5.6.Критерии согласия

1.Критерий χ2 -Пирсона . Во многих практических задачах модель

закона распределения заранее не известна и возникает задача выбора модели, согласующейся с результатами наблюдений над случайной величиной. Предположим, что выборка x1, x2 ,..., xn произведена из генеральной

совокупности с неизвестной теоретической функцией распределения, от-

носительно которой имеются	две непараметрические гипотезы
H0 : F(x) = F0 (x) и H1 : F(x) ≠ F0	(x), где F0 (x) - известная функция рас-

пределения. Таким образом, проверяется, согласуются ли эмпирические данные с гипотетическим предположением относительно теоретической функции распределения или нет. Поэтому критерии для проверки H0 и

H1 носят название критериев согласия.

Критерий χ2 -Пирсона предполагает, что результаты наблюдений сгруппированы в вариационный ряд. Поскольку при формулировке H0

почти всегда необходимо оценивать несколько параметров закона, то последовательность действий такова.

1.Формулируют гипотезу о модели закона распределения случайной величины, по результатам наблюдений находят оценки неизвестных параметров этой модели.

2.Подставляют в модель закона оценки неизвестных параметров. В результате предполагаемая модель оказывается полностью определенной.

Пусть наблюдаемая случайная величина X принимает только значе-

ния b1, b2 ,..., bk с неизвестными вероятностями p1, p2 ,..., pk . Основная гипотеза H0 выделяет среди всех распределений случайных величин, принимающих значения b1, b2 ,..., bk , одно фиксированное распределение, для которого значения вероятностей известны и равны pi . Обозначим через mi , i = 1,2,..., k число тех элементов выборки x1, x2 ,..., xn , которые приняли

значение b . В силу закона больших чисел наблюденная частота p											= m n
i										i	i
с ростом объема n выборки стремится к вероятности pi							, гипотезу H0 надо
признать справедливой, если все p мало отличаются от							p	i	.
i
Введем статистику χ2 = χ2 (x , x		,..., x		) =	k	(mi − npi )2				.	(5.6.1)
	2		n		∑
1						np
					i=1		i

Карл (Чарльз) Пирсон (1857-1936) – английский математик.

132

Эта статистика является мерой равномерной близости pi к pi . Кроме того, она соответствует мультиномиальной схеме, в результате которой появляется χ2 -распределение. Именно пусть ξ1, ξ2 ,..., ξn - независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с одинако-

	выми		параметрами m и			σ2 . Если	]	η = 1 n (ξ1 + ξ2 + ... + ξn ), тогда
	χ2 =	1		[(ξ1 − η)2	+ (ξ2 − η)2	+ ... + (ξn − η)2		имеет χ2 - распределение с
		σ2

n −1 степенью свободы. Это стандартная схема получения χ2 - распреде-

ления. Она же реализуется в мультиномиальной схеме.

Действительно, если mi - наблюдаемые частоты, то npi - теоретиче-

ские значения соответствующих частот. Дисперсия же в мультиномиальной схеме, как известно, равна npi . Можно еще добавить, что случайная

величина (mi − npi ) npi имеет распределение, близкое к нормальному

(использованы операции центрирования и нормирования). Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех i вы-

полнялось условие npi ≥ 5 .

Пусть производится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых с вероятностью pi может произойти одно из событий

Ai , i =		1, k	. mi -		число появлений события Ai					. Тогда из многомерного
аналога теоремы Муавра -							Лапласа следует, что случайная величина
χ2 =	(m1 − np1)2				+	(m2 − np2 )2	+... +	(mk − npk )2		при n → ∞ асимптотиче-
						np2		npk
		np1
ски распределена по закону							χ2 с	k − l −1 степенью свободы. Здесь l -

число предварительно оцениваемых параметров закона, на их количество понижается число степеней свободы статистики критерия. Таким образом,

k	(m	− np	i	)2
введенная статистика χ2 = ∑	i					при n → ∞ независимо от ги-
		npi
i =1
потетических вероятностей pi	имеет χ2 -распределение с k − l −1 степе-
нью свободы. Следовательно, критерий χ2						предписывает принять гипоте-

Абрахам Муавр (1667-1754) – французский математик.

