определенному параметрическому семейству (нормальному, показательному или какому-то другому) на практике выполняется лишь приближенно. Метод, который принимает это предложение безоговорочно, может привести к результатам, не имеющим даже приблизительно правильного характера. Так может происходить и при определенных, хоть и небольших, отклонениях от начальных предположений.

4.6. Сущность интервального оценивания

Поскольку все точечные оценки основаны на данных выборки, следовательно, они являются случайными величинами. В предыдущих подразделах были оценены их математические ожидания и дисперсии. Интервальные оценки учитывают факт случайности точечных оценок и дают представление об их точности и надежности. Рассмотрим интервальную оценку на примере математического ожидания.

m

− m

< ε

, где β

= 0.9, 0.95, 0.99 ,

Найдем ε из равенства P

X

X

= β

т.е. событие

mX − mX

< ε

практически достоверное. Снимем модуль под

знаком вероятности,

получим P(mX − ε < mX

< mX + ε)= β. Это означает,

что mX с вероятностью β

попадает в интервал

Iβ = (mX − ε,

mX + ε). В

данном случае, поскольку

mX

не случайно,

а mX случайно, то Iβ тоже

случайная

величина. Поэтому правильнее говорить,

что с вероятностью

Iβ

β

случайный

интервал Iβ

длиной

2ε

накрывает точку

mX (рис. 4.2).

+ ε

Вероятность β называется

mX − ε

mX mX

mX

доверительной вероятностью, а

Рис. 4.2. Доверительный интервал для

Iβ

-

доверительным

интерва-

параметра mX

лом.

Границы

доверительного

интервала могут быть вычислены точно и приближенно.

4.7. Приближенные и точные доверительные интервалы для параметров распределений

1. Приближенное оценивание - это оценивание длин доверительных интервалов - базируется на центральной предельной теореме. Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной X , характе-

96

ристики которой – математическое ожидание и дисперсия – неизвестны.

Для			этих		параметров	получены	оценки	mX		n
									=	1 ∑xi ,
				(xi − mX )2 . Вид распределения случайной величины						n i=1
DX		1	n						X может
	=		∑
		n i=1

быть произвольным. Требуется построить доверительный интервал Iβ , соответствующий доверительной вероятности β , для математического ожидания mX .

Оценка математического ожидания – величина mX представляет собой сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин

xi , и, согласно центральной предельной теореме, при			n → ∞ ее закон
распределения превратится в нормальный.
n
Итак, если Y = ∑xi , то P(Y < y)		y − mY			, где	Φ -
	= F(y) → Φ
i=1			σY

функция Лапласа. Если использовать стандартизированное среднее ариф-

n

(1 n) ∑xi − mX

− mY

метическое, то

Y

< y

= P

i =1

< x ≈ Φ(x)

,

поскольку,

P

σY

DX n

как было показано в предыдущих подразделах, mY

= mX и DY

= DX n .

Пусть DX

нам известно,

тогда известно и

DY

= DX

n . Найдем

εβ

из равенства

< εβ

= β. Так

как

=

1

n

то

P

mX − mX

mX

∑xi ,

n i=1

M (mX )= mX и D(mX )= DX n . Распишем исходное равенство для определения длины доверительного интервала подробнее:

P(mX − εβ < mX < mX + εβ )

= β ≈ Φ mX + εβ

− mX

−Φ mX

−εβ − mX

≈

DX

n

DX n

ε

β

−ε

ε

β

ε

β

ε

β

β

= 2Φ

−1.

≈ Φ

−Φ

= Φ

D

X

n

D

X

n

D

X

n

D

X

n

D

X

n

97

Здесь, чтобы привести выражение в правой части к одной функции Лапласа,

были сокращены mX и mX . Так как mX								≠ mX , этим допущена еще одна
неточность, помимо использования центральной предельной теоремы.
Итак,	окончательно									DX n )−1.	При-
		P		mX − mX			< εβ ≈ 2Φ(εβ
равнивая правую часть найденного равенства β ,									найдем приближенные
границы	доверительного		интервала					2Φ(εβ	DX	n )−1 = β.	Тогда
								x
εβ = DX	n Ф-1((1 + β) 2), Ф(x) = 1				2π ∫e−t 2 2dt .					Отсюда

−∞

Iβ = (mX − εβ, mX + εβ ).

На практике, конечно, очень часто DX не известна, поэтому ее при-

ходиться заменять смещенной или несмещенной оценкой дисперсии. Это еще более «размывает» границы приближенного доверительного интервала для математического ожидания.

Построим теперь приближенный доверительный интервал для дисперсии. Все ранее приведенные предположения о распределении случайной величины X остаются в силе. Построим интервал для несмещенной

		)		1	n	2
	оценки дисперсии, т.е. для	DX	=		∑	(xi − mX ) . Величины, стоящие
				n −1 i=1

под знаком суммы, уже не могут считаться независимыми, так как в каждое слагаемое входит mX , зависящее от всех xi . Поэтому непосредственно центральную предельную теорему применить нельзя. Однако можно

n

(xi − mX )2

показать, что при

n → ∞ распределение ∑

тоже стремится к

i=1

)

)

2

нормальному. Тогда имеем

M (DX ) = DX ,

D(DX ) =

DX2

(см. под-

n −1

разд. 4.3). Далее поступим как в случае с математическим ожиданием:

)

)

)

)

DX + εβ

− DX

DX −

εβ − DX

P(DX − εβ

< DX < DX + εβ)

= β ≈ Φ

− Φ

.

