Т а б л и ц а 3
	Номер фами-	Вид рас-	Параметры	Объем
	лии в журна-
	ле препода-	пределения	распределения	выборки
	вателя		λ = (0.5 N )mod 3 + 1 , где
	1-8	Экспонен-		100
			N - порядковый номер дня вашего
		циальное
			рождения
			m - порядковый номер месяца
	9-16	Логнор-	рождения,	50
		мальное	σ - номер фамилии в журнале
			преподавателя
			m - порядковый номер месяца
	17-24	Нормаль-	рождения,	50
		ное	σ - номер фамилии в журнале
			преподавателя
	25-32	Классиче-	α = 2,	100
		ское	λ = (0.5 N )mod 3 + 1
		Вейбулла

5.8. Лабораторная работа №7. Критерии согласия в математическом пакете MATHCAD

Как и в лабораторной работе №5 в пакете MATHCAD вычисление всех статистик тестов χ2 -Пирсона и Колмогорова придется программировать. Исходная выборка может быть задана всеми наблюдениями или в виде сгруппированных данных. Для получения конечного результата при использовании этих двух тестов, очевидно, необходимо составить следующие подпрограммы: получения вариационного ряда по исходной выборке, вычисления сгруппированной выборки, исправления разрядов сгруппированной выборки по условию mi > 5 , вычисления статистик χ2 -Пирсона и Dn Колмогорова, наконец, принятия решения о нулевой гипотезе H0 . Ниже приводятся тексты этих подпрограмм с необходимыми комментариями.

151

Подпрограмма str упорядочивает исходную несгруппированную выборку по возрастанию ее элементов. Используются две встроенные функции пакета MATHCAD rows и cols, которые подсчитывают количество строк и столбцов

в матрице-аргументе.

Подпрограмма grupvib получает сгруппированную выборку по исходной. Ее параметры: x - вектор исходной выборки, l - первоначальное число разрядов группировки. Выходные параметры: x1-вектор вариационного ряда, первый столбец матрицы x2 содержит значения левых концов интервалов группировки, второй столбец – значения правых концов, вектор m содержит час-

тоты попадания элементов выборки в образованные интервалы. Подпрограмма interval исправляет сгруппированную выборку, объе-

диняя крайние интервалы, у которых mi ≤ 5 , в один. Ее параметры: матрица xi, j , содержащая первоначальную сгруппированную выборку, и вектор частот m . В результате работы подпрограммы в матрице x1 находятся исправленные границы интервалов, вектор m1 содержит исправленные частоты, а переменная nnow равна размерности вектора m . В подпрограмме использована встроенная функция пакета MATHCAD floor, вычисляющая наибольшее целое, не превосходящее аргумент.

Подпрограмма χ2 вычисляет статистику критерия согласия χ2 -Пир-

сона.	Теоретические	вероятности	считаются	по	формуле
P(α ≤ X < β) = F(β) − F(α), где F - функция распределения генеральной
совокупности, откуда		получена выборка.	В приведенной		программе

F ≡ pnorm - функции распределения нормального закона. Кроме того, в теле программы оцениваются два параметра нормального закона mX и

DX .

При необходимости исследовать выборку, подчиняющуюся другому закону распределения, эти операторы необходимо заменить на операторы,

152

вычисляющие нужную функцию распределения и требуемые ею неизвестные параметры этого распределения. Подпрограмма χ2 требует задания исходной выборки в сгруппированной или несгруппированной форме, вектора частот и первоначального числа интервалов группировки. Выходными параметрами подпрограммы являются числовое значение статистики χ2 -Пирсона и число интервалов исправленной сгруппированной выборки.

153

Подпрограмма Pirson принимает решение о нулевой гипотезе. Она очень проста, все ее операторы совершенно понятны и не требуют ком-

154

ментариев. Встроенная функция qchisq вычисляет (1 − α)% квантили

χ2 - распределения. Ее входные параметры аналогичны параметрам подпрограммы χ2, а α - уровень значимости нулевой гипотезы.

Подпрограмма Dn вычисляет статистику критерия согласия Колмогорова. Здесь, так же как и в подпрограмме χ2 для вычисления значений гипотетической функции распределения, использована функция распределения нормального закона pnorm. При необходимости ее следует поменять вместе с операторами, оценивающими параметры нормального закона. Кроме того, в теле подпрограммы использованы следующие встроенные функции: mean и var вычисляют оценки математического ожидания и дисперсии, функция stack формирует одну матрицу из двух, располагая первую матрицу над второй, наконец, функция max находит наибольший элемент в матрице-аргументе.

