Текст

		Zi				1 0			0
				x			0	1	0
Z		=	Zi			=
	g	Z								2
				j		1		l	l
		Z x				0		1 2l
				j

0
0
	f		= A f.	(8.40)
l3		s	1
3l 2

При расчете стержневых систем методом перемещений за положительные направления перемещений, как и ранее, приняты направления, показанные на рис. 8.3, т.е. когда и поперечные силы, и изгибающие моменты вращают стержень по часовой стрелке. Для установления такого правила знаков в вы-

бранной системе координат первое возможное перемещение следует в мат-

рице Zg следует принять отрицательным, т.е.

											−1 0			0	0
									=			0	1	0	0 .
								Z
									g			0	0	1 0
												0	0
														0 1
										− 1					0	0	0
												0			1	0	0
		= A−1					= A−1 =											.
Тогда	f			Z															(8.41)
	s		1			g						3 / l2		− 2 / l		3/l2	−1/ l
														1/ l2 − 2 / l3			1/ l
										−2 / l3								2

Матрица реакций упругого основания согласно (8.34) имеет вид:

R0 g	r(x)		k0	0
	=		= b	c0
	t(x)		0

− c0			w		1	x
0	dw / dx				= k 0 1
		2	w / dx	2		0
	d				0

x2	x3
	3x2		= kL0fs . (8.42)
2x		fs
2	6x

Подставив матрицы A-1, B, C, L, L0 и k в выражения (8.19) и (8.20) и про-

интегрировав в пределах от 0 до l, получим искомые матрицы жесткости для рассматриваемого элемента, при чем матрицу rg0 удобно представить как сумму двух матриц rg0 = rg01 + rg02 , зависящих каждая от своего коэффициента постели:

331

			6 / l 2		− 3 / l	6 / l	2	− 3 / l
			−3 / l		2 − 3 / l			1		;
rэ = 2EI											(8.43)
g	l		6 / l	2	− 3 / l	6 / l	2	− 3 / l
			−3 / l		1 − 3 / l			2

156 − 22l

− 54

13l

k0bl

−22l

4l

2

13l

− 3l

2

r0

=

;

(8.44)

−54

13l

156

− 22l

g1

420

− 3l 2

− 22l

4l

13l

2

588

− 84l

588

− 84l

c0b

−84l

112l

2

− 84l

− 28l

2

r0

=

.

(8.45)

588

− 84l

588

− 84l

g 2

420l

−84l

− 28l2

− 84l

112l2

КЭ с тремя степенями свободы (см. рис. 8.3, б). Для выражения проги-

бов КЭ принимается полином третьего порядка с тремя независимыми пара-

метрами fs, дающий точное решение дифференциального уравнения изогну-

той оси стержня при отсутствии упругого основания

	f1
w(x) = 1 x	x3 f	2		= F(x)f	.	(8.46)
				s
	f3

На основании (8.1) матрицы - столбцы усилий и перемещений имеют вид:

Q

Z

i

Zg =

i

Sg = Qj

;

Z j

.

(8.47)

M j

Z

x

j

По аналогии с предыдущим

− 1

1 0

0

−1 0 0

0

0

A =

1 l

l3

;

=

0 1

0

;

A−1

=

3 / 2l

3 / 2l

− 0,5

;

Z

g

1

2

0 0 1

3

−1/ 2l

3

1/ 2l

2

0 1 3l

−1/ 2l

1

1

x

x3

B = [0 0 6x];

x

x3

L0

=

3x2

L =

3x2

;

0 1

.

0

1

0

6x

0

332

Подставив матрицы A-1, B, C, L, L0 и k в выражения (8.19) и (8.20) и про-

интегрировав в пределах от 0 до l, получим искомые матрицы жесткости для рассматриваемого элемента. Матрицу rg0 удобно представить как сумму двух

матриц rg0 = rg01 + rg02 , зависящих каждая от своего коэффициента постели:

1/ l2

1/ l2

−1/ l

rgэ =

3EI

1/ l2

1/ l2

−1/ l

;

(8.48)

l

−1/ l

−1/ l

2

198

−117

33l

7

7

− 2l

r0 =

k0bl

−117

408 − 72l

;

r0 =

c0b

7

7

− 2l

.

