Текст

Сравнивая выражения (9.10) и (9.11) можно сделать вывод, что расчет по предельному состоянию приводит к значительному повышению гру-

зоподъемности конструкции.

Теперь рассмотрим случай чистого изгиба (рис. 9.3, а) для стержня с симметричным сечением относительно вертикальной оси y (рис. 9.3, б).

Нейтральная ось стержня z0 при упругой стадии работы материала про-

ходит через центр тяжести сечения, а эпюра нормальных напряжений

(рис. 9.3, в) имеет нулевое значение на уровне нейтральной оси. При увеличении внешнего момента в какой-то момент времени напряжения в крайнем волокне, наиболее удаленного от нейтральной оси ( в рассмат-

риваемом случае – сжатого) достигают предела текучести σy=Rn (рис. 9.3, г). При дальнейшем увеличении пластические деформации развива-

ются вглубь сжатой зоны и появляются в крайних волокнах растянутой зоны (рис. 9.3, д). При этом нейтральная ось сечения смещается вниз,

так как ее положение определяется условием равновесия равнодейст-

вующих нормальных напряжений в сжатой и растянутой зонах сечения.

Часть сечения высотой h0, все еще находящаяся в упругой стадии рабо-

ты, носит название упругого ядра. Когда же при дальнейшем увеличе-

нии внешнего момента до некоторого предельного значения M = Mu пла-

стические деформации распространятся по всему сечению, а нормаль-

ные напряжения повсеместно достигнут значений σy=Rn (рис. 9.3, д),

нейтральная ось займет положение, при котором сечение делится на две равновеликие по площади части Ac = Aр. При напряжениях во всех точ-

ках сечения, равных Rn, статически определимая балка (см. рис. 9.3, а)

становится геометрически изменяемой, если в таком состоянии окажется хотя бы одно ее сечение, так как в этом сечении образуется так называе-

мый пластический шарнир. Это состояние и является предельным для рассмотренной балки.

Предельный изгибающий момент определяется как равнодействую-

щий момент всех элементарных сил относительно оси z:

371

Mu = ∫ Rn y1dA + ∫ Rn y2dA = Rn (Sр + Sс ) = RnWpl ,			(9.12)
Aр	Aс
где Sp, Sc – статические моменты,		соответственно, растянутой и сжатой
зон сечения относительно оси	z;	Wpl – пластический момент сопротив-
ления сечения.

Выражение (9.12) определяет несущую способность сечения при чис-

том изгибе. Пластический момент сопротивления можно выразить через

упругий момент сопротивления сечения W:
Wpl = α W.	(9.13)

Коэффициет α зависит от формы поперечного сечения: например, для

круга α = 1.7; для прямоугольника – 1,5; для тонкостенного кольца –

1,27; для кольца с отношением d/D = 0,5 – 1,57; для двутавра – 1,15.

В общем случае изгиба, когда в рассматриваемом сечении действуют также поперечная и продольная силы предельный изгибающий момент

определяется выражением:
Mu = ηRnWpl,	(9.14)

где η – коэффициент, учитывающий влияние продольных и поперечных сил на несущую способность сечения при изгибе; он зависит от формы поперечного сечения и от соотношения между пределами текучести при сжатии и растяжении. Если продольная и поперечная силы в сечении пренебрежительно малы, пределы текучести на сжатие и растяжение одинаковы, то η =1.

9.3.Методы определения предельной нагрузки для статически неопределимых систем

Если расчетная схема является статически неопределимой, потеря не-

сущей способности одного или нескольких сечений не означает потерю несущей способности всей конструкции.

372

При последовательном появлении пластических шарниров степень статической неопределимости каждый раз уменьшается на единицу, по-

ка расчетная схема не станет статически определимой, а затем обратится в механизм. Если степень статической неопределимости расчетной схе-

мы равна nc, ее предельное равновесие будет иметь место, когда в пре-

дельном состоянии будут находиться nc +1 сечений. В то же время не исключена возможность разрушения при выходе из строя меньшего числа связей. Такое разрушение носит название частичного, в отличии от полного. На рис. 9. 4, а – г приведены примеры частичного и полного разрушения неразрезной балки.