Подпрограмма Kolm, так же как подпрограмма Pirson, принимает решение о принятии или отвержении нулевой гипотезы H0 с уровнем значимости α. (1 − α)% квантили распределения Колмогорова вычисляются линейным интерполированием с помощью встроенной функции linterp.

Сама программа использования тестов согласия χ2 -Пирсона и Колмогорова в пакете MATHCAD может быть, например, такой.

ORIGIN := 1

α := 0.05 α = 0.05 l := 10 l = 10 n := 40 n = 40

155

	17				20				17						13
					11					22
	21														21
	8				9					22					21		x := stack(x1, x2)	x := stack(x, x3)
	20				19				10						9		x := stack(x, x4)
x1:=	23		x2 :=		20		x3 :=			20		x4 :=		14
	18				9					20					11
	22				19					15				19
	20				17					19					18
	17									20
					21										23
	12				13					20
														19
1				1				1					1
1				1				1					1
1				1				1					1		m := stack(m1, m2)			m := stack(m, m3)
1				1				1					1		m := stack(m, m4)
1			m2 :=	1		m3 :=		1					1
m1:=								m4 :=
1				1				1					1
1				1				1					1
1				1				1					1
1				1				1					1
1				1				1					1

Далее должны следовать тексты всех семи приведенных подпро-

грамм.

a:= Pirson(x, m, l, α) a =" гипотезаН0 отвеграетсясзаданнымуровнемзначимости"

b:= Kolm(x, m, l, α) b =" гипотезаН0 принимаетсясзаданнымуровнемзначимости"

Нулевая гипотеза в этой лабораторной работе должна быть сформулирована следующим образом: H0 : F(x) = Φ(x − mX σX ) . Таким обра-

зом, с уровнем значимости α = 0.05 исследуемая выборка не удовлетворяет нормальному закону.

Задание № 1. Выбрать из табл. 4 вид гипотетического распределения и его параметры, смоделировать в пакете MATHCAD выборку объемом 100 единиц (см. табл. 1) и проверить с уровнем значимости α = 0.1 нуле-

вую гипотезу H0 : F = Fгипотет. , исправив, если это необходимо, соответствующие операторы в подпрограммах χ2 и Dn.

156

Номер

Т а б л и ц а 4

Вид

Функция

Оценка пара-

фами-

распре-

метров мето-

Числовые

лии в

рас-

Функция плотности и

деления

дом макси-

значения

жур-

пре-

параметры

в пакете

мального

парамет-

нале

деле-

закона

MATH-

правдоподо-

ров

пре-

ния

CAD

бия

под.

χ2 -

kn (x) = C x n 2−1e−x 2

pchisq(x, n)

n - по-

1-5

рас-

C =

1

, x > 0

-

рядковый

пре-

2n 2 Γ(n 2)

номер дня

вашего

деле-

рождения

ние

Экспо

λ = (0.5 n),

ненци

pexp(x, λ)

)

n

где n - по-

6-10

аль-

f (x) = λe−λx , x > 0

λ =

ное

n

рядковый

∑ xi

номер дня

i =1

рождения

2

−

n +1

n - по-

Стью-

sn (x)

x

2

рядковый

pt(x, n)

11-15

дента

= Bn 1 +

n

-

номер дня

вашего

рождения

n

−2

n1 -ваш

1

номер в

F -

f (x) = C

x

2

журнале

16-20

рас-

n x

n1 +n2

pF(x, n , n

)

-

препода-

пре-

2

1

2

вателя,

деле-

1 +

1

ние

x > 0

2

n

2

-пор.

номер дня

рождения

Гам-

α - пор.

ма-

f (x) =

1

xαe−x ,

pgamma

(x )2

21-25

рас-

Γ(α +

1)

(x, α + 1)

)

=

номер

пре-

α

~

месяца

деле-

β = 1, x > 0

DX

рождения

ние

m -пор.

1

n

2

)

=

номер дня

Нор-

− (x −m)

m =

x

∑ x

i

26-30

1

pnorm

n i =1

рожд.,

маль-

f (x) =

e

2σ

2

(x, m, σ)

σ2 -смещенная

σ2 -номер

ное

2πσ

дисперсия

фамилии в

журнале

157