133

зу H0 , если χ2 < C (правосторонний критерий), и отвергнуть, если

χ2 ≥ C , где C - критическое значение критерия.

При практической реализации критерия χ2 нужно следить за тем, чтобы объем выборки был велик, иначе неправомочна аппроксимация χ2 -распределением распределения статистики критерия. Обычно считает-

ся, что достаточным условием этого является выполнение неравенств mi ≥ 5 при всех k , в противном случае маловероятные значения bi объе-

диняются в одно или присоединяются к другим значениям, причем объединенному значению приписывается суммарная вероятность.

В общем случае (непрерывные случайные величины) поступают сле-

дующим образом. Всю числовую прямую разбивают на k					непересекаю-
щихся интервалов (− ∞, d1), [d1, d2 ),	[d2, d3 ),…, [dk −1, ∞). Затем опреде-
ляют гипотетические вероятности pi	= F0 (di )− F0 (di−1) попадания в ин-
тервал [di−1, di ) и числа mi элементов выборки, попавших в эти интерва-
	k (m		i	− np	i	)2
лы. Затем вычисляют значение статистики χ2 = ∑							и сравни-
				npi
	i =1
вают его с критическим значением C , являющимся			(1 − α) -процентным

квантилем χ2 -распределения. Как и в дискретном случае, маловероятные интервалы объединяются.

Разумеется, для того, чтобы увеличить качество критерия χ2 (увели-

чить его мощность), необходимо уменьшить интервалы разбиения, однако этому препятствует ограничение на число попавших в каждый интервал наблюдений.

Пример. В следующей таблице приведен рост (см) 1004 девушек в возрасте 16 лет. Приняв 10% уровень значимости, проверить гипотезу H0 , что они получены из нормально распределенной генеральной сово-

купности.

Границы	134-137	137-140	140-143	143-146	146-149	149-152	152-155
интерва-
лов
Частоты	1	4	16	53	121	197	229
Границы	155-158	158-161	161-164	164-167	167-170	170-173
интер-
валов
Частоты	186	121	53	17	5	1

Решение

134

Применим критерий χ2 -Пирсона для проверки нулевой гипотезы H0 : F(x) = Φ(x) . Поскольку распределение генеральной совокупности

будет сравниваться со стандартным нормальным, выбранная статистика критерия будет центрирована и нормирована. Для этого необходимо знать математическое ожидание и дисперсию предполагаемого нормального закона, которые мы заменим их оценками, определенными по выборке. Сведем все данные в таблицу (см. следующую страницу).

135

		Сере-
Но-	Грани-	дина	Час											xi − mX								nd	f (z		)=					(m		− np			)2
мер		ин-						2																							i			i
ин-	цы	тер-	то-	xi − mX		(x	i	− mX )	z	i	=							f (z		)		σ		i		np		mi − npi
			ты																i								i					np
тер-	интер-													σ								= npi											i
	вала	вала	mi
вала		xi
1	134-137	135.5	1	-17.99			323.64					3.394						0.0013				0.739				4.89		0.11		0.003
2	137-140	138.5	4	-14.99			224.70					2.828						0.0073				4.149
3	140-143	141.5	16	-11.99			143.76					2.262						0.0309				17.561				17.56		-1.56		0.139
4	143-146	144.5	53	-8.99				80.82				1.696						0.0947				53.818				53.82		-0.82		0.012
5	146-149	147.5	121	-5.99				35.88				1.130						0.2107				119.741				119.74		1.26		0.013
6	149-152	150.5	197	-2.99				8.94				0.564						0.3403				193.393				193.39		3.61		0.067
7	152-155	153.5	229	0.01				0.0				0.002						0.3989				226.696				226.70		2.30		0.023
8	155-158	156.5	186	3.01				9.06				0.568						0.3395				192.938				192.94		-6.94		0.250
9	158-161	159.5	121	6.01				36.12				1.134						0.2097				119.173				119.17		1.83		0.028
10	161-164	162.5	53	9.01				81.18				1.700						0.0940				53.420				53.42		-0.42		0.003
11	164-167	165.5	17	12.01			144.24					2.266						0.0306				17.390				17.39		-0.39		0.009
12	167-170	168.5	5	15.01			225.30					2.832						0.0072				4.092				4.77		1.23		0.317
13	170-173	171.5	1	18.01			324.36					3.398						0.0012				0.682
				mX					)							= 5.30												χвыб2 = 0.864
						= 153.49 ,			DX		= 28.09, σ