(8.49)

(8.50)

g1

g 2

840

5l

33l

− 72l

16l

2

− 2l

2l

2

−2l

8.3.3. Выбор рационального размера конечного элемента

Для определения размеров конечных элементов, при которых приближен-

ное решение МКЭ наиболее близко к точному значения матриц жесткости с точным решением, например, для упругого винклеровского основания с од-

ним постоянным коэффициентом постели.

Так как элементами матриц жесткости являются реакции по концам эле-

мента от единичных смещений и углов поворота этих концов, то дифферен-

циальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании имеет вид:

	dw4	+ 4α4 w = 0,	(8.51)
	dx4

где α4 = k0b − линейная характеристика балки на упругом основании, EI –

4EI

жесткость балки.

Точное решение дифференциального уравнения (8.51) имеет вид:

w = a1 sin αx ×sh αx + a2 sin αx ×ch αx + a3 cos αx ×sh αx + a4 cos αx ×ch αx. (8.52)

Используя известные дифференциальные зависимости меду усилиями и деформациями при изгибе и учитывая граничные условия рассматриваемого конечного элемента, на основании решения (8.52) можно получить значения реакций по его концам от каждого возможного перемещения. Из сопоставле-

333

ния точного решения и значений элементов матриц жесткости, полученных с помощью выше приведенных полиномов, рекомендуется назначать длину отдельных элементов из условия:

0, 7 ≤ αl ≤ 1, 5.

(8.53)

8.3.4. Учет односторонней связи с основанием

Согласно принятым знакам узловых перемещений (см. рис. 8.3) при де-

формации оси конечного элемента с четырьмя степенями свободы упругое

основание включается в работу (рис. 8.4) только при Zi < 0; Zix > 0; Z j > 0;

Z jx < 0,	а для элемента с тремя степенями свободы (рис. 8.5) – при											Zi < 0;
Z j > 0;	Z jx < 0 .
Тогда, матрицы единичных функций согласно (8.21) будут иметь вид:
		h	j	0	0 0			hj	0	0
	h = 0 hi				0 0		; h =	0	h 0		.	(8.54)
	g	0		0	h 0		g			i
					i			0	0	h
		0		0	0 hj						j

Далее учет односторонней связи конструкции с основанием производится на основании подразд. 8.2.2. При этом последовательность расчета, записан-

ная в виде единого алгоритма будет иметь вид:

–без учета односторонней связи

	m
Sg	= S0g − rg ag [∑aтg rg ag ]−1 R;		(8.55)
	1
– с учетом односторонней связи
Sg = S0g − (rgэ	m	m1
	+ rg0hg )ag [∑aтg rgэag	+ ∑aтg rg0hg ag ]−1 R.	(8.56)
	1	1

334

Пример 8.1. Требуется рассчитать раму, рассмотренную в примерах 6.4 (см. рис. 6.12, а) и 6.11 методом конечных элементов.

Решение. 1. Составим исходные матрицы для расчета.

– Матрицы жесткости согласно нумерации конечных элементов в основ-

ной системе (рис. 8.6, а) и на основании (8.43) и (8.48) имеют вид:

0, 24

− 0, 6

0, 24

− 0, 6

1/ 36

1/ 36

−1/ 6

r =

EI

−0, 6

2

− 0, 6

1

;

r =

EI

1/ 36

1/36

−1/ 6

;

1

2

0, 24

− 0, 6

0, 24

− 0, 6

2

2

−1/ 6

−1/ 6

1

1

− 0, 6

2

−0, 6

1/ 9

1/ 9

−1/ 3

r =

EI

1/ 9

1/9

−1/ 3

.

3

2

−1/ 3

−1/ 3

1

– В матрицах преобразования деформаций в отличие от матричной формы расчета элементами являются задаваемые во вспомогательных состояниях

(рис. 8.6, б и в) угловые и линейные смещения узлов. На основании порядка записи узловых перемещений (8.36) и (8.37) они имеют вид:

	0	0			0	0				0	1
a = 0		0		; a = 0 − 0, 75				;	a = 0		0 .
1	0	1, 25		2					3
					1	0				0	0
		0
	1

– Матрицы усилий в основной системе согласно порядка записи (см. 8.36

и 8.37) составляем на основании эпюр				M 0	и Q0	(рис. 8.6, г и д):
				F	F
	0			−18		0
S0 = 0		; S0 =		30	; S0 = 0 .
1	0	2			3
				−36		0
	0

– Матрица свободных членов согласно примеру 6.11:

	−36
R =	.
	−62,5

2. Произведем матричные операции.

