Текст

В общем случае система канонических уравнений типа (7.1) может быть

записана для любого количества неизвестных:

r Z + ... + r

Z

k

+ r′

+1

X

k +1

+ ... + r

′ X

n

+ R

= 0,

11 1

1k

1,k

1n

1F

...........................................................................

,

r Z + ... + r Z

k

+ r′

X

k +1

+ ... + r′ X

n

+ R = 0,

k 1 1

kk

k ,k +1

kn

kF

(7.2)

δ ′

Z + + δ′

Z

+ δ

X

+ + δ

X

+

+1,1

+1,k

k

k +1,k +1

k +1

k +1,n

n

k +1,n

= 0,

k

1

k

..............................................................................................

,

δ ′

Z + ... + δ′

Z

k

+ δ

n,k +1

X

k +1

+ ... + δ

n,n

X

n

+

n,n

= 0.

n ,1 1

nk

Здесь: n – общее число неизвестных уравнений смешанного метода; k –

число дополнительных связей; (n – k) – число удаленных связей.

В канонических уравнениях (7.2) коэффициенты при незвестных δ, r, r´ и

свободные члены RiF,	iF определяются точно так же, как в методе сил и в
методе перемещений.
Коэффициент δ′k +1,i –	возможное перемещение точки приложения (k+1) –

ой неизвестной силы по ее направлению, вызванное принудительным смеще-

нием i – ой дополнительной связи; ri′,k +1 – возможная реакция в i – ой дополни-

тельной связи от единичной силы, приложенной по направлению (k+1) – ой удаленной связи.

Возможное перемещение δ′k +1,i можно определить, исходя из геометриче-

ских соотношений (см. δ′21 на рис. 7.1, г), но проще использовать теорему о взаимности возможных реакций и перемещений (см. подразд. 4.4), согласно

′	′
которой δk +1,i = –	ri,k +1 .

На основании принципа независимости действия сил изгибающие момен-

ты в расчетных сечениях рамы после определения неизвестных из решения

системы канонических уравнений определяются по формуле:

k	n
MF = ∑Mi0Zi	+ ∑ Mi0 Xi + MF0 .	(7.3)
i=1	i=k +1

Проверки правильности расчета, построение эпюр поперечных и продоль-

ных сил производятся точно так же, как и при расчете методом сил или мето-

дом перемещений.

311

Пример 7.1. Требуется построить эпюру MF в раме, изображенной на рис.

7.2. а.

Решение. 1. Нижняя часть рамы имеет один жёсткий узел и полные опор-

ные защемления, и степень ее кинематической неопределимости рамы nк = 1,

а степень статической неопределимости nс = 3. Верхняя часть рамы имеет,

соответственно, nк = 1, nс = 1. Следовательно, основную систему смешанного метода получим, введя одну дополнительную угловую связь в нижней части рамы и удалив одну угловую связь – в верхней (рис. 7.2, б).

2. Система канонических уравнений на основании (7.1) при n = 2 будет иметь вид

	′	+ R1F		= 0,
r11Z1 + r12 X 2
′	+ δ22 X 2		+ 2 F = 0.
δ21Z1

3. Зададим введенной дополнительной угловой связи принудительный единичный угол поворота (состояние 1), покажем деформированную схему основной системы от этого смещения (рис. 7.2, в) и, используя приложение

1, построим в основной системе эпюру M10 .

4. По направлению удаленной связи приложим единичный момент (со-

стояние 2), определим реакции в связях верхней части рамы (рис. 7.2, г) и по-

строим эпюру M 20 . Поскольку верхняя часть рамы опирается на ригель ниж-

ней части, для него эпюра изгибающих моментов строится с использованием

приложения 1.

5. Приложив к стержням основной системы заданную нагрузку (состояние

F) с использованием приложения 2 построим эпюруM F0 (рис. 7.2, д).

