2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

Данные распределения играют в статистической методологии исключительно важную роль. Они широко используются наряду с нормальным, когда рассматривается распределение выбранных статистик.

2.1. χ2 -распределение

Пусть

X1, X 2 ,..., X n -

независимые случайные величины, каждая из

которых имеет нормальное распределение N(0,1). Обозначим сумму их

n

квадратов

через

χ n2= X12 + X 22 + ... + X n2 = ∑Xi2.

Очевидно,

i=1

χ 2≥ 0 и P(χ 2< 0)= 0. Эта сумма квадратов имеет плотность распределе-

ния

1

n

−1 −

x

x 2

e

2 , x ≥ 0,

n

k

(x) =

n

(2.1.1)

n

2 2 Γ

2

0, x < 0.

Здесь

n

-

гамма–функция

(Эйлеров интеграл

второго рода);

Γ

2

n

∞

n

−1

Γ

= ∫e−x x 2

dx.

Интегральная функция распределения имеет вид

2

0

x

Kn (x) =

P(χ 2< x)= ∫kn (t)dt или

0

∞

(2.1.2)

1 − Kn (x) = P(χ

2

≥ x)=

∫kn (t)dt.

x

Число n называется числом степеней свободы данного распределения. Формула (2.1.1) выводится методом математической индукции.

32

Если

X 2 ≤ n, то −

n ≤ X ≤

n и

P{X 2 ≤ n}= P{−

n ≤ X ≤

n}=

n

z 2

n

z 2

n

t

1

1

∫

e−

dz =

2

∫ e−

1

∫e

−

−

dt,

=

2

2 dz =

2 t

2

здесь

z =

t .

Отсю-

2π −

n

π

0

2π

0

да

функция

распределения

случайной

величины

X12

равна

P(X12 < x)=

1

x

−

t

t −

1

∫e

2

2 dt , а ее плотность вероятности по теореме Бар-

роу

2π

0

(x

)

1

x−

1

e−

x

k

X1

=

2

2 , x

≥ 0.

(2.1.3)

1

2π

1

1

Это и есть распределение χ 2

с одной степенью свободы. Теперь по-

лучим общую формулу для распределения

X n = χ 2= X12 + X 22 + ... + X n2 ,

где

n -

любое число. Воспользуемся для этого методом математической

индукции. Допустим,

что k(xn )

описывается неким выражением, и пока-

жем, что k(xn+1) имеет аналогичное выражение. Пусть

n

−1 −

xn

k(xn ) = Cn xn2

e

2

,

xn

≥ 0,

(2.1.4)

∞

n

−1

−

xn

2 dxn = 1

где

Cn

-

константа,

причем такая, что

Cn ∫ xn2

e

(условие

0

нормировки). Полагая в (2.1.4)

n = 1 , приходим к формуле (2.1.3). Дейст-

вительно,

1

x

−1

1

x

x

= y, x = 2y,

∞

−

−

∞

−1

−

2

C1 =

∫ x

. ∫x 2

2 e

2 dx

e

2 dx =

dx = 2dy,

=

0

1

1

0

−

1

−

2 =

2

x

2

y

2

∞

−

1

1

=

2 e− y dy =

= 2π.

2

∫

y

2Γ

0

2

Исаак Барроу (1630-1677) - английский математик.

33

Тогда C1 = 1 2π , что соответствует формуле (2.1.3). Теперь поло-

жим

Y

= X 2

+1

,

где

X

n+1

N

(0,1) и не зависит от

X

n

.

Совместная

n+1

n

(y).

плотность

pX

n

,Y

(x, y) = k(xn )

pY

Но распределение Yn +1 такое

n +1

n +1

же как и X12 , т.е. это χ 2 -распределение с одной степенью свободы. Тогда

n

1

(x

+x

)

(x, y) = k(x

) k(x ) =

Cn

−1x−

−

n

1

f

X

,Y

n

x 2

2

e

2

, x

n

, x > 0.

Введем

n

1

n

+1 1

1

n+1

2π

преобразование

таково:

xn+1 = xn + x1,

zn+1 = xn.

		xn = zn+1			,		а
	x	= x		− z		,
			n+1		n+1
	1

Тогда обратное преобразование будет

якобиан преобразования

∂(xn , x1 )		∂xn		∂xn
	=	∂xn+1		∂zn+1
∂(xn+1, zn+1 )		∂x1		∂x1
		∂xn+1		∂zn+1

ность распределения

f X n+1,Z n+1 (xn+1, zn+1 ) =

=

0

1

= −1 ≠ 0.