335

– Вычисляем матрицу коэффициентов при неизвестных на основании

(8.24) и из решения системы уравнений (8.27) определяем неизвестные:

K = a1тr1a1 + a2тr2a2 + a3тr3a3	=	EI		3	- 0, 625	; K −1	=	2 0, 45		0, 561	;
				-0, 625
		2
					0,502			EI 0,561		2, 692

Z				51, 252	рад
Z =	1		= -K −1R =		м	.
Z2			188, 411

– Определяем усилия в каждом КЭ на основании (8.29):

							25, 772								-30, 467
S = S0 + r a Z =					-90, 056				;	S = S0			+ r a Z =			17,533		;
1	1	1	1				25, 772			2		2	2	2
																38,804
				-38,804
												20,935
				S		3	= S0	+ r a		Z =		20,935 .
							3	3 3
												-62,804

5. На основании полученных матриц усилий строим эпюры M F и QF для заданной расчетной схемы (рис. 8.7, а и б).

Пример 8.2. Требуется рассчитать балку, свободно лежащую на упругом основании (рис. 8.8, а) с коэффициентом постели k0 = 32000 кН/м3; ширина подошвы балки b = 1,25 м; жесткость EI = 2,56·106 кН·м2.

Решение. 1. Определим рациональный размер конечных элементов.

Линейная характеристика балки α = 4		k0b		= 4		32000 ×1, 25		= 0, 25 м	-1	.
		4EI				4 × 2,56 ×106

Принимаем размер конечных элементов l = 4,0 м. Тогда согласно (8.53)

величина αl = 0,25·4 = 1 находится в допустимых пределах. Разбив балку по длине на 5 элементов, и поставив в узлы дополнительные связи, получаем основную систему метода перемещений (рис. 8.8, б).

2. Составим исходные матрицы.

– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства балки, согласно нумерации конечных элементов в основной системе (рис. 8.8, а) и на основа-

нии (8.43) и (8.48) имеют вид:

336

			12	12	− 48							48	− 96	48	− 96
rэ = rэ = 104			12	12	− 48		;	rэ = rэ = rэ = 104 −96					256	− 96	128	.
1	5			− 48				2	3	4		48	− 96	48	− 96
		−48			192						−96		128 − 96		256

– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства основания по вы-

ражениям (8.44) и (8.49) имеют вид:

			3, 771 − 2,		229	2,514
r0	= r0	= 104 −2, 229		7,	771	− 5, 486		;
1	5			− 5, 486
			2,514			4,876

				5,943	− 3,352	− 2, 057	1,981
r0	= r0	= r0	−3,352		2,438	1,981	−1,829
			= 104					.
2	3	4	−2, 057		1,981	5,973	− 3,352
				1,981	−1,829	− 3,352	2,438

– Матрицы преобразования деформаций строим от последовательного смещения по направлению указанных в основной системе неизвестных. За положительные направления примем: для линейных смещений – в сторону упругого основания; для угловых – по часовой стрелке. На основании по-

рядка записи узловых перемещений (8.36) и (8.37) матрицы имеют вид имеют вид:

		−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0				0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0
a =			0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ; a		2	= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ;
1						0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
			0 0 1 0 0 0 0 0 0 0			0	0 0 0 1 0 0 0 0 0
		0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0				0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
a	3	= 0 0 0		0 1 0 0 0 0 0 ; a	4	= 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ;
		0 0 0		0 0 1 0 0 0 0		0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
		0 0 0		0 0 0 1 0 0 0		0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

		0 0 0 0 0 0 0	0 0 1
a	5	= 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0		.
		0 0 0 0 0 0 0	0 1 0

–Матрицы усилий в основной системе согласно порядка записи (см. 8.36

и8.37) составляем на основании эпюр M F0 и QF0 (рис. 8.8, в и г):

337

		0			91,875					40
S0	= S0	= 0	; S0	= −64,583 ;			S0	= S0	=	−26.667
1	5		2	−48,125			3	4		−40
		0
										26, 667
					37, 083

– Элементы матрицы свободных членов определим из равновесия узлов ос-

новной системы:

		0
		−91,875
		−64,583
		−88,125
		10, 416
	R =	−230	.
		0
		−40
		26, 667
		0

3. Подставив составленные матрицы в алгоритм (8.55) и реализуя его на ЭВМ, получим матрицу неизвестных метода перемещений и матрицы усилий для каждого элемента:

−0,911 м

4, 793 м

31, 697

3,313

0

1,345 рад

S =

31, 697

;

S

2

=

32,9

; S

3

=

21,518 ;

8, 677 м

1

3,313

79, 042

−32,9

−4

0, 709 рад

Z = 10

−21,518

−177, 271

;

−70,958

10,008 м

0

−0, 444 рад

S

4

= 177, 271

;

S

5

= −24, 755 .