6. Определим реакции в дополнительной связи (коэффициенты при неиз-

вестных и свободный член первого канонического уравнения), для чего вы-

режем узел вместе со связью (рис. 7.3, а), и, последовательно прикладывая к

нему изгибающие моменты с эпюр M10 , M 20				и M F0 , соответствующих трём рас-
чётным состояниям. Из условий равновесия получим:
r	11	= 2EI (кН·м/рад);	r′ = – 1/6 ( м);	R	= –8 ( кН·м).
			12	1F

312

7. Для определения коэффициентов при неизвестных и свободного члена второго канонического уравнения воспользуемся теоремой о взаимности возможных реакций и перемещений (4.24) и формулой Максвелла – Мора:

′

′

= 1/ 6 (м);

δ21

= −r12

δ22 = ∑

l

(M 20 )2

1

2

1

2

4

2

6

2

∫

dx =

[

×

2 ×

(

)

× 4

+

× 2 ×1

+

×

2 ×1 ] =

6 × 2

6

×1,5

4

0

EI

EI

6

6

=

72

(рад/кН×м);

27EI

D2 F

= ∑

M 20 M F0

dx =

1

[

6

× 4 ×36 ×0,5 -

2

2 × 24 ×

1

× 4] =

128

(рад).

6 ×1,5

× 2

3

EI

EI

6

6

3EI

8. Система канонических уравнений в численном виде будет иметь вид:

2EI × Z -					1		X		-8 = 0,
								2
			1	6
	1	Z +		72			X			+	128	= 0,
			27EI
6 1									2		3EI
а ее решение											Z1 = 2,653/EI (рад), X2 = – 16,166 ( кН·м).

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной схеме на [см. (7.3)]

M F = M10 Z1 + M 20 X 2 + M F0 .

Результат данной формулы – эпюра MF приведен на рис. 7.3, б.

7. 2. Матричная форма смешанного метода

Представим систему канонических уравнений смешанного метода (7.2) в

матричном виде:

r11.........		r1k	r1,¢k +1............		r1¢n
................................................
	r .........	r	r¢ ............		r¢
	k1	kk		k ,k +1		kn
	δk¢+1,1.....δk¢+1,k		δk +1,k +1........		δk +1,n
...............................................
	δ ¢	δ ¢	δ		δ
				n,k +1..........		nn
	n1	nk

и перепишем в блочной форме:

	Z						R
			1					1F
	.						.
	Z						R
			k					kF
	X				+		+ D
									k +1,F
				k 1
	.						.
		X		n			D		nF

= 0,

313

	r	r′ Z	R				= 0,	(7.4)
			+		F
	δ′	δ X		F
	Z		= 0.
или в краткой форме	Dc	+ D0c
	X

Элементы блоков r и δ матрицы коэффициентов при неизвестных сме-

шанного метода Dc определяются точно так же, как в методах сил и переме-

щений, т.е. с использованием дополнительных состояний, соответствующих

основной системе метода. Обозначим усилия в этих состояниях: для сечений в кинематически определимой части основной системы через d; для статиче-

ски определимой части – через b, а полную матрицу усилий в блочной форме

– b1 =[ d b].

Тогда на основании правил вычисления интегралов в матричной форме

[cм. (4.56)] с учетом (6.6) и (5.26)] можно записать:

r = dтfd и δ = bтfb .

(7.5)

Указанный подход дает возможность определить только матрицы r и δ

матрицы Dc, блоки r' и δ' получаются нулевыми. Объясняется это тем, что в основной системе смешанного метода влияние единичных сил, приложенных

по направлению удаленных связей, распространяется, как правило, лишь на

ту часть расчетной схемы, для которой составляются уравнения метода сил, а

влияние единичных смещений дополнительных связей, соответственно, – в

той части, для которой составляются уравнения метода перемещений.

Чтобы получить матрицы r' и δ' необходимо рассмотреть еще два до-

полнительных возможных состояния: для r'– кинематически определимую основную систему, полученную путем введения дополнительных связей по

направлению всех возможных смещений узлов расчетной схемы; для δ' –

статически определимую основную систему. Эти состояния используются

b

=

для составления дополнительной матрицы усилий

c

d

b

,

где d – уси-

лия в сечениях кинематически определимой основной системы;

– усилия в

b

сечениях статически определимой основной системы.

314

На основании (6.35) усилия от единичных смещений связей в сечениях кинематически определимой основной системы d = ka , откуда a = k −1d = fd .

Используя принцип возможных перемещений (4.65) можно записать, что

r′ =		тb =		тfb ,	(7.6)
			d
	a

а элементы блока δ' определим на основании принципа возможного измене-

ния напряженного состояния (4.66):

δ′ =		тd =		тfd .	(7.7)
	b		b

При использовании теорем о взаимности возможных реакций и взаим-

ности возможных перемещений вспомогательные состояния могут быть вы-

браны в кинематически определимых и статически определимых основных системах. Поэтому выражения (7.5) можно переписать в виде:

r = dтfd и δ = bтfb .

