имеем: ,,,,, откуда
,,,,и т.д.
Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка,, и по формуле (1)
(?)(3)
Область сходимости ряда .
3. .
Рассматривая аналогично функции , получим:
(4)
Область сходимости ряда .
4. , где– любое действительное число.
Имеем ,,
,, …,
, …
При :,,,
, …,и по формуле (1) получаем
(5)
Найдем интервал сходимости ряда:
Ряд, составленный из модулей , исследуем с помощью признака Даламбера:
.
Следовательно, интервал сходимости ряда . На концах интервала присходимость ряда зависит от конкретных значений.
Ряд (5) называется биномиальным. Если– целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулубинома Ньютона, так как присомножительравен нулю, следовательно,-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
Выпишем некоторые разложения функции при различных.
:
,(6)
если в это разложение подставить вместо, получим:
(7)
:
,(8)
:
,(9)
5. .
Получить разложение для этой функции, непосредственно вычисляя коэффициенты с помощью производных, не очень просто, поэтому мы воспользуемся разложением (6) и свойством 2) степенных рядов. Интегрируя почленно равенство (6) в интервале , где, с учетом того, что, получим
(10)
Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала) есть .
6.
Проделаем то же самое, что и в предыдущем случае, воспользовавшись разложением (7):
(11)
Область сходимости ряда .
7.
Воспользуемся разложением (9), подставив в него вместо:
Интегрируя в интервале , где, получаем:
(12)
Область сходимости ряда
Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (2) –(12), сходятся к функциям, для которых они составлены.
При разложении более сложных функций часто используют готовые разложения (2) – (12).
Примеры.
1) Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Воспользуемся известной тригонометрической формулой
Разложим в ряд Маклорена функцию , заменяя в разложении (4)на:
Тогда
Это и есть разложение в ряд Маклорена функции . Очевидно, что оно справедливо при любом.
2) Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию
Решение.Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было воспользоваться разложением (6):
Полученное разложение справедливо, когда . Отсюда получаемили.