Следовательно,

1

−1

n

1

xn+1`

Cn

−1(xn+1 − zn+1 )−

e−

z

2

2 ,

2

2π

n+1

							0 ≤ zn+1 ≤ xn+1.
	Проинтегрируем уравнение (2.1.5) по zn +1 , получим
				xn+1		x		n
		(xn+1 ) = Cn	e−			n∫+1 z			+−11(xn+1 − zn+1 )−	1	dzn+1 =
	f Xn+1			2				n2
										2
		2π					0

плот-

(2.1.5)

zn+1 = txn+1,

−

xn+1

1

1

n

−1

n

−1+

1

=

zn+1 = 0, t = 0,

= Cn e

2 ∫

(1 − t)−

2

t 2

xn2+1

2 dt =

zn+1

= xn+1, t = 1,

2π

0

dzn+1 = xn+1dt

1

1

n

−1

−

xn+1

n+1

−1

n+1

−1 −

xn+1

=

Cn ∫

(1 − t)−

2

t

2

e

2 xn+21

dt =Cn+1xn+21

e

2 ,

xn+1 ≥ 0 (2.1.6)

2π 0

По форме записи выражение (2.1.6) аналогично выражению (2.1.4), только n увеличилось до n +1. Таким образом, доказательство по методу

математической индукции завершено. Величина Cn определяется из ус34

∞

(xn )dxn =1.

k X n (xn ) из

ловия

нормировки

∫ f X n

Подставив

значение

−∞

∞

n

−1

−

xn

∞

(2.1.4), получим Cn ∫ xn2

e

2 dxn

= 1,

но так как

∫e−x xa −1dx = Γ(a), то

0

0

∞

n

−1 −

xn

xn

= y,

∞

n

n

−1

∞

n

−1

∫ xn2

e

2 dxn =

2

= ∫2(2y)

−1e− y dy = 2 2 2

∫ y 2

e− y dy =

2

0

dxn

= 2dy

0

0

n

1

= 2 2 Γ(n 2), тогда

Cn =

.

Следовательно,

окончательно

плот-

n

2 2 Γ(n 2)

k(xn ) =

1

n

−1

−

x

ность

χ2

-распределения имеет вид

x 2

e

2 , x

≥ 0 .

n

2 2 Γ(n 2)

k2 (x) =1 2e−

x

χ 2 -распределение с двумя степеня-

При n = 2

2

, x ≥ 0 , т.е.

ми свободы является экспоненциальным распределением с λ = 1 2 .

Можно привести другой более традиционный вывод этой же форму-

лы. Величины

Xi

независимы,

и каждая из них имеет по условию плот-

−

xi2

ность

1

2π e

2

,

тогда

совместная

плотность величин

X1, X 2 ,..., X n

x 2

x2

x2

−

1

−

2

−

n

выразится

произведением

1

2π e

1

2π e

2 ... 1

2 =

2

2π e

= (1

2π)n e−

∑ xi2

2

, отсюда

Kn (x) = P(χ 2< x)=

1

2

2

2

1

−

x

+x

+...

+x

n

...

e

2

1

2

dx1dx2...dxn .

(2.1.7)

n ∫∫

(2π)

∫

∑ xi2 <x

2

Это n -мерный интеграл, распространенный на область, определяе-

мую неравенством ∑xi2 < x. Область в общем случае представляет собой

i

множество точек, лежащих внутри и на поверхности сферы n -мерного пространства радиуса x с центром в начале координат.

35

Так как kn (x) = Kn/ (x), найдем производную формулы (2.1.7) по определению. Дадим x приращение h , получим

1

2

2

2

1

−

x

+x

+...

+x

K

n

(x + h)− K

n

(x) =

...

e 2

1

2

n dx dx

2

...dx

n

.

n

(2π)

∫∫

∫

1

x<∑ x 2

≤x+h

2

i

Применим к этой формуле теорему о среднем, тогда

1

(x +θh)

Kn (x + h)− Kn (x) =

1

e−

∫∫...∫

dx1dx2...dxn .

(2.1.8)

2

(2π)

n

x <∑ x2 ≤x +h

2

i

−

1

(x +θh)

(0

< θ < 1) есть некоторое среднее значение подынтеграль-

Здесь e 2

−

1

∑ x2

ной функции e

2

i в области интегрирования x < ∑xi2 < x + h.

