Текст

Для определения матрицы R используем принцип возможных перемеще-

ний (4.65), в котором P заменим на R, так как в данном случае роль сил иг-

рают реакции в дополнительных связях:

			тR =		тSу.	(6.37)
		Z
				v

В качестве возможных примем последовательно задаваемые единичные

перемещения по направлению дополнительных связей						=				т = E.
					Z			Z			Тогда
возможные деформации на основании (6.24)
		= aZ		= aE = a и					т = aт .
	v						v
В результате, с учетом, что Sу = kaZ , получим
R = aтSу = aтkaZ.											(6.38)
Сравнивая (6.38) и R = KZ получаем выражение для получения матрицы
коэффициентов при неизвестных метода перемещений
K = aтka.											(6.39)

6.7.5. Последовательность расчета на действие внешней нагрузки

При использовании матричной формы расчет методом перемещений мож-

но условно разделить на два этапа.

Первый этап включает в себя, как и при обычной форме расчета, опреде-

ление степени кинематической неопределимости, построение деформиро-

ванных схем основной системы при единичных смещениях дополнительных

связей, построение эпюры M F0 (строить эпюры M i0 нет необходимости), а

также составление исходных матриц: a (s x n), k (s x s), RF (n x p) и S0(s x p).

Второй этап расчета состоит в последовательности матричных операций и деформационной проверки. Деформационная проверка выполняется также,

как и при расчете методом сил (см. 5.32):

	1тfSу =		1тk−1Sу = 0 .
b		b		(6.40)

Так как в методе перемещений для отдельных стержней используются матрицы жесткости только второго и первого порядков, а матрица податли-

291

вости f на основании	r	= δ−1	вычисляется как обратная к матрице k, то в
	g	g

(6.40) вместо полной матрицы усилий S используется матрица Sу.

Всю последовательность матричных операций рассмотрим на конкретном примере.

Пример 6.11. Требуется рассчитать методом перемещений в матричной форме раму, показанную в примере 6.4 (см. рис. 6.12, а).

Решение. 1. Покажем расчетные сечения (рис. 6.40, а) и составим матрицы жесткости для стержня 1 – 2 по (6.30) и для стержней 3 и 4 – по (6.31):

r	= 2 ×1,5i	2	1	= 3i	2	1	;	r	= r = 3i [1].
12								3	4
		1	2		1	2

2. Составим квазидиагональную матрицу жесткости k (4 x 4) необъеди-

ненных стержней расчетной схемы:

r12 0		0		2	1	0	0
k = 0	r	0		= 3i 1 2 0 0				.
	3			0	0	1	0
	0
0		r4			0	0	1
				0

3.Составим: на основании деформированных состояний 1 и 2 (рис. 6.40, б

ив) матрицу преобразования деформаций a (4 x 4); на основании эпюры M F0

(см. рис. 6.12, е) матрицу усилий S0 в основной системе от действующей на-

грузки; по определенным в примере 6.4 свободным членам канонических

уравнений матрицу RF:

	v			v					0	-	1/ 4					M10					0
		11		12
										-1/ 4							0								R1F		-36
	v21			v22				1							0	M	2			0
a =		v31		v32			=				1/8		;	S		=	0		=		-36		;	RF	=		=	.
								1								M	3								R2 F		-62,5
	v		41	v	42			0		-1/ 3							0			0
																M	4

4. Транспонируем матрицу a:

	0	1	1	0
aт =		-1/4	1/8	.
-1/4				-1/3

292

5. Вычислим	матрицу усилий от единичных смещений дополнительных
связей по (6.35):
2	1	0	0		0	−1/ 4			− 0, 75
								1
1 2 0 0				1		−1/ 4		2 − 0, 75
d = ka = 3i	0	1	0					= 3i	0,125	.
0				1		1/8		1
	0	0	1
0				0		−1/ 3		0	− 0,333

6. Вычислим матрицу коэффициентов при неизвестных по (6.39):

				1	− 0, 75
0	1	1	0	2	− 0, 75		3	− 0, 625
K = aтd =	-1/4	1/8		3i	0,125		= 3i	.
-1/4			-1/3	1			−0, 625	0,502
				0	− 0,333

7. Производем обращение матрицы K и проверку обращения.