4,919 м

−24, 755

−1, 689 рад

−13,574

13,574

−1,822 м

4. Определим усилия в сечении k второго КЭ в точке приложения силы F

=100 кН .

Для этого определим приближенную функцию прогибов по значениям

концевых перемещений элемента Z2, Z3, Z4 и Z5:

338

Z2

2

3

−1 Z3

−4

2

3

w = 1 x

x

x

A1

Z

4

= 10

(4, 793 +1,345x - 0,1215x

+ 0, 007x

).

Z5

Тогда реакция упругого основания будет определяться выражением r(x) = k0·b·w = 19,172 +5,38x– 0,486 x2 + 0,028x3.

Далее рассмотрим равновесие КЭ, приложив все найденные значения уз-

ловых сил и внешнюю нагрузку (рис. 8.9), откуда

M k = ∑ M kлев			1
			= 32,9 + 31, 697 ×1+ ∫ r(x)(1- x)dx = 75, 041 кН×м;
			0
Qkлев = ∑Qkлев			1
			= 31, 697 + ∫ r(x)dx = 53, 404 кН;
			0
Qправ = Qлев -100 = -46,596 кН;
k		k
w = w		= 6, 024 ×10−4 м = 0,602 мм.
k		x=1

5. На основании полученных данных построим эпюры осадок w и усилий

MF, QF (рис. 8.10, а –			в).
6. Произведем учет				односторонней связи						балки с упругим основанием.
Для этого по знакам элементов матрицы Z и согласно (8.54) составим матри-
цы единичных функций:
		0 0 0				1 0 0 0			1 0 0 0			1 0 0 0
h = h = 0 1 0				; h = 0 1 0 0				; h =	0 1 0 0		; h = 0 0 0 0 .
1	5				2	0 0 1 0		3	0 0 1 0		4	0 0 1 0
		0 0	0
						0 0 0 0			0 0 0 1			0 0 0 0

7.Подставив исходные и вновь составленные матрицы в алгоритм (8.56)

иреализуя его на ЭВМ, получим матрицу неизвестных метода перемещений

иматрицы усилий для каждого элемента при условии односторонней связи с основанием:

339

			-4, 454 м
			3,534 м								35,335						3,899
							0
			1,833 рад
						=	35,335 ; S2 =				50,89				=		39,144
					S1									; S3				;
			8, 782 м								3,899						84, 797
							-50,89
	−4		0,909 рад
Z = 10											-39,144						-206,925
				;				-65, 203
		10, 295 м												0
			-0,585 рад						206,925
							S4 =				; S5 =		-34,853 .
			3, 485 м						-34,853
		-2, 436 рад						-50,195						50,195
			-6,907 м

7. По аналогии с п.4:

Z2

2

3

−1 Z3

−4

2

3

w = 1

x x

x

A1 Z

= 10

(3,534

+1,833x - 0,15975x

+ 0, 007375x

).

4

Z5

r(x) = k0·b·w = 14,136 +7,332– 0,639 x2 + 0,0295x3.

M k = ∑ M kлев

1

= 50,89 + 35,335 ×1+ ∫ r(x)(1- x)dx = 94, 463 кН×м;

0

Qkлев = ∑Qkлев

1

= 35,535 + ∫ r(x)dx = 52,931 кН;

0

Qправ = Qлев

-100 = -47, 069 кН;

k

k

w = w

= 5, 215 ×10−4

м = 0,522 мм.

k

x=1

7. Эпюры осадок w и усилий MF, QF (см. рис. 8.10, а – в) при односторон-

ней связи с основанием показаны пунктирными линиями, а значения ординат даны в скобках.

Так как знаки перемещений при перерасчете не изменились, т нового пе-

рерасчета не требуется.

Как видно из сопоставления эпюр перемещений и усилий (см. рис. 8.10),

учет односторонней связи балки с основанием существенно влияет на ее на-

пряженно – деформированное состояние.

340