Положим

Sn (x) = ∫∫...∫

dx1dx2...dxn . Это объем

n -мерной сферы

∑ x2 ≤x

i

радиуса x . Интеграл в правой части уравнения (2.1.8) перепишем в виде

1

(x+θh)[Sn (x + h)− Sn (x)]..

Kn (x + h)− Kn (x) = (2π)−

n

e−

(2.1.9)

2

2

Произведем

в формуле

для

Sn (x)

замену

переменных:

x

= x y

, dx

i

=

xdy

,

x2

+ x2

+... + x

2

= xy2 + xy

2

+... + xy2 =

i

i

i

1

2

n

1

2

n

= x(y12 + y22 +... + yn2 )≤ x ,

т.е.

y12 + y22 +... + yn2 ≤1.

Отсюда

Sn (x) = (

x )n ∫∫...∫

n

dy1dy2...dyn = C1x 2 ,

где C1

- объем единичной сфе-

∑ y2

≤1

i

ры

n -мерного пространства. Наконец, формулу (2.1.9) запишем в виде

n

−

1

(x+θh)

n

n

K

(x + h)

− K

(x)

=

(2π)−

C e

2

(x + h)

− x 2 ,

отсюда

n

n

2

2

1

Kn (x + h)− Kn (x)

1

(x+θh) (x + h)

n

n

−

− x 2

2

2

h

=

C2e

h

.

Перейдем к пределу при

36

h → 0 . Так как при этом

пенной функции, то lim

h→0

(x + h)

n

n

n

− x 2

n

−1

lim

2

=

x 2

- производная сте-

n

2

h→0

Kn (x + h)− Kn (x)

−

1

x

n

−1

= kn (x) = C3e

2 x 2

.

Кон-

h

∞ n		−1	−	x
станту C3 легче всего найти из условия нормировки C3 ∫x 2		e		2 dx = 1.
0

Как было показано ранее C3 =12n 2 Γ(n 2), поэтому для плотности рас-

	k(xn ) =		1			n	−1	−	x
					x 2
пределения получим выражение								e 2 , x ≥ 0 .
		2n 2	Γ(n 2)

Число степеней свободы n распределения можно связать с числом независимых величин, остающихся после оценки параметров или подбора распределения. Этот термин имеет разный смысл в различных задачах. На

рис. 2.1 представлены χ 2 -кривые с числами степеней свободы n , равны-

ми 2, 4, 8 и 16. При χ 2= 0 тангенс угла наклона кривой обращается в бес-

конечность для n = 3 , он остается конечным и ненулевым при n = 4 и обращается в нуль при n > 4. С ростом n кривая приближается к симметричной кривой. Справа изображен график функции распределения для n = 4 .

Рис. 2.1. Различные функции плотности и функция распределения

χ 2 -распределения

37

Числовые характеристики распределения: 1) математическое ожида-

ние mx = n ; 2) дисперсия Dx = 2n, σx =				2n ; 3) мода d X = n − 2, n ≥ 2 ;
4)	медиана hX ≈ n − 0.67; 5) коэффициент асимметрии A = μ3				=	23	;
				σ3x		n
6)	коэффициент эксцесса E =	μ4	− 3 = 3 +	12 .
		σ4x		n

Когда число степеней свободы стремится к бесконечности, A и E стремятся к нулю и трем соответственно, т.е. к значениям этих моментов для нормального распределения. Можно показать, что распределение данных случайных величин стремится при n → ∞ к нормированному нормальному распределению. Приведем несколько наиболее употребительных формул приближения к нормальному распределению:

1) X

1

= χ

n2− n , χ 2 N(n, 2n), X

1

N(0,1),

2n

n

2)

X 2 =

2χ n2 −

2n −1

(аппроксимация

Фишера ),

2χ n2 N ( 2n −1,1), X 2 N (0,1),

χ 2

1 3

2

9n

n

3)

X

3

=

−1 +

(аппроксимация

Вильсона

–

Хил-

n

9n

2

χ 2

1 3

2

2

N(0,1).

ферти),

n

N

−

1,

, X

3

n

9n

9n

Распределение χ2 обладает одним замечательным свойством: две не-

зависимые величины χ2

и χ2, распределенные по закону χ2 с n

и n

2

сте-

1

2

1

пенями

свободы,

при

сложении

дают в сумме

величину

χ 12+ χ 22 ,

распределенную по закону χ2 с n + n

2

степенями свободы.