(7.8)

Таким образом, на основании (7.6 – 7.8) матрица коэффициентов при неизвестных смешанного метода принимает вид:

т

т

т

fd

fb

d

Dc

=

d

d

=

f [d b] = bcтfb1.

(7.9)

bтfd

bтfb

bт

Свободные члены системы канонических уравнений смешанного мето-

да определяют на основании теоремы о взаимности возможных реакций и перемещений (6.8):

D0c = b1тfS		0у ,	(7.10)

где S0у – матрица усилий в сечениях статически определимой основной сис-

темы от заданной нагрузки, приведенной к узловой. При составлении этой матрицы в силу того, что RiF = – δFi, знаки усилий в сечениях стержней, со-

ставляющих ту часть расчетной схемы, для которой используются идеи ме-

тода перемещений, нужно изменить на обратные.

Полный алгоритм запишем на основании принципа независимости дей-

ствия сил:

315

Z
	= S0	- b1[bcтfb1 ]−1[b1тfS0у ].
S = S0 + b1					(7.11)
X

В выражении (7.11) матрица усилий от заданной нагрузки в основной системе смешанного метода представляется как сумма матриц: S0 = S0к + S0у ,

где S0к – матрица усилий в кинематически определимой основной системе,

получаемая при приведении нагрузки к узловой; S0у – матрица усилий в ос-

новной системе смешанного метода от действия узловой нагрузки.

В случае необходимости произвести расчет при многовариантном загру-

жении в соответствии с (2.23) матрица усилий в основной системе S0 = b0P, и

алгоритм (7.11) примет вид:

S = {b	0	- b [bтfb ]−1[bтfb		0	]}P.	(7.12)
		1 c 1	1 у

Пример 7.2. Требуется рассчитать смешанным методом в матричной форме раму, изображенную на рис. 7.4. а.

Решение. 1. Покажем основные системы, требуемые для решения зада-

чи: основную систему смешанного метода (рис. 7.4, б), кинматически опре-

делимую при nк=4 (рис. 7.4, в) статически определимую при nс=4 (рис. 7.4, г). 2. Загрузим кинематически определимую основную систему заданной нагрузкой (рис. 7.5, а), по таблицам приложения 2 построим эпюру M F0к (рис. 7.5, б) и на ее основании заменим в расчетной схеме действующую нагрузку

узловой и проставим положения расчетных сечений (рис. 7.5, в).

3.Составим матрицы податливости для отдельных участков:

–для участков 1 и 2 на основании (4.49)

	δ =	3				[1] =		1			[3]; δ				=	6	[1] =			1		[2];
														2
	1	3EI						3EI								3×3EI				3EI
– для участков 3 – 4 ,					5 – 6			и		7 – 8			на основании (4.47)															.
δ34 = δ56 =	3						=			1					;	δ78 =	4						=	1		4 -2
				2 -1									2 -1								2 -1
			-1			2						-1 2							-1			2			-2		4
	6 ×1,5EI								3EI									6EI						3EI

4. Квазидиагональная матрица податливости

316

								3	0	0	0	0	0	0	0
δ 0 0 0 0								0 2 0 0 0 0 0							0
1	δ1							0 0 2 -1 0 0 0							0
0		0		0	0
f = 0 0 δ				0	0	=	1	0 0 -1 2 0 0						0	0	.
			34
							3EI 0 0 0 0 2						-1	0	0
0	0	0		δ56	0						0	-1 2		0
								0 0 0							0
0 0 0 0 δ78								0 0 0			0	0	0 4		-2
											0	0	0 -2
								0 0 0							4

5. Рассмотрим вспомогательные состояния основных систем:

– состояние 1 – основное, в основной системе смешанного метода (рис.

7.6, а) и дополнительное – в кинематически определимой основной системе

(рис. 7.6, б); для обоих вариантов состояния по таблицам приложения 1 по-

строим эпюры M10 и M10 ;

– состояние 2 – основное, в основной системе смешанного метода (рис. 7.6, в) и дополнительное – в статически определимой основной системе (рис.

7.6, г); для обоих вариантов состояния построим эпюры M 20 и M 20 .