137

В этой таблице первые четыре столбца – исходные данные задачи. Оценкой математического ожидания является выборочное среднее

mX		1	n
	=		∑xi . Приведенная формула справедлива для обычной выборки.
		n i=1

Для группированной выборки, такой, какая приведена в задаче, эта формула принимает вид

	mX		1	k
		=		∑mi xi ,	(5.6.2)
			n i =1
	где k - число первоначальных интервалов группировки (k = 13) ,				mi - на-

блюдаемые частоты, xi - середины интервалов группировки. Аналогичная формула для несмещенной оценки дисперсии приобретает вид

	)		1	k	2
	DX	=		∑mi (xi − mX ) .		(5.6.3)
			n −1 i =1

Рассчитанные с помощью этих формул по первым шести столбцам таблицы оценки математического ожидания и дисперсии предполагаемого

нормального		распределения			выборки	равны				mX = 153.49 см,
)
DX = 28.09 кв. см, σ = 5.30 см.
В седьмом		столбце		приведены нормированные					и центрированные
значения	x , в восьмом ординаты плотности					f (z		)	=	1	2
							i				e−zi 2 стан-
	i									2π
дартного нормального распределения N(0,1), в девятом вычисляются зна-
чения np	= nd	f (z	), где	d = 3 - ширина интервала группировки, в деся-
i	σ	i
том столбце значения npi				после объединения двух первых и двух послед-

них интервалов. Наконец, два последних столбца служат для расчета вы-

борочного значения критерия χ2 -Пирсона χвыб2	k1	(m	− np	i	)2
	= ∑	i				, k1 -
			npi
	i =1

число новых интервалов группировки. Так как по выборке определены

оценки двух параметров,	то	l = 2 и	число степеней	свободы		равно
k − l −1 = 11 − 2 −1 = 8 .	По	таблице	распределения	χ2	находим,
1
чтоχ02.9,8 = 13.4 . Так как	χвыб2	= 0.864 < χ02.9,8 , то гипотеза			H0	о нор-

мальном распределении группированных данных не противоречит результатам наблюдений и должна быть принята с уровнем значимости 0.1.

136

2. Критерий Колмогорова. В силу теоремы Гливенко–Кантелли эмпирическая функция распределения F (x) представляет собой состоятельную оценку теоретической функции распределения F(x). Поэтому можно сравнивать F (x) с гипотетической F0 (x), и, если мера расхождения между ними мала, считать справедливой гипотезу H0 . Наиболее есте-

ственная и простая мера – это равномерное расстояние между F (x)и

F0 (x) (рис. 5.21), т.е.

D = sup		F (x)− F (x)		.	(5.6.4)
−∞<x<+∞		0

Очевидно, что D - случайная величина, поскольку ее значение зависит от слу-

чайного объекта F (x). Если гипотеза H0 справедлива и n → ∞ , то F (x) → F(x)

1.0

F0 (x)

D F (x)

	при всяком x . Как		всегда
	при проверке гипотезы, сле-
	дует рассуждать так, как
	если бы гипотеза была вер-			x
	на. Ясно, что H0 должна
				Рис. 5.21. Графики теоретической F0 (x) и эмпи-
	быть отвергнута, если полу-
	ченное в эксперименте зна-			рической F (x) функций распределения
	чение статистики D ока-
	жется	неоправдано	боль-	D состоит в том, что если гипотетическое
	шим.	Замечательное свойство

распределение указано правильно, то закон распределения статистики D оказывается одним и тем же для всех непрерывных истинных функций распределения.

При малых n для статистики D при гипотезе H0 составлены таблицы процентных точек. При больших n распределение D (при гипотезе H0 ) указывает найденная в 1933 г. А.Н. Колмогоровым предельная тео-

рема (см. подразд. 2.4). Она говорит о статистике Dn = nD (поскольку сама величина D → 0 при H0 , приходится умножать ее на неограниченно растущую величину, чтобы распределение стабилизировалось).

137