3.4. Сбор статистических данных для получения оценок характе­ристик случайных величин

Основными элементами, из совокупности которых складывается вероятностная модель метода статистических испытаний, являются случайные реализации. Очевидно, что при решении некоторой задачи определения характеристик или параметров исходного случайного процесса должен быть определен этот случайный процесс.

Искомыми величинами при использовании метода статистиче­ских испытаний являются оценки:

• вероятности наступления некоторого события;

• математического ожидания случайной величины;

- дисперсии случайной величины;

- коэффициентов ковариации или корреляции случайной величины.

Для оценки вероятности р наступления некоторого события А используется частота наступления этого события

где т - частота наступления события, a N- число опытов.

Для оценки математического ожидания случайной величины используется среднее значение

где х_i - i-я реализация случайной величины.

Для оценки дисперсии случайной величины ξ используют фор­мулу

где S² - оценка дисперсии случайной величины ξ.

Непосредственно использовать эти формулы для вычисления дисперсии сложно, поскольку среднее значение изменяется по мере накопления х_i то есть нужно запоминать все N значений х_i. Поэтому для вычисления используют формулу:

В этом случае достаточно накапливать две суммы значений – х_i и x_i².

Непосредственное использование этой формулы для программирования может привести к переполнению разрядной сетки, если программировать ее в таком порядке, в котором она записана. Необ­ходимо изменить последовательность действий, чтобы избавиться от очень больших чисел и переполнения разрядной сетки компьютера.

Все статистические оценки должны иметь определенные качественные показатели, к которым относятся несмещенность, эффективность и состоятельность оценки.

Для случайных величин ξ и η с возможными значениями х_k , у_k оценка корреляционного момента определяется так

3.5. Определение количества реализаций при моделировании случайных величин

Число испытаний N определяет точность получаемых результа­тов моделирования. Если необходимо оценить величину параметра а по результатам моделирования х_i, то за оценку следует брать величи­ну х, которая выступает в функции от x_i.

Из-за случайности х будет отличаться от а, то есть

где ε - точность оценки. Вероятность того, что данное неравенство выполняется, обозначим через α:

Для определения точности результатов статистических испытаний необходимо воспользоваться выражением (3.17).

Определение количества реализаций для оценки вероятности наступления события. Пусть целью моделирования будет определение вероятности наступления некоторого события А, опреде­ляющего состояние моделированной системы. В любой из N реализа­ций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значение x₁=1 с вероятностью р и x₂=0 с вероятностью 1-р. Тогда можно найти математическое ожидание

В качестве оценки р используют частоту наступления события А. Эта оценка несмещенная, состоятельная и эффективная.

При условии, что N заведомо задано, достаточно накапливать т:

где ξ_i - наступление события А в реализации, ξ_i = {1,0}.

По формулам (3.18-3.20) находим

В соответствии с центральной предельной теоремой (в данном случае можно взять теорему Лапласа) случайная величина m/N – будет иметь распределение, близкое к нормальному (рис. 3.13). Поэтому для каждой достоверности α из таблиц нормального распределения можно найти такую величину t_a, что точность ε будет равняться ве­личине

При α = 0,95 t_a=l,96.

При α = 0,997 t_a=3.

Подставим в уравнение (3.21) выражение дисперсии

Поскольку вероятность р заранее неизвестна, прибегают к проб­ным испытаниям (N = 50... 100), получают частоту m/N - и подставляют ее значения в выражение (3.23) вместо р, после чего определяют ко­нечное количество испытаний.

Определение количества реализаций для оценки среднего значения случайной величины. Пусть случайная величина имеет математическое ожидание α и дисперсию σ². В реализации с номером i она принимает значение x_i. Для оценки математического ожидания a используем среднее

В соответствии с центральной предельной теоремой при боль­ших значениях N среднее арифметическое х будет нормально распределено с математическим ожиданием α и дисперсией σ²/N-1. Тогда

Поскольку дисперсия оцениваемой случайной величины неизвестна, необходимо провести 50-100 испытаний и оценить σ², а потом полученное значение оценки подставить в формулу (3.26), чтобы определить необходимое количество реализаций N.