Расчет конструкций методом предельного равновесия предполагает решение одной из двух задач: определение предельной нагрузки при из-

вестной несущей способности сечений элементов конструкции либо подбор сечений по предельной нагрузке, за которую принимается задан-

ная расчетная нагрузка.

При определении предельной нагрузки используют прямой, статиче-

ский и кинематический методы ее определения.

Прямой метод состоит в последовательном расчете ряда упругих систем, получаемых из заданной путем последовательного исключения тех связей, которые переходят в пластическое состояние. В начале за-

данная система рассчитывается на действующую нагрузку, по результа-

там чего определяются наиболее напряженные сечения. Далее произво-

дится расчет упругой системы, полученной из заданной введением пла-

стического шарнира с приложенным предельным усилием. Выявляется следующее наиболее напряженное сечение, и расчет повторяется для новой упругой системы, имеющей уже два пластических шарнира, и т.д.

до превращения заданной расчетной схемы в механизм.

Статический метод основан на статической теореме: нагрузка, со-

ответствующая статически возможному состоянию системы, мень-

ше, чем предельная нагрузка. Сложностью этого метода является необ-

373

ходимость выявления того равновесного распределения усилий в рас-

сматриваемой системе, которое соответствует состоянию ее предельного равновесия. Для любой статически неопределимой системы таких со-

стояний может быть много. Поэтому максимальная предельная нагрузка,

соответствующая одному из рассматриваемых состояний системы, дает,

как правило, лишь нижнюю оценку истинной предельной нагрузки В основу кинематического метода положена кинематическая теоре-

ма: нагрузка, соответствующая кинематически возможному состоя-

нию системы, больше, чем предельная нагрузка. При реализации этого метода выявляются возможные схемы разрушения системы в предполо-

жении, что в пластичное состояние переходит такое число связей,

сколько необходимо для превращения ее в механизм. Для каждой схемы разрушения из условий ее равновесия или на основе принципа возмож-

ных перемещений определяется предельная нагрузка. Минимальное из найденных значений предельных нагрузок будет нижней оценкой ис-

тинной предельной нагрузки.

9.4. Предельные состояния статически неопределимых систем

Однопролетные балки являются наиболее простыми расчетными схемами, где достаточно просто определить сечения, в которых могут появиться пластические шарниры. Покажем это на нескольких приме-

рах.

Пример 9.1. Требуется определить предельную нагрузку для балки,

загруженной сосредоточенной силой в середине пролета (рис. 9.5, а).

Решение. 1. Степень статической неопределимости балки nc = 1. Сле-

довательно, балка превратится в механизм при появлении двух пласти-

ческих шарниров. На основании эпюры MF (см. рис. 9.5, а), полученной при условии упругой работы материала, можно сделать вывод: пласти-

374

ческие шарниры появятся в опорной заделке A и в точке С приложения силы F.

2. Покажем схему разрушения балки и соответствующую ей эпюру

MF,u (рис. 9.5, б). В момент предельного равновесия конструкции MA =

MC = Mu и

MC = Mu = Fu l/4 – Mu/2 или 4Mu = Fu l – 2 Mu,

откуда Fu = 6 Mu / l = 6RnWpl /l .

Пример 9.2. Требуется определить предельную нагрузку для балки,

загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9.6, а).

Решение. 1. Степень статической неопределимости балки nc = 1. Сле-

довательно, балка превратится в механизм при появлении двух пласти-

ческих шарниров. На основании эпюры Mq (см. рис. 9.6, а), полученной при условии упругой работы материала, можно сделать вывод: пласти-

ческие шарниры появятся в опорной заделке A и в некоторой точке в пролете, расположенной на расстоянии х от опоры В.

2. Покажем схему разрушения балки и соответствующую ей эпюру

Mq,u (рис. 9.6, б).

