3.2. Моделирование дискретных случайных величин

Моделирование события. Пусть необходимо смоделировать появление некоторого события А, вероятность наступления которого равняется Р(А)= Р. Обозначим обращения к генератору, который ра­зыгрывает псевдослучайные, равномерно распределенные на интер­вале (О, 1) числа r_i через R. Событие а при розыгрыше будет наступать тогда, когда r ≤ Р (рис. 3.3), в противном случае происходит со­бытие А с вероятностью r > Р.

Данный метод используется в языке GPSS для блока TRANSFER в статистическом режиме работы, когда транзакты сле­дуют по двум разным направлениям в зависимости от вероятности (см. параграф 4.9).

Моделирование группы несовместных событий. Пусть есть группа несовместимых событий A₁,A₂,---,A_k. Известны вероятности наступления событий Р(А₁) Р(А₂),..., P(A_k). Тогда из-за несовместности событий Пусть p_i =P(A_i), p₀=0. На отрезке (0, l) отло­жим эти вероятности (рис. 3.4).

произошло событие Д. Такую процедуру называют определением ре­зультата испытание по жребию, и она основывается на формуле

Моделирование случайной дискретной величины. Модели­рование случайной дискретной величины выполняется аналогично моделированию группы несовместимых событий. Дискретная слу­чайная величина X задается в соответствии с табл. 3.1.

Случайную величину X можно представить как полную группу событий:

Данный метод используется в языке GPSS для моделирования дискретных случайных функций распределения (см. параграф 4.13).

Моделирование условного события. Моделирование условно­го события А, которое происходит при условии, что наступило собы­тие В с вероятностью Р(А/В), показано на рис. 3.2.3. Сначала моде­лируем событие В. Если событие В происходит, то моделируем на­ступление события А, если имеем В, то не моделируем наступление события А.

3.3. Моделирование непрерывных случайных величин

В данном случае используется метод обратной функции. Пусть есть некоторая функция распределения случайной величины (рис. 3.6). Разыграем на оси ординат точку r, используя функ­цию F(x). Тогда можем получить значение величины x такое, что F(x)=r.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X. По определению она равна вероятности Р(Х<х). Из рис. 3.7 очевид­но, что

Таким образом, последовательность r_1, r₂, r₃,..., принадлежащая R(0, 1), преобразуется в последовательность х₁, x₂, х₃,..., которая име­ет заданную функцию плотности распределения f(x).

Моделирование равномерного распределения в интервале (а, b) случайной величины. Для моделирования воспользуемся ме­тодом обратной функции. На рис. 3.8 показана функция плотности равномерного распределения.

Находим функцию распределения и приравниваем ее к случай­ному числу

Моделирование экспоненциального распределения случай­ной величины. Функция плотности экспоненциального распределе­ния случайной величины f(x) =λе^-λx и функция распределения пока­заны на рис. 1.1.

Воспользуемся методом обратной функции:

Можно показать, что случайная величина (1-R) распределена так же, как и величина R. Тогда, сделав замену (1-R) на R, получаем

Покажем, как, используя метод обратной функции, можно моде­лировать случайную величину, распределенную по экспоненциаль­ному закону. Подобный подход принят в языке GPSS [10].

Пусть λ = 1. Выполним аппроксимацию функции экспоненци­ального распределения линейными участками, чтобы можно было использовать ее для моделирования методом обратной функции. Для аппроксимации достаточно 24 точек. В табл. 3.2 занесены соответст­вующие значения аргумента х и функции F(x), значения которой ге­нерируют с помощью генератора случайных чисел.

На рис. 3.9 и 3.10 показаны графики двух функций. На рис. 3.9 изображена аппроксимация экспоненциальной функции с параметром λ, = 1, а на рис. 3.10 - функция, обратная к аппроксимированной. Пер­вая функция воспроизводит заданные в табл. 3.2 значения. Вторая функция используется для розыгрыша экспоненциального распреде­ления, поскольку удобнее задавать значение x, а получать значение функции.

Если необходимо моделировать случайные величины X, распре­деленные по экспоненциальному закону с параметром ё_х ≠1, кото­рые используется как задержка во времени с параметром T = 1/ ё_х, например, для моделирования пуассоновского потока поступления тре­бований, то поступают таким образом:

- генерируют значения случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону с λ = 1 (рис. 3.10);

- находят произведение полученного значения и математического ожидания случайной величины Т =1/λ_x. Рис3.10

В результате получают искомую последовательность значений реализации случайной величины X.

Моделирование нормального закона распределения слу­чайной величины. Для моделирования нормального закона распре­деления случайной величины нельзя непосредственно воспользовать­ся методом обратной функции, поэтому используем центральную предельную теорему. Пусть случайная величина X имеет математиче­ское ожидание т_х и среднеквадратичное отклонение σ_х, а случайная величина Z имеет математическое ожидание m_z = 0 и среднеквадра­тичное отклонение σ_z = 1. Легко показать, что

Сформулируем центральную предельную теорему.

Если Х₁,...,Х_п - независимые случайные величины со средним значением E[X_i]=a, i=1,n и дисперсией D[X_i]=σ², i=1,n, то при неограниченном увеличении п функция распределения случайной функции распределения стандартного нормального закона Ф(z) при всех значениях аргумента, то есть

Для получения нормального закона распределения случайной величины достаточно суммировать шесть случайных величин, полу­ченных с помощью генератора случайных чисел R, и, пронормировав полученные значения так, чтобы определить Z, по формуле (3.8) най­ти значение X.

Обычно суммируют 12 случайных величин , тогда дисперсия D(Z) будет равняться единице.

Рассмотрим, как моделируются нормально распределенные слу­чайные величины в системе моделирования GPSS.

Выполним аппроксимацию функции нормального распределе­ния случайной величины Z c параметрами m_z=0 и σ_z=l. Для этого достаточно 25 точек. В табл. 3.3 занесенные соответствующие значе­ния аргумента х и функции F (х).

Для того, чтобы получить функцию нормального распределения с математическим ожиданием т_х ≠0 и среднеквадратичным отклоне­нием σ_z≠1, необходимо сделать вычисления по формуле (3.8).

На рис. 3.11 изображен график функции, полученной в резуль­тате аппроксимации функции нормального распределения Ф(z), а на рис. 3.12 - более удобный для моделирования график функции (как аргумент используют генератор случайных чисел и получают значе­ние функции).

Таблица 3.3

Если необходимо обеспечить положительные разыгрываемые значения, то нужно выполнить условие т_х > 5σ_х.

В рассмотренных приближенных методах «хвосты» нормально­го распределения оказываются неточными. Существуют и более точные методы моделирования нормального распределения случай­ной величины [11].