1

Роналд Эйлмер Фишер (1890-1962) - английский математик.Эдвин Бидвел Вильсон (1879-1964) – английский математик.

38

2.2. t - распределение Стьюдента

Вторым из числа распределений, широко используемых в статистических проверках, является t -распределение Стьюдента или просто t -рас- пределение, впервые предложенное Госсетом и затем более строго обосновано Фишером. Оно лежит в основе множества процедур статистического анализа в науке и технике. На простом t -критерии основаны очень многие более сложные статистические критерии. Распределению Стьюдента подчиняется статистика

t = z n v ,	(2.2.1)
где z и v независимы, z распределена нормально,	z N(0,1), а v под-

чиняется закону χ2 с n степенями свободы. При этих условиях плотность вероятности величины t имеет вид

n+1

n +1

2

−

Γ

x

2

(x) = B

2

.

s

n

1

+

, B

n

=

(2.2.2)

n

n

n

Γ

π n

2

x

Функция распределения обозначается через Sn (x) = ∫sn (t)dt. Ее гра-

−∞

фик сильно напоминает график нормального распределения, с ростом n распределение t стремится к нормированному нормальному распределению N(0,1). График функции распределения также очень похож на нор-

мальный. Графики трех функций плотности вероятности: f (x) - плот-

ность стандартного нормального распределения,	f 1(x) - плотность рас-
пределения Стьюдента с одной степенью свободы,	f 4(x) - плотность рас-

пределения Стьюдента с четырьмя степенями свободы и график функции распределения Стьюдента F(x) представлены на рис. 2.2. Выведем фор-

Стьюдент) (1876-1937) – английский математик.

39

Рис. 2.2. Кривые плотности и распределения закона Стьюдента

мулу (2.2.2) для функции плотности вероятности распределения Стьюден-

та.

Так как

z N(0,1),

а

v χ n2 ,

то

f (z) = e−z 2

2 ,

а

2π

fn (v)

1

−

v

n

−1

=

e 2 v 2 .

Плотность совместного распределения в этом

n

2 2 Γ(n 2)

случае будет равна

f (z, v) = Ce−

z 2

−

v n

−1

n

2

2

v

2

, C = 1

2π2 2 Γ(n 2).

(2.2.3)

Тогда

z 2

Sn (x)

z n

x v

−

−

v

n

−1

2

2

2

∫∫e

v

dvdz.

= P(t < x) = P

v

< x = P z <

n

= C

z<

x v

n

Область интегрирования определяется неравенством

− ∞ < z < x

v

n

и представляет множество точек плоскости, ограниченное ветвью параболы z = (x n ) v. Выполняя двойное интегрирование по z от −∞ до

(x n )

v ,

а

затем

по

v

z

от 0 до ∞ ,

найдем

Sn (x) =

n

v

x

v

z

2

область

∞

−1e−

n

e−

= C ∫v

2

2

dv ∫

2

dz

0

−∞

интегрирования

(рис. 2.3). Вычислим сразу

функцию плотности вероят-

ности, дифференцируя по-

Рис. 2.3. Область существования статистики

лученное выражение по x

в

правой части под знаком интеграла. Тогда

v

t

40

	∞	n	−1	−	v
						d
	sn (x) = Sn/ (x) = C ∫v 2				2
				e
	0					dx

x

n− z2

∫e 2v

−∞

	∞ n				v
			−1	−
dz dv = C ∫v 2			e		2 e
	0

−x2v

2n

v dv = n

v

x

2

= C

∞

n −1

−

1+

2

n

∫v 2 e

dv.

n

0

u = v

(1

+ (x2 n)),

2du

Выполним подстановку

dv =

,

+ (x2

2

1

n)

−

u

2

v

2

2

1+(x

n)

−

(x

(2u)(n − 1) 2

1+(x

n)

1+

n)

= e−u ,

e

2

= e

v(n −

1) 2 =

,

(1+ (x2 n))(n − 1) 2

получим

n−1

∞

n−1

C

2

2

sn (x) =

2

∫u 2

e−u du.

