Набор истинностных значений 0001 в первой строке таблицы соответствует результатам операций:

0 0 = 0;

0 1 = 0;

1 0 = 0;

1 1 = 1.

Как известно, в арифметике вначале выполняются операции умножения или деления, а затем – сложения или вычитания. Логические связки также подчиняются подобному правилу. Приоритет применения связок возрастает в следующем порядке: ,,, . Чтобы изменить этот порядок, то, как и в арифметике, необходимо использовать скобки.

3. Переменные и формулы в исчислении высказываний

Переменная, значениями которой являются высказывания, называется пропозициональной переменной. Понятие пропозициональной формулы вводится по индукции:

1. выражение, состоящее только из пропозициональной переменной, является пропозициональной формулой;

2. если A и B – пропозициональные формулы, то каждое из выражений A, (AB), (AB), (AB) и (AB) – пропозициональная формула;

3. последовательность символов только тогда является пропозициональной формулой, когда она построена в соответствии с 1) и 2).

Пример 4.2. Примеры пропозициональных формул:

P ((AB) C ,

Q ((AC) (A B)).

4. Булевы функции

Функция , у которой аргументы пробегают множество {0,1} и которая принимает значение из того же множества {0,1}, называетсяфункцией алгебры логики или булевой функцией.

Особое значение имеют так называемые элементарные булевы функции. Двухместными элементарными булевыми функциями являются конъюнкция, дизъюнкция, импликация, сумма по модулю 2, эквиваленция, штрих Шеффера и стрелка Пирса. Символы А и B из табл. 4.2 следует в этом случае толковать как булевы переменные {0,1}.

Имеются две одноместные булевы функции, зависящие от x: тождественная функция иотрицание . Это элементарные функции (табл. 4.3).

Таблица 4.3

x
0	0	1
1	1	0

Имеются две нуль-местные элементарные булевы функции: это константы 0 и 1. Каждой пропозициональной формуле можно сопоставить булеву функцию. Булева функция , сопоставленная пропозициональной формулеA, называетсяфункцией истинностиформулыA. Любую такую функцию можно описать с помощью соответствующейтаблицы истинности(примеры – табл. 4.3, табл. 4.4, табл. 4.5).

Пусть и– функции истинности формул P и Q; пусть {} – множество тех переменных, которые встречаются хотя бы в одной из функций и. Пропозициональные формулыP и Q называются эквивалентными, если на всяком наборе () значений переменных значения функций исовпадают (эквивалентность обозначают как:PQ).

Пример 4.3. Покажем эквивалентность выражений

PAB и QAB.

Для этого построим таблицу истинности (табл. 4.4).

Таблица 4.4

A	B	(A, B) PAB	(A, B) QAB
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	1

Поскольку (A, B) = (A, B), то P Q.

Пример 4.4. Покажем эквивалентность выражений

PA(BC) и Q(AB)(AC).

Для этого снова построим таблицу истинности (табл. 4.5).

Таблица 4.5

A	B	C	(A, B, C) PA(BC)	(A, B, C) Q(AB)(AC)
0	0	0	1	1
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

Поскольку (A, B, C) =(A, B, C), то P Q. Как можно видеть, в примере 4.3 используются двухместные функции истинности, а в примере 4.4 – трехместные.