3. Для определения предельной нагрузки используем статический ме-

тод. При данном загружении опорная реакция VB направлена вверх. По-

этому изгибающий момент в произвольном сечении с координатой x

будет:

M(x) = VB ·x – qx2/2.
Из условия экстремума	dM(x)/dx = 0 имеем, что x =VB /q и	Mmax =
(VB)2/2q.
При условии, что Mmax	не превышает предельного значения Mu име-
ем:
	q ≥ (VB)2/2 Mu.	(a)
Изгибающий момент в заделке А равен MА = – VB ·l + 0,5ql2 .

Из условия, что MА не может превышать предельного значения, т.е.

375

0,5ql2 – VB ·l ≤ Mu, получим

VB ≥ ql/2 – Mu/l.

Из совместного решения неравенств (а) и (б) получим:

q ³ (0, 5ql - Mu / l)2 .

2Mu

(б)

(в)

Согласно статической теореме предельная нагрузка больше всех на-

грузок, определяемых соотношением (в), из которого следует, что пре-

дельная нагрузка

qu ≥ 11,657 Mu/l2 . (г)

4. Теперь воспользуемся кинематическим методом. Для этого приме-

ним принцип возможных перемещений для механизма, показанного на рис. 9.6, б, на основании которого работа всех внешних сил на переме-

щениях, вызванных смещением пластического шарнира С:

T = -	2M u × D	-	M u		× D			+ 0, 5q(l		- x)D + 0, 5qxD = 0 ,	(д)
	l - x			x
откуда
	q =			2Mu		×		l + x	.		(е)
				l				(l - x)x

Согласно кинематической теореме, предельная нагрузка не может больше определенной выражением (е). Из условия экстремума dq/dx = 0

получим уравнение x2 + 2lx – l2 = 0, откуда получим значение координа-

ты x, определяющей положение пластического шарнира C, или, что то же самое, при которой нагрузка принимает минимальное значение:

x = (

2

−1)l = 0, 414l.

Тогда

q £

2

×

Mu

= 11, 657

M u

.

(ж)

l 2

(

2 -1)2

u

l 2

Два неравенства (г) и (ж) одновременно удовлетворяются , если qu = 11,657 Mu/l2 .

Следовательно это значение нагрузки и будет предельным.

376

Сравнивая результаты расчетов балки в упругой стадии (см. рис. 9.6,

а) и по предельному состоянию (см. рис. 9.6, б) видим, что положение пластического шарнира не совпадает с тем сечением, где возникает экс-

тремальный изгибающий момент при расчете в упругой стадии. Это происходит из-за перераспределения усилий в сечениях балки при воз-

никновении пластических деформаций.

Неразрезные балки (см. рис. 9.4) могут иметь частичные и полные формы разрушения. Возможной формой частичного разрушения являет-

ся превращение ее в механизм в пределах любого пролета при образова-

нии трех пластических шарниров, а в крайних пролетах при шарнирном опирании – двух пластических шарниров. Полное разрушение имеет ме-

сто, когда в механизмы превращаются все пролеты балки. С практиче-

ской точки зрения важно вывить несущую способность балки при раз-

рушении ее в пролете, находящемся в самых невыгодных условиях. Ал-

горитм расчета при этом точно такой же, как и в однопролетных балках.

При расчете балок постоянного по длине поперечного сечения обыч-

но выравнивают моменты в опасных сечениях в предельном состоянии.

Для этого определяют предельный изгибающий момент для поперечного сечения и строят эпюры несущих способностей. В данном случае это две линии, параллельные оси балки, расположенные сверху и снизу от нее на расстоянии Mu. В пределах этих двух линий вписывают эпюры изги-

бающих моментов от внешней нагрузки для каждого пролета, как для простых балок (рис. 9.7). Из соотношений предельных моментов и изги-

бающих моментов простых балок определяется предельная нагрузка для каждого пролета.