Так

как

n

n−1

x

2

x

2 0

2

1 +

1 +

n

n

∞ n−1

∞

n+1

n+1

−u

−1

−u

n +

1

sn (x) =

2 2

C n +1

∫u 2

du =∫u 2

то

e

e

du

=Γ

,

n+1

Γ

=

2

2

0

0

2

n

x

2

+

1

n

n+1

n

+1

n +1

n+1

Γ

Γ

x2

−

2 2

2

2

2

=

=

1 +

.

n+1

n

n

n

n

nπ

x2

2

n 2π 2

2 Γ

Γ

1 +

2

2

n

Числовые характеристики распределения: mX = 0, DX = n(n − 2), n > 2 ; мода d X = 0 ; медиана hX = 0 , коэффициент асимметрии A = 0, n > 3 ; коэффициент эксцесса E = 6(n − 4) , n > 4 . Нормальная аппрок-

41

симация N (0, n (n − 2) ) очень хороша при n ≥ 30 , т.е.

X1 = t n(n − 2) N(0,1).

При больших n для квантилей распределения Стьюдента справедли-

	ва приближенная формула t p ≈	u p	, где u p - квантиль
		(1 −1 4n)2 − u 2p 2n

порядка p стандартного нормального распределения.

2.3. F - распределение (распределение Фишера) или распределение

дисперсионного отношения

Третье распределение, часто применяемое при анализе выборочных данных из нормальной совокупности, - это F -распределение. Прежде всего, оно используется в задачах, связанных с дисперсиями.

Если величины U и V

независимы и каждая распределена как χ2 с

n1 и n2 степенями свободы, то

F = U n1

(V n2 ) имеет плотность рас-

пределения вероятностей

n1 + n2

n

n1 −2

Γ

2

2

f F (x) =

2

n1

1

x

, x > 0.

(2.3.1)

n1

n2

(n1+n2 ) 2

n2

n1x

Γ

Γ

+

2

2

1

n2

	Это двухпараметрическое семейство распределений с параметрами n1
и	n2 ,	называемыми	степенями	свободы.	Константа
Γ(n1	2)Γ(n2	2) Γ((n1 + n2 ) 2) обозначается как		B(n1 2, n2	2). Это бета–
функция, определяемая формулой
		1
		B(m, n) = ∫ ym	−1(1 − y)n−1dy.		(2.3.2)
		0

Графики трех функций плотностей вероятностей распределения Фишера: с двумя и пятью степенями свободы, с пятью и десятью степенями свободы и, наконец, с десятью и тридцатью степенями свободы, а также функция распределения приведены на рис. 2.4.

42

Рис. 2.4. Кривые плотности и распределения F -распределения

Приведем один из возможных выводов формулы (2.3.1). Плотности

распределений случайных величин

Y = U n1 и

Z = V n2

выражаются

(y) =

1

n1

−1e−

y

одинаково

и

имеют

вид

k

Y

y 2

2

,

2(n1

2) Γ(n

2)

1

kZ (z) =

1

n2

−1

−

z

z 2

e

2 . Тогда их совместная функция распреде-

2(n2 2) Γ(n2 2)

ления P(Y

Z < u) = ∫∫kY (y)kZ (z)dydz, где D = {(y, z)

y > 0,

z > 0, y

z < u}.

D

Перейдем от двойного интеграла к повторному:

P(Y Z < u) =

1

∞

zu n1

−1

n2

−1 −

y

−

z

∫dz ∫ y 2

2

2 e

2 dy .

z

e

(2.3.3)

n +n

Γ(n

2)Γ(n

2)2

1

2

0

0

2

2

1

Произведя в (2.3.3) замену переменной по формуле t = y

z ,

получим

zdt = dy,

y

P(Y Z < u) = y = 0, t = 0, =

y z = u

y = zu, t = u

n1

n1

n2

tz

z

область

∞

u

−1

−1

−1

−

−

интегрирования z

= C1 ∫dz∫t

2

z 2

z

2

ze

2 e 2 dt =

0

0

z(t +1)

u

n1

−1 ∞

n1 +n2

−1 −

= C1 ∫t 2

dt ∫z

2

e

2 dz,

Рис. 2.5. Область существования дроби

0

0

Фишера

43

C1 =	1
						n +n
	Γ(n 2)Γ(n				2)2		1	2
				2				2
	1
	∞	n1 + n2	−1 −			z(t +1)
	∫z 2			e 2				dz =
	0