2 (n −1)DX

2 (n −1)DX

Тогда

P(

)

− DX

εβ

−1

= β .

Отсюда

DX

< εβ )≈ 2Φ

2 (n −

1)DX

εβ = 2 (n −1)DX Φ−1((1 + β) 2).

98

Естественно, в тех случаях когда DX не известна вместо нее употребляется ее оценка. Это еще более снижает точность доверительного интервала. Наконец, если εβ найдено, то Iβ = (DX − εβ, DX + εβ).

2. Точное оценивание. Точный доверительный интервал для математического ожидания строится на основе распределения Стьюдента, а для

дисперсии - на основе χ2 -распределения. Для точного нахождения длин

доверительных интервалов совершенно необходимо заранее знать вид закона распределения случайной величины X , тогда как для применения приближенных методов это не обязательно. Длина любого доверительного интервала находится из распределения каких-то статистик, а распределения этих статистик выводятся на основе известных вероятностных законов.

Пусть выборка x1, x2 ,..., xn взята из нормальной генеральной совокупности с определенными математическим ожиданием и дисперсией, т.е. xi N (mX , DX ), i = 1, n . Рассмотрим две вспомогательные статистики.

По определению (см. подразд. 2.1) χ2n - распределение с n степенями свободы есть сумма квадратов независимых случайных величин, каждая из

которых

имеет

стандартное

нормальное

распределение,

т.е.

χ2

= x2

+ x2

+ ... + x2

,

x

N (0,1), i =

. Рассмотрим формулу для сме-

1, n

n

1

2

n

i

(xi − mX )2 .

DX

1

n

щенной

оценки

дисперсии

=

∑

Здесь

n i =1

xi N (mX , DX ),

i =

,

тогда

(xi − mX )

DX N(0,1), но

так как

1, n

M (mX )= mX ,

то

и

(xi − mX )

DX

N (0,1).

Следовательно,

2

2

2

n

2

x1

− mX

+

x2

− mX

+... + xn − mX

= χn2 , но

∑

xi − mX

= DX n .

DX

DX

DX

DX

i=1

DX

Тогда статистика

DX n DX имеет

χ2 -распределение с n −1

степенью

свободы, так как на

xi

наложено одно ограничение (связь) при вычисле-

нии mX . Аналогично доказывается,

)

(n −1)

DX

что статистика

DX

имеет

χ2 -распределение с n −1 степенью свободы.

Таким же образом рассмотрим дробь Стьюдента

t = z

n

v

(см.

подразд. 2.2). Здесь

z N (0,1),

а v χn2 . Пусть z = mX

− mX

N (0,1), а

DX n

99

роль	статистики	v	будет	играть	дробь v = DX n DX . Тогда
t = z	n = n (mX	− mX )	DX	n = n (mX	− mX ) , причем эта статистика
	v	nDX DX		DX

имеет распределение Стьюдента с n −1 степенью свободы. Аналогичным

	)
образом полученная статистика t =	n(mX − mX ) DX	будет распреде-

лена по закону Стьюдента с n −1 степенью свободы. Напишем вновь ис-

ходное

равенство

для

длины

доверительного

интервала

m

− m

< ε

= β и преобразуем его следующим образом:

P

X

X

β

− mX

n

εβ

mX

<

εβ n

или

(mX − mX ) n

<

n

P

)

)

= β

P

)

)

=

D

X

D

X

D

X

D

X

εβ

n

= P(t

)= β, где случайная величина t

P t

<

= t

< t

β

имеет рас-

)

β

DX

пределение

Стьюдента

с

n −1

степенью

свободы.

Но

P(

< tβ) =

tβ

tβ

tβ

t

∫sn−1(t)dt = 2 ∫sn−1(t)dt = β. Итак,

2 ∫sn−1

(t)dt = β.

−tβ

0

0

Величину tβ

можно найти обратным интерполированием по таблице

εβ

= tβ

)

распределения Стьюдента. Тогда

DX

n , а сам интервал будет

иметь вид

I

− t

)

n,

m

+ t

)

β

= m

X

β

D

X

X

β

D

X

n .

Построим, наконец, точный доверительный интервал для дисперсии при тех же предположениях относительно выборки, что и в предыдущем случае.

Так как χ2 -распределение

α2

α2

	β
χ12	χ22

100

Рис. 4.3. Доверительный интервал для дисперсии,

построенный на основе χ2 -распределения

несимметрично, то условимся интервал, в которой попадает

случайная величина с χ2 -

распределением, с заданной вероятностью β выбирать

так, чтобы с левого и правого конца кривой плотности вероятности выхода случайной