6.4. Критерий Краскела - Уоллиса (Н-критерий)

Если нельзя сказать что-то определенное об альтернативах к H0 ,

можно воспользоваться для ее проверки свободным от распределения Н- критерием. Он был предложен Краскелом и Уоллисом и является обобщением двухвыборочного критерия Вилкоксона .

Построим общий вариационный ряд, содержащий n1 + n2 +... + nk = n элементов, где n j - число наблюдений в j -й подвы-

борке (на j -м уровне фактора). Используем обозначения подразд. 6.2. Тогда R• j - сумма рангов каждой обработки, т.е. каждого столбца табл. 6,

а R j - среднее арифметическое этих рангов. Формулы для их нахождения таковы:

n j

1

n j

1

R• j = ∑rij ,

R

j

=

∑rij

=

R• j .

i=1

n j i=1

n j

n

n(n +1)

M (R j )=

M

1

R

=

1

∑

k =

1

=

n +1

как среднее арифмети-

n

j

• j

n

n

2

2

k

=1

n(n +1)

ческое всех рангов от единицы до

n ,

а 1 + 2 + ... + n =

. Отсюда

M (R

)=

n j (n +1)

2

.

• j

2

Если между столбцами нет систематических различий, средние ранги R j не должны значительно отличаться от среднего ранга, рассчитанного по всей совокупности чисел rij . Математическое ожидание среднего ран-

га, очевидно, равно M (R)= (n +1)2 .

Более сложным образом рассчитывается дисперсия. Для R j она рав-

			(n +1)(n − n j )			j − M (				j )
					R				R
на D(R j )=
				. Если n → ∞ , то дробь		D(		j )			имеет в
			12n j				R

пределе стандартное нормальное распределение, что и использовали Краскел и Уоллис для построения статистики критерия, которую они обозначили буквой H и которая имеет вид

Фрэнк Вилкоксон (Уилкоксон) (1892-1965) – американский математик.

170

n +1 2

k

R j −

n j

2

H = ∑

−

(6.4.1)

1

.

j =1

(n +1)(n − n j )

n

12n j

Краскел и Уоллис показали, что асимптотически статистика H имеет χ2 -распределение с (k −1) степенью свободы, где k - число подвыборок

(уровней фактора). Часто статистика H записывается в одном из следующих двух видов:

12

k

n +1

2

H

=

∑n j R j −

,

(6.4.2)

n(n +1)

2

j =1

или

R2

12

k

− 3(n +1).

H =

∑

• j

(6.4.3)

n(n +1)

n

j

j =1

Если два или более наблюдений совпадают, то наилучшая процедура состоит в том, что совпавшим наблюдениям нужно приписать один и тот же ранг, равный среднему арифметическому рангов, которые эти наблюдения должны были получить, если бы они не совпали. Эта операция оставляет без изменения сумму рангов и математическое ожидание суммы рангов. Но формула для вычисления дисперсии меняется, так как диспер-

сия статистики R j зависит от суммы квадратов рангов, которая от такой

замены изменится. Изменится и вид статистики H , поэтому ее исправляют соответствующей поправкой.

Если совпадений много, рекомендуется использовать модифицированную форму статистики H / :

H /	=		H				,	(6.4.4)
			p
					T j
		1 − ∑
					3
			j =1n		− n			T j = (t3j − t j ), t j - число
где p - число групп совпадающих наблюдений,

совпадающих наблюдений в группе с номером j .

Пример. Кислота непрерывным образом концентрируется на некотором типе оборудования, в результате чего часть оборудования ржавеет и со временем разрушается. Потери металла (в сотнях тонн) за период от установки оборудования до момента разрушения некоторой его части зафиксированы в таблице для трех литейных мастерских А, В и С. Прове-

171

рить нулевую гипотезу, по которой средняя продолжительность службы металла одна и та же для всех трех мастерских.

Мастерская					Потери металла
А	84	60	40	47		34	46
В	67	92	95	40		98	60	59	108	86	117
С	46	93	100	92		92

Решение

Никаких правдоподобных предположений о вероятностном распределении потерь металла в этой задаче сделать нельзя. Воспользуемся ранговым методом Краскела – Уоллиса. Надо заметить, что величины, приведенные в исходной таблице, имеют смысл сами по себе, а не только в сравнении с другими величинами. Хотя при переходе от величин потерь металла к их рангам происходит определенная потеря информации, но такая информация, во-первых, не столь значительна, во-вторых, компенсируется тем, что от неизвестного закона распределения величин xij мы

переходим к величинам rij , распределение которых при гипотезе H0 из-

вестно.

Основная гипотеза H0 постулирует постоянный срок службы метал-

ла во всех трех мастерских, т.е. постоянный уровень потерь, следовательно, однородность исходных выборок. Обозначим потери металла в j -й

группе через μ j . Тогда

H0 : μ1 = μ2 = μ3,

H1 : μi ≠ μ j , i ≠ j, 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3.

Сначала получим вариационный ряд и припишем каждому наблюдению его ранг. В связи с наличием в таблице совпадений будем пользоваться средними рангами.

Наблюдения	34	40	40	46	46	47	59	60	60	67	84
Номер наблюде-
ний в вариаци-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
онном ряду
Ранг	1	2.5	2.5	4.5	4.5	6	7	8.5	8.5	10	11
Наблюдения	86	92	92	92	93	95	98	100	108	117
Номер наблюде-
ний в вариаци-	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
онном ряду
Ранг	12	14	14	14	16	17	18	19	20	21

172