(рис. 2.5). Но

z(t2+1) = dz = t2+dv1 , e

	v, z =		2v	,
	−	z(t +1)t +1
		2	= e−v ,		=

n1 +n2

n1 + n2

−1

n1

+ n2

−1

2 2

−1

z 2

=

v

2

(t +1)

n1

+ n2

−1

2

	∞		n1 + n2		−1			n1 + n2
		2 2							−1e−v
	= ∫						v 2
				n1 +n2
	0 (t +1)					−1
				2

∞

так как Γ(a) = ∫e−x xa−1dx. Тогда

0

				n1 +n2				n		+ n
2			2		2						2
		dv =						Γ	1			,
t +1					n1 +n2					2
			(t +	1)
					2

Y

Γ((n + n

2

)

2)

u

n1

−1

(t +1)

−

n1 +n2

P

< u =

1

t 2

2

dt.

(2.3.4)

Z

Γ(n 2)Γ(n

2)∫

2

1

0

Найдем, наконец, функцию плотности вероятности

n

+ n

2

n1

x

Γ

1

n

n

1

fF (x) =

2

d

2

−1

(t +1)

−

n1+n2

∫

t 2

dt,

так как

2

n

n

2

dx

Γ

1

Γ

0

2

2

u =

y

,

x =

n2 y

=

n2

u.

Отсюда

n z

z

n

1

1

44

n

+ n

2

Γ

1

n1

n1 +n2

2

−1

−

f F (x) =

2

2

n1

n1

n2

n1

n1

=

x

x +1

Γ

Γ

n2

n2

n2

2

2

n

+ n

n1

n

Γ

1

2

1

−1

n

x 2

2

2

=

1

.

(2.3.5)

n

n

n

n1 +n2

Γ

1

Γ

2

2

n1

2

2

2

1

+

x

n2

При дифференцировании под знаком интеграла здесь, как и в предыдущем случае, использована формула

	d	β(y)	f (x, y)dx =	β(y)	∂f (x, y)dx + β / (y)f (β(y), y)− α / (y)f (α(y), y).
		∫		∫
	dy	α(y)		α(y)	∂y

Формула (2.3.4) легко выражается в терминах бета–функции, поэтому вместо таблиц F -распределения можно использовать таблицы бета–функ-

ции. Функция плотности вероятности также как у χ 2 -распределения

сильно асимметрична.

Числовые характеристики распределения:

1)

математическое ожидание mx

=

n2

, n2

> 2 ;

n2

− 2

2n2

(n

+ n

2

− 2)

2)

дисперсия

Dx

=

2

1

, n2 > 4

;

n

(n

2

− 2)2 (n

2

− 4)

1

3)

мода d

X

=

n2

(n1 − 2)

, n

> 1 ;

n (n

2

+ 2)

1

1

2(2n1 + n2

− 2)

2(n2 − 4)

4) коэффициент асимметрии A =

> 6 ;

(n

− 6)

n

(n

+ n − 2), n2

2

1

1

2

5) коэффициент эксцесса

E = 12[(n2 − 2)2((n2 − 4)+ n)(1(5n2 −)(22)(n1 +) n2 − 2)], n2 > 8 . n1 n1 + n2 − 2 n2 − 6 n2 − 8

45

2.4. Распределение Колмогорова

Важную роль в математической статистике играет распределение ста-

тистики, введенной А.Н. Колмогоровым:
Dn = sup		Fn (x)− F(x)		,	(2.4.1)
−∞<x<+∞					X , а Fn (x)
где F(x) - функция распределения случайной величины						- эм-
пирическая функция распределения.						F(x)
Теорема 2.1. (Колмогорова).		Если функция распределения

непрерывна, то

		n	sup		F	(x)− F(x)			=
lim P								< z
n→∞			−∞<x<+∞		n

∞	2z2 , z > 0.(2.4.2)
K(z) = ∑(−1)k e−2k

k =−∞

График функции распределения Колмогорова (рис. 2.6, справа) имеет ряд особенностей. Функция K(z) очень медленно возрастает в промежут-

ке z [0, 0.5], затем очень быстро возрастает почти до единицы на отрезке

Рис. 2.6. Графики функций плотности вероятности и функции распределения статистики Колмогорова

z [0.5,1], потом следует опять медленный рост при z → ∞. Найдем функцию плотности распределения Колмогорова

Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) - советский математик.

46

∞

2

2

/

∞

2

2

/

f (z) = k(z) = KZ/ (z) =

∑(−1)k e−2k

z

= 1

+ 2 ∑(−1)k e−2k

z

=

k =1

k =−∞

z

z

∞

∞

= k(z).