6. Рассмотрим грузовые состояния F основных систем: основное, в ос-

новной системе смешанного метода (рис. 7.6, д) и дополнительное – в стати-

чески определимой основной системе (рис. 7.6, е); для обоих вариантов со-

стояния построим эпюры M F0 и M F0 .

7. Составим исходные матрицы усилий для расчета, согласно принято-

му ранее правилу знаков: матрицу b1 – по эпюрам M10 и M 20 ; матрицу bc –

по эпюрам M10 и M 20 ; матрицу Sу0 – по эпюре M F0 ; матрицу S0 = S0к + S0у , в

которой S0к составляется по эпюре M F0к (см. рис. 7.5, б), а S0у – по эпюре M F0 .

При этом элементы матрицы Sу0 (строки, соответствующие сечениям 3 – 8)

необходимо взять с обратными знаками.

Перечисленные матрицы имеют вид:

317

				0		−1						0			−1
				0		1						0			1
				0, 25EI		0,25						0			0,5
	b =			0,5EI		0,25	; b		c	=		0			0		;
1			−0, 25EI			− 0, 25						EI			− 0,5
					EI	− 0, 25						2EI			0
					EI	0						EI			0
				0,5EI		0									0
										0, 5EI
			−45						45			−45					0
				0						0			0				0
				90						0			−45			−45
		0 =		0	; S0	= S0 + S0 =				0		+ −45			=	−45		.
	S
		y		−90		к		у		0		45			45
				0						0		45			45
				−40					−40				0			−40
				0						40		0					40

8. Введя полученные матрицы в выражение (7.11) и выполнив необходи-

мые матричные операции, получим матрицу усилий S, с помощью которой

построим эпюру M F в заданной расчетной схеме (рис. 7.7).

M1					33,333
	M 2			−33,333
	M3			−55
M 4				−56, 667
S =				=	55	.
M
		5
M 6					46,667
M				−46, 667
		7			36,667
		8
M

Элементами матрицы S являются изгибающие моменты в расчетных сече-

ниях. На участках действия внеузловой нагрузки (участки 1 и 7 – 8) для по-

лучения действительного очертания эпюры необходимо «подвесить» балоч-

ные эпюры моментов (см. рис. 7.7).

318

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте идею смешанного метода.

2.Сформулируйте механический смысл канонических уравнений смешан-

ного метода.

3.Где и как при использовании смешанного метода используется теорема о взаимности возможных реакций и перемещений?

4.Запишите алгоритм расчета смешанным методом в матричной форме. 5.С учетом каких принципов строительной механики составляются исход-

ные матрицы смешанного метода?

6.Какие дополнительные состояния необходимо рассмотреть, чтобы полу-

чить исходные матрицы усилий смешанного метода?

319

Глава 8

ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

8.1.Общие положения и идея метода

Впоследние десятилетия для расчета строительных конструкций1 с по-

мощью ЭВМ широкое распространение получил метод конечных элементов

(МКЭ). Название этого метода в какой-то мере предопределяет его сущ-

ность, так как при этом исследуемую конструкцию разбивают на большое число отдельных частей конечных размеров (конечных элементов), соеди-

ненных между собой в узлах и имеющих те же физико-механические харак-

теристики, что и вся конструкция. Узловое сопряжение элементов осуществ-

ляется путем удовлетворения условий равновесия и неразрывности переме-

щений. В общем алгоритме расчета каждый конечный элемент описывается конечным числом обобщенных координат (числом степеней свободы).

Такой подход позволяет применить методы строительной механики стержневых систем практически к любому виду конструкций, как к стержне-

вым, так и к континуальным (пластинам, оболочкам, массивам), или к их комбинациям.

При реализации МКЭ в зависимости от того, какие группы разрешающих уравнений – статические, кинематические или физические, составляются для решения поставленной задачи, используют методы сил, перемещений или смешанный.

В настоящее время варрант МКЭ, основанный на идее метода перемеще-

ний наиболее распространен, так как он наиболее приспособлен к использо-

ванию ЭВМ: получить кинематически определимую основную систему для большинства конструкций значительно проще, нежели статически определи-

мую; формирование сетки МКЭ производится за счет геометрически простых и подобных объектов; матрицы системы алгебраических уравнений являются симметричными, ленточными и хорошо обусловленными.

320