Обратная матрица и проверка обращения:

	1		0, 45				1		0, 45				3	− 0, 625				0
K−1 =				0,561		K−1K =				0,561						1			=E.
			0,561	2,692	;				0,561	2,692		3i	−0, 625	0,502		=	0
	3i						3i
																		1

8.Определим значения неизвестных по (6.20):

Z = −K −1R F = −	1 0, 45			0,561 −36				1			51,252
			0,561	2,692		−62,5		=				.
	3i								3i
										188,411

9.Определим усилия от действительных смещений по направлению дополнительных связей:

		1	− 0, 75						−90, 056
			− 0, 75				51,252		−38,804
		2		1
Sу	= kaZ = dZ = 3i		0,125						=		.
		1			3i					74,804
						188,411
		0	− 0, 333						−62,804

10. Определяем матрицу усилий в сечениях заданной расчетной схемы по

(6.34):

S = Sy

+ S

M1

−90, 056

0

−90, 056

=

=

−38,804

+

=

−38,804

.

0

M 2

0

M

3

74,804

−36

38,804

−62,804

−62,804

M 4

0

293

По полученным значениям матрицы S согласно принятому правилу зна-

ков концевых усилий строится эпюра MF (см. рис. 6.13, г). При этом при на-

личии внеузловой нагрузки (в нашем случае – равномерно распределенной нагрузки) на участке ее действия к концевым значениям изгибающих момен-

тов «подвешивается» балочная эпюра.

12. Производим деформационную проверку по (6.40). Для этого при nc=2

выбираем статически определимую основную систему (рис. 6.41, а), прикла-

дываем по направлению удаленных связей единичные силы и от их совмест-

ного действия строим суммарную эпюру M s0 , по которой формируем матри-

цу b1 и транспонируем ее.

											1
									= −1					;			т	= [1			−1	1	0,375			] .
							b									b
								1			1						1
										0,375
Вычисляем матрицу податливости f:
		δ			0	0		−1			δ12-1	0		0							2/3 −1/3			0		0
				12									−1					1					2/3	0		0
																				−1/3
f = k−1 = 0					δ3	0				=	0	δ3		0				=		0			0 1 0 .
																			3i
														−1
		0 0				δ4					0 0			δ4							0		0	0
																										1
Тогда
																		2/3 −1/3				0	0	−90,			056
														1			−1/3			2/3		0	0		−38,804
т			т	= [1		−1							]																= [0].
b1 fSy	= b1							1		0,375				3i				0			0	1	0			74,804
																		0			0	0
																							1		−62,804

Деформационная проверка выполняется.

Дальнейший ход расчета производится согласно п.п. 11 – 13 табл. 5.1 (см.

пример 5.2).

Приведенный порядок матричных операций можно свести к единому ал-

горитму:

S = S	0	т		−1	(6.41)
		− ka a	ka	RF .

294

+ St0,рн

St0,рн

= kat .

В случае необходимости произвести расчет при многовариантном загру-

жении в соответствии с (2.23) матрица усилий в основной системе S0 = b0P, и

алгоритм (6.41) примет вид:

т		−1	(6.42)
S = {b0 − ka a	ka	rF }P ,

где RF = rFP, rF (n x p) – матрица свободных членов от единичных значений

нагрузок.

6.7.6.Расчет при наличии начальных деформаций

1.При расчете на тепловое воздействие как при расчете в обычной форме заданное тепловое воздействие представляется в виде суммы нерав-

номерного и равномерного нагревов.

При неравномерном нагреве (перепаде температур) по эпюре Mt0,нн со-

ставляется матрица St0,нн .

При равномерном нагреве нет необходимости строить эпюру Mt0,рн . Доста-

точно по деформированной схеме основной системы, полученной при равно-

мерном нагреве, определить матрицу деформаций at. Тогда по аналогии с

(6.35) усилия в основной системе могут быть определены:

(6.43)

На основании принципа независимости действия сил получаем для основ-

ной системы полную матрицу усилий в основной системеот теплового воз-

действия St0 = St0,нн .

Поскольку при тепловом воздействии все эпюры изгибающих моментов в

основной системе прямолинейны, для определения матрицы Rt используем

принцип возможных перемещений (4.65), в котором P заменим на Rt, а S – на

St0 :
ZтRt = vтSt0 .	(6.44)

295

В качестве возможных примем последовательно задаваемые единичные перемещения по направлению дополнительных связей Z = Zт = E. Тогда возможные деформации на основании (6.24) v = aZ = aE = a и vт = aт .

В результате получим

Rt = aтSt0 .

