1.4. Многоканальные системы массового обслуживания

Многоканальная СМО (с несколькими одинаковыми устройст­вами обслуживания) изображена на рис. 1.5. В отличие от одноканальных СМО многоканальные системы рассчитать сложнее. Теория массового обслуживания позволяет получать аналитические зависи­мости для расчетов характеристик работы многоканальных СМО в стационарном режиме работы, однако, эти зависимости можно полу­чить только для системы М/М/m.

Если система имеет т одинаковых устройств, то

Для многоканальных СМО р можно трактовать, как математи­ческое ожидание части занятых устройств.

Рассмотрим диаграмму работы многоканальной СМО (рис. 1.6) с двумя устройствами (ПР 1 и ПР 2) и двумя позициями для ожидания в очереди (Поз. 1 и Поз. 2). Время поступления и время, когда требо­вание покинуло систему, показаны рядом с номером требования в нижней и верхней частях рис. 1.6, соответственно. Время наблюдения за СМО (Т_H) составляет 55 мин.

Рассчитаем по диаграмме некоторые оценки характеристик ра­боты СМО.

1. Вероятность обслуживания требования

где N_oб, N- количество обслуженных требований и общее количество требований, соответственно.

2. Пропускная способность СМО в требованиях в минуту

где Т_H - время наблюдения за системой.

3. Вероятность отказа в обслуживании

где N_отк - количество требований, которым отказано в обслуживании.

4. Вероятность того, что требование застанет оба устройства свободными,

где T_св - время, на протяжении которого оба устройства были свобод­ными.

5. Вероятность того, что обслуживанием занято только одно уст­ройство из двух,

где Т¹₃, Т²₃ - время, когда было занято только первое и только второе устройство, соответственно.

6. Вероятность того, что обслуживанием заняты оба устройства,

где T¹⁺²₃ - время, когда были занятые оба устройства.

7. Среднее количество занятых устройств

8. Вероятность того, что в очереди нет требований,

где T°_оч - время, на протяжении которого в очереди не было требований.

9. Вероятность того, что в очереди есть только одно требование,

где T¹_оч - время, когда в очереди было только одно требование.

10. Вероятность того, что в очереди два требования,

где Т²_оч - время, на протяжении которого в очереди было два требо­вания.

11. Среднее количество требований в очереди

12. Среднее время пребывания в очереди

где t_i^оч - время пребывания i -го требования в очереди (j = 1,2,...).

13. Среднее время пребывания в очереди без учета требований, которые не ждали,

где N_об(-О) - количество требований, которые не ждали в очереди.

14. Среднее время обслуживания требования в устройствах

где t_i^об - время обслуживания i -го требования в СМО (i = 1,2,...).

15. Общее среднее время пребывания требования в СМО

16. Среднее количество требований в системе обслуживания

На рис. 1.7 изображена гистограмма для времени поступления требований в СМО и аппроксимация ее экспоненциальным законом распределения. Из гистограммы видно, что количество требований, которое поступило в систему, недостаточно для статистической оценки. Поэтому гипотезу про экспоненциальный закон распределе­ния поступления требований в СМО необходимо отклонить.

Рассчитанные числовые значения характеристик имеют иллюстративный характеру позволяют определиться, каким образом необ­ходимо собирать статистические данные о работе СМО при ее моде­лировании.

Приведем основные формулы для расчетов СМО вида М/М/m [7]. ‘

1. Вероятность того, что все устройства обслуживания свободны,

2. Вероятность того, что занято обслуживанием k-e устройство или в системе находится k требований,

3. Вероятность того, что все устройства заняты (k≥m ). Обо­значим эту вероятность через π:

4. Вероятность того, что все устройства заняты обслуживанием и s требований находятся в очереди,

5. Вероятность того, что время пребывания требований в очере­ди превышает некоторую величину t,

6. Средняя длина очереди

7. Среднее количество свободных от обслуживания устройств

8. Среднее количество занятых обслуживанием устройств

9. Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе

Приведенные формулы позволяют выполнять расчеты для СМО вида М/М/m и сравнивать их с полученными результатами имитаци­онного моделирования.