= 2 ∑(−1)k e−2k 2z2 (− 2k 2

2z)= −8z ∑(−1)k k 2e−2k2z2

(2.4.3)

k =1

k =1

График функции плотности вероятности распределения изображен на

рис. 2.6, слева.

Найдем

теперь

основные

числовые

характеристики:

∞

(z)dz ,

mZ = ∫zk

так

как

z > 0

по

определению,

тогда

0

∞

∞

k

2

−2k

2

z

2

∞

k

2

∞

2

−2k

2

z

2

− 8z ∑

(−

k

e

∑(−1)

∫ z

e

dz.

Вы-

mZ = ∫ z

1)

dz = − 8

k

0

k =1

k =1

0

числим отдельно

∞

1

z = u, dz = du,

z

2z2 ∞

1

∞

2

−2k2z

2

−2k2z2

2

−2k

−2k

2z2

∫z

e

dz

=

e

dz

= dv,

=

e

+

∫e

dz

=

0

2

1

2

2

− 4k 2

0

4k 2

0

v =

2(− 2k 2 )e−2k

z

=

2kz = y,

1

∞

− y

2

dy

=

1

π

.

Здесь использован ин-

dz =

dy

=

4k

2

∫e

2k

4 2k 3

2

2k

0

∞

∞

теграл Пуассона

∫e−t 2 dt = 2∫e−t 2 dt =

π.

Тогда

−∞

0

∞

π

∞

1

∞

1

mZ = −8 ∑(−1)k k 2

= − ∑

(−1)k

=

∑

(−1)k

= −ln 2 =

4 2k 3 2

k

k

k =1

k =1

k =1

=π2 ln 2 = 0.8687.

Аналогично

∞

∞

π 2

∞

k

−2k

2

z

2

2

2

k(z)dz = ∫

DZ = ∫(z − mZ )

z − ln 2

2

(− 8z)∑(−1)

e

k

dz =

0

0

k =1

47

∞

k

2

∞

π 2

−2k

2

z

2

∫

2

ze

dz.

Подсчитаем этот интеграл

= −8 ∑(−1)

k

z − ln 2

k =1

0

отдельно, раскрывая скобки и интегрируя по частям:

∞

z 2 = u, du = 2zdz,

1)

3

e

−2k

2z

2

dz =

1

e

−2k2z2

dz

2

= dv,

=

∫z

2

0

v = − 1

e−2k2z2

4k 2

z2

∞

2

∞

1

e−2k2z2

∞

1

= −

e−2k2z2

+

∫ ze−2k2z2 dz =

=

;

4k 2

4k 2

− 8k 4

8k 4

0

0

0

∞

2) − 2 ln 2

π

2

e

−2k 2 z 2

dz = − 2 ln 2

π

π

= −

πln 2

;

2

∫ z

2 4 2k 3

2

8k 3

0

π

2

∞

−2k 2 z 2

πln

2

2

∞

−2k 2 z 2

2

3)

ln

2∫ze

dz =

∫e

dz

=

2

4

0

0

=

πln2 2

1

e−2k 2 z 2

∞ =

πln2 2

,

тогда

4

∞

− 2k 2

0

8k 2

2

∞

k

2

∞

1

πln 2

+ πln

2

(−1)k πln 2

DZ = −8∑(−1)k k2

−

= −8∑(−1)k

+8

∑

−

8k3

8k

4

k =1

8k4

8k 2

k =1

k =1

8k

2

2

∞

k

πln

2

∞

1

∞

1

∞

−8∑(−1)k

= −∑(−1)k

+ πln 2∑(−1)k

− πln2 2∑

(−1)k .

8k2

k

k =1

k =1

k2

k =1

k =1

∞

1

π

2

∞

1

∞

Хотя

∑(−1)k

= −

, ∑

(−1)k

= −ln 2 ,

но ряд

∑(−1)k рас-

k 2

k

k =1

12

k =1

k =1

ходится. Следовательно, DZ не существует.

Оценим медиану. По определению ∞∫ k(z)dz = 12 . В нашем случае

hZ

−8 ∞∫ z ∑∞ (−1)k k 2e−2k 2z2 dz = −8 ∑∞ (−1)k k 2 ∞∫ze−2k2z2 dz =

hZ k =1

k =1

hZ

48