(6.45)

Дальнейший ход расчета аналогичен расчету на действие внешних нагру-

зок. Определение усилий в заданной расчётной схеме при тепловом воздей-

ствии производится по алгоритму, аналогичному (6.38):

0	т		−1	(6.46)
St = St	− ka a	ka	Rt .

2. При неравномерной осадке опор и неточности изготовления стерж-

ней также нет необходимости строить эпюры в основной системе от этих воздействий. Достаточно по деформированной схеме основной системы оп-

ределить матрицу деформаций a .Тогда по аналогии с (6.35) усилия в основ-

ной системе могут быть определены:

S0 = ka .

(6.47)

При этом, если неравномерные осадки содержат не только линейные сме-

щения, но и углы поворота защемлений матрицу деформаций на основании

принципа независимости действия сил представляют в виде суммы a = aφ + a ', где aφ – матрица деформаций от углов поворота жестких опорных защем-

лений, a ' – матрица деформаций от линейных смещений опор. Деформиро-

ванные схемы основной системы строятся: от угловых смещений опор – не-

посредственно по п. 1 и 4 приложения 1; от линейных смещений опор – по

значениям относительных смещений концов стержней, полученных из диа-

граммы перемещений либо из непосредственного построения деформиро-

ванной схемы с использованием п. 2 и 3 приложения 1.

Матрица свободных членов по аналогии с (6.45) может быть определена

по формуле:
R = aтS0 .	(6.48)

296

t ,нн

0

Дальнейший ход расчета аналогичен расчету на действие внешних нагру-

зок. Определение усилий в заданной расчётной схеме при неравномерной осадке опор и неточности изготовления стержней производится по алгорит-

му, аналогичному (6.41):

S = S	0	т		−1	(6.49)
		− ka a	ka	R .

Рассмотрим несколько простейших примеров расчета методом перемеще-

ний в матричной форме на указанные воздействия.

Пример 6.12. Требуется построить эпюру Mt методом перемещений в матричной форме раму, приведенную в примере 6.4, при заданном тепловом воздействии (рис. 6.42, а).

Основная система, исходные матрицы a, k, их произведение d =ka, а так-

же матрицы K и K-1 показаны в примере 6.11.

Решение. 1. Заданное тепловое воздействие на основании принципа неза-

висимости действия сил представим в виде суммарного действия неравно-

мерного и равномерного нагревов (рис. 6.42, б и в).

2. Строим в основной системе на основании п. 7 и 8 приложения 1 эпюру

M от действия неравномерного нагрева (рис. 6.42, г) и по ней составляем матрицу усилий в основной системе от данного вида воздействия:

			−625
S0	= iα		625 .
t ,нн		t
			−600
			−250

3. Находим изменения длин стержней рамы при равномерном нагреве,

предварительно обозначив узлы основной системы:

lAB = αt·5·5º = 25αt; lCD = αt·3·30º = 90αt; lBC = αt·6·5º = 30αt .

4. На основании полученных удлинений стержней построим диаграмму перемещений (рис. 6.42, г). Точки A, D и E основной системы являются не-

подвижными и располагаются в произвольном полюсе 0. От этого полюса откладываем изменения длин lAB (точка В') и lCD (точка С0). С0 является

297

новым положением точки С, так как она связана с неподвижной точкой D и

по горизонтали перемещаться не может. Далее от найденного положения С0

откладываем изменение длины lBC (точка В''). Новое положение точки B – B0 найдем на пересечении перпендикуляров, восстановленных из точек В' и

В''.По построенной диаграмме перемещений относительные смещения кон-

цов стержней основной системы будут:

AB =	lAB ·tgθ + lBC /cosθ = (25·0,75 + 30/0,8) αt = 56,25 αt ;
BC =	lCD – lAB ·cosθ – AB ·sinθ = (90 – 25 ·0,8 – 56,25 ·0,6)	αt = 36,25 αt .

5. На основании полученных перемещений построим деформированную схему основной системы от равномерного нагрева (рис. 6.42, е) и по ней со-

ставим матрицу деформаций at:

	v
	1t
a = v2t
t	v
	3t
	v4t

		AB / lAB
		AB / lAB
	=
		BC / lBC
		0

		56,25/5			11,25
	= α	56,25/5		= α	11,25	.
		t 36,25/6			t 6,0417
			0		0

6. Определим усилия в основной системе от равномерного нагрева по

(6.43) и полные усилия от теплового воздействия:

					6	3	0	0				11,25					101,25
S0		= ka	t	= i	3	6	0	0		αt		11,25		= iαt			101,25 ;
t ,рн					0	0	3	0				6,0417					18,125
					0 0		0 3					0					0
							−625											−523, 75
												101,25
0		0		0				625				101,25							726, 25
St	= St ,нн			+ St ,рн		= iαt					+ iαt					= iαt				.
								−600				18,125						−581,875
								−250					0					−250

7. Определим матрицу свободных членов по (6.45):

−523, 75

0

0

726, 25

144,375

.

