29.Получены следующие результаты анализов на содержание углерода (в процентах) в пробах нелегированной стали:

0.18, 0.12, 0.12, 0.08, 0.08, 0.12, 0.19, 0.32, 0.27, 0.11, 0.14, 0.23, 0.16, 0.09, 0.08, 0.05, 0.13, 0.17, 0.10, 0.14, 0.30, 0.27, 0.31, 0.24, 0.22, 0.34, 0.14, 0.46, 0.39, 0.24, 0.28, 0.11, 0.42, 0.29, 0.11.

30.Результаты лабораторных анализов 60 образцов сланцевых пород

на содержание кремния ( SiO2 ) в процентах:

57.8, 54.6, 54.8, 51.7, 61.1, 62.3, 52.2, 49.2, 53.9, 60.0, 56.2, 55.2, 53.3, 57.9, 54.0, 52.6, 53.8, 53.6, 51.5, 54.0, 50.4, 53.0, 53.3, 51.6, 50.9, 49.6, 52.2, 50.5, 51.1, 52.2, 49.2, 49.3, 48.8, 53.5, 52.8, 52.9, 52.1, 47.3, 49.8, 49.3, 50.1, 54.4, 49.0, 48.9, 51.3, 51.6, 46.2, 50.4, 50.7, 53.1, 52.9, 51.3, 52.7, 46.6, 46.5, 51.3, 51.0, 47.5, 47.7, 44.9.

1.7. Нормальное распределение и его числовые характеристики

В теории вероятностей нормальный закон занимает особое место, так как является предельным законом для многих других при выполнении некоторых весьма нежестких ограничений. Именно, распределение суммы случайных величин следует приближенно нормальному закону, если среди этих случайных величин нет резко выделяющихся, сами же случайные величины в отдельности могут быть подчинены любому закону.

Случайная величина X имеет нормальное распределение, если ее

функция плотности вероятности имеет вид

f (x) = 1	−	(x −m)2
	e 2σ2 .			(1.6.1)
2πσ

Закон имеет два параметра m и σ, т. е. относится к классу двухпараметрических законов. Графики функций плотности вероятности и функции распределения приведены на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Графики функции плотности вероятности и функции распределения стандартного нормального закона

29

Найдем как всегда сначала функцию распределения

x

x

1

−

(t −m)2

dt = 1

x

−

(t −m)2

t − m

= u, =

2σ2

2σ2 dt =

F(x) = ∫ f (t)dt = ∫

e

∫ e

σ

−∞

−∞

2πσ

2πσ −∞

dt = σdu.

x−m

u 2

x−m

t 2

= 1

σ∫ e−

1

σ∫

e−

2 σdu =

2 dt.

Последний интеграл не выра-

2πσ

−∞

2π

−∞

жается через элементарные функции. Он называется функцией Лапласа и обозначается

						x−m		t 2
	x − m				1	σ	−
				=				2 dt.		(1.6.2)
	Φ	σ			2π	∫	e
						−∞

Исторически различают несколько разновидностей функции Лапласа. Формула (1.6.2) дает обычную функцию Лапласа, называемую функцией Лапласа; функция

							x−m		t 2
		x − m				1	σ	−
	Φ				=				2 dt		(1.6.3)
			σ			2π	∫	e
							0

называется нормированной функцией Лапласа; наконец, в артиллерии широко применяется формула

					x−m
) x − m			=	2	σ	e−t	2	dt ,	(1.6.4)
Φ	σ			π	∫
					0

которая называется приведенной функцией Лапласа. Связь между всеми этими функциями легко устанавливается по общему правилу замены переменных в определенном интеграле. Например,

Φ(x) = 12 + Φ (x), Ф)(x) = 2Φ( 2x)−1.

Определим параметры нормального закона. Ограничимся двумя точечными характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией

	= 1	∞ −	(x−m)2	x − m	= t,	= 1	∞	( 2σt + m)e−t2 2σdt =
mX		∫ xe 2σ2 dx = σ 2					∫
	2πσ −∞			dx = 2σdt		2πσ −∞

Пьер Симон Лаплас (1749-1827) - французский математик, механик и астроном.

30

σ 2 ∞

∞

m

∞

∞

=

te

−t

2

dt

+

m

e

−t2

dt =

σ 2

−t2

+

m

e

−t

2

dt =

m

π = m.

∫

∫

2

− e

∫

π

−∞

π −∞

π

−∞

π −∞

π

Здесь использован интеграл Эйлера -Пуассона

∞

∞

∫ e−t 2 dt = 2∫e−t 2 dt =

π. Аналогично

−∞

0

∞

−

(x−mX )2

x − mX

= t, =

2σ 2

∞

DX

= 1

(x − mX )2 e

2σ2

dx =

2σ

∫t2e−t2 dt =

2πσ −∞∫

dx = 2σdt.

π

−∞

t = u, dt = du,

1

−t2 ∞

1

∞

2σ 2

2σ 2

1

=

te

−t2

dt

te

+

−t

2

=

2

= dv, = −

2

2

∫e

dt

π

π

2

π = σ .

1

−t

2

−∞

−∞

v = −

e

.

2

Итак, DX

= σ 2,

σX

= σ . Ясен и смысл параметров m и σ нормаль-

ного распределения: m - центр рассеивания - является и центром симметрии распределения. Это хорошо видно из графика функции плотности вероятности. Размерность центра рассеивания m равна размерности случайной величины X . Несколько сложнее обстоит дело с параметром σ . Этот параметр характеризует форму кривой распределения. При увеличении σ график все более «размазывается» по оси OX , т.е. случайная величина X имеет большее рассеивание около центра симметрии. Чем меньше σ , тем более «островершинен» график функции плотности вероятности. Размер-

ность DX совпадает с размерностью X 2. Легко показать, что для нормального распределения d X = hX = mX . Полезна формула, выражающая

любой центральный момент нормального распределения через дисперсию

μk = (k −1)!!DX .

Леонард Эйлер (1707-1783) – швейцарский математик.

Симон Дениз Пуассон (1781-1840) – французский математик.

31