Если поперечное сечение неразрезной балки изменяется от пролета к пролету, отличия в расчете будут состоять в следующем: для каждого пролета определяется своя несущая способность; несущая способность опорных сечений принимается по наименьшему значению предельного изгибающего момента в примыкающих сечениях; ординаты балочных

377

эпюр изгибающих моментов в пределах каждого пролета «подвешива-

ются» от линии меньших предельных опорных моментов (рис. 9.8).

Рамы. Определение предельной нагрузки в данном случае является более сложной задачей из-за значительно большего числа кинематиче-

ски допустимых механизмов разрушения. Кроме того, в рамах не всегда удается установить точное расположение сечений, где могут появится пластические шарниры. В практических расчетах рам с учетом пласти-

ческих деформаций влиянием поперечных сил, как правило, пренебре-

гают, а влияние продольных сил учитывается лишь при расчетах по де-

формированной схеме. При таких допущениях расположение пластиче-

ских шарниров определяется по данным расчета в упругой стадии. По-

этому можно считать, опасные сечения будут располагаться в местах приложения внешних сосредоточенных сил и в узловых сечениях рас-

четной схемы.

При задании кинематически возможных механизмов разрушения сле-

дует помнить об одностороннем характере раскрытия пластических шарниров, поэтому исходя из этого они должны чередоваться: если ка-

кой-то шарнир в сечении раскрывается внутрь рамы, то следующий по обходу шарнир должен раскрываться наружу.

Пример 9.3. Требуется определить предельную нагрузку для двух-

шарнирной рамы постоянной жесткости (рис. 9.9, а).

Решение. 1. Степень статической неопределимости балки nc = 1. Сле-

довательно, рама превратится в механизм при появлении двух пластиче-

ских шарниров. На основании эпюры MF (см. рис. 9.9, б,), полученной при условии упругой работы материала, можно сделать вывод, что опас-

ными являются сечения 1, 2, 3. На рис. 9.9, в – д представлены меха-

низмы разрушения, в каждом из которых показано по два пластических шарнира. 1-я схема разрушения (см. рис. 9.9, в) кинематически невоз-

можна, так как характер раскрытия пластического шарнира в сечении 2

378

не соответствует направлению изгибающего момента в этом сечении по эпюре MF.

Для определения предельной нагрузки используем кинематический метод.

2. Рассмотрим 2-ю схему разрушения (см. рис. 9.9, г). Составим урав-

нение возможных работ:

F2u·0,5l·φ – 2 Mu·φ = 0, откуда F2u = 4Mu /l.

3. Рассмотрим 3-ю схему разрушения (см. рис. 9.9, д).Составим урав-

нение возможных работ:

F3u·0,5l·2φ – Mu·2φ – Mu·φ = 0, откуда F3u = 3Mu /l.

Предельной нагрузкой для рассматриваемой рамы является

Fu= min{ F2u; F3u} = 3Mu /l.

4. Проверим минимальное значение дельной нагрузки статическим методом. Для этого рассмотрим 3-ю схему в недеформированном со-

стоянии (рис. 9.9, е).

Составим уравнения равновесия:

∑M1низ = HA·0,5l – Mu = 0, откуда HA = 2 Mu / l;

∑M3низ = HB·l – Mu = 0, откуда HB = Mu / l;

∑ X = F3u – HA – HB= 0, откуда F3u = 3Mu /l.

Таким образом, кинематическое возможное состояние одновременно является и статически возможным. Из этого можно сделать вывод, что это состояние является действительным и предельная нагрузка Fu = 3Mu

/l.

Эпюра изгибающих моментов, соответствующая действительной схеме разрушения рамы, показана на рис. 9.9, ж.

379

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте кратко суть расчета по предельному состоянию.

2.Какие допущения вводятся в работу материала конструкции при использовании метода предельного равновесия?

3.Что понимают под пластическим шарниром при изгибе конструк-

ций?

4.Что понимают под предельной нагрузкой?

5. Какие способы определения предельной нагрузки вам известны?

380