т

0

1

1

iα

= iα

Rt = a

St

=

t

t

-1/4

-1/4

1/8

-1/3

−581,875

−40, 026

−250

8. Определим значения неизвестных по (6.20):

298

		1		0, 45					α		−42,546
Z = −K −1Rt	= −				0,561	144,375		=	t			.
					iαt
		3i 0,561			2,692		−40, 026		3		26,775

9.Определим усилия от действительных смещений по направлению дополнительных связей:

	1		− 0, 75
	2		− 0, 75
S = dZ = 3i					αt
			0,125	3
у	1
		0	− 0, 333

					− 62, 628
−42,546			= iα	−105,175		.
				t	− 39, 200
	26,775				− 8,925

10. Определим матрицу усилий в сечениях заданной расчетной схемы по

(6.34):

M1

− 62, 628

−523, 75

−586,378

0

M

2

= iα

−105,175

+ iαt

726, 25

= iαt

621,075

St = Sy + St

=

.

M

3

t

− 39, 200

−581,875

−621, 075

− 8,925

−250

M 4

−258,925

11. По полученным значениям матрицы St согласно

принятому правилу

знаков концевых усилий строим эпюру Mt (рис. 6.43).

Пример 6.13. Требуется построить эпюру M методом перемещений в матричной форме раму, приведенную в примере 6.4, при заданных смещени-

ях опор (рис. 6.44, а): φ1 = 0,08 рад; φ2 = 0,12 рад; 1= 2= 0,06 м; 3 = 0,02 м;

4 = 0,08 м.

Основная система, исходные матрицы a, k, их произведение d =ka, а так-

же матрицы K и K-1 показаны в примере 6.11.

Решение. 1. Заданное смещение опор на основании принципа независимо-

сти действия сил представим в виде суммарного от поворота опорных за-

щемлений и линейных смещений опор (рис. 6.44, б и г).

2. Строим на основании п. 1 и 4 приложения 1 деформированную схему основной системы от угловых смещений жестких заделок (рис. 6.44, б) и по ней составляем матрицу деформаций:

299

	φ1				0, 08
		0			0
a =				=		.
φ		0			0
		-φ2			−0,12

3. На основании заданных линейных смещений опор построим диаграм-

му перемещений (рис. 6.44, в). Особенностью построения диаграммы в дан-

ном случае является отсутствие удлинений (укорочений стержней). Сначала находим новые положения точек A и E (A0 и E0), откладывая заданные сме-

щения опор от произвольного полюса 0. Следующая точка, новое положение которой С0, следует определить – С. Так как эта точка связана с неподвижной точкой D и не может перемещаться по горизонтали, она переместится только

по вертикали на величину 3. Осталось найти новое положение точки B – В0.

Эта точка связана с определенными положениями соседних точек A0 и С0.

Следовательно, новое положение точки B будет находиться на пересечении перпендикуляра к направлению стержня AB, проведенного из A0, и перпен-

дикуляра к направлению стержня ВС, проведенного из С0.

По построенной диаграмме перемещений относительные смещения кон-

цов стержней основной системы будут:

CE =	4	= 0,08 м;	AB = 1 /cosθ = 0,06/0,8= 0,075 м;
BC =	2	+ AB·sinθ –	3 = 0,06 + 0,075·0,6 – 0,02 = 0,085 м.

4. На основании полученных перемещений построим деформированную схему основной системы от линейных смещений (рис. 6.44, г), по ней соста-

вим матрицу деформаций a ' и определим полную матрицу деформаций:

		v		−
		1			AB
a	′	= v2		= −	AB
		v
		3			BC
		v4			CE

/ lAB			−0, 075/5			−0, 025
/ l			−0, 075/5			−0, 025		;
/ l	AB	=	0,085/6		=
					0,01417
	BC		0,08/3
/ lCE					0,02667

		0, 08			−0, 025			0,	055
a = aφ		0			−0, 025		−0,		025
	+ a ′ =			+			=			.
		0						0,	01417
				0,01417
	−0,12			0,02667			−0,		09333

300