Текст

2	2	кН.
F = m1eθ	= 0,146·0,0228·52,36 =10

4.Вес электродвигателя G = mg = 3,5·9,81 = 34,335 кН.

5.Податливость балки по направлению колебания массы и наи-

больший изгибающий момент в среднем сечении (рис. 10.7) соста-

вят:

l3

43

4

4

-5

1×l

δ =

=

=

=

= 9,14·10

м/кН; M

1

=

= 1

м.

11

48EI

48EI

3EI 3×14585

4

6.

Круговая частота свободных колебаний [см. (10.17)]

ω =

3EI

=

3×14585

= 55,9 с-1.

4 ×3,5

4m

7.

Соотношение частот

θ/ω = 52,36/55,9 = 0,9367;

(θ/ω)2 = 0,8773.

8.

Динамический коэффициент [см. (10.31)]

µ = 1/(1− 0,8773) = 8,15.

9.

Прогибы балки в середине пролёта составят:

∙

от веса двигателя

1G = δ11G = 9,14·10-5·34,335 = 312,45·10-5 м;

∙ статический от амплитуды возмущающей силы

1F = δ11F = 9,14·10-5·10 = 93,77·10-5 м;

∙динамический yдин = µ· 1F = 8,15·91,4·10-5 = 744,9·10-5 м;

∙полный

f = 1G + yдин = (312,45+744,9)10-5 = 1057,35·10-5 м = 10,57

мм.

10. Наибольший изгибающий момент в балке на основании принципа независимости действия сил

Mmax = MG + Mдин = MG + µMF=M1G + µM1F= M1(G + µF) =

=1(34,335 +8,15·10) = 115,835 кНм.

11.Наибольшее нормальное напряжение в среднем сечении балки

σmax = Mmax /Wz= 115,835/472·10-6 =

=0,2454·106 кН/м2 =245,4 МПа > γсRy = 245 МПа.

Перенапряжение составляет 0,4·100/245 = 0,16 % <[1%], что вполне

допустимо.

401

Пример 10.5. Двигатель весом G =28 кН установлен на консоли бал-

ки (рис.10.14, а). Число оборотов двигателя n = 300 об/мин. При враще-

нии двигатель создаёт возмущающую силу F(t) = 7sinθt кН. Требуется определить максимальный прогиб консоли и построить расчётную эпю-

ру изгибающих моментов, если балка изготовлена из двутавра № 50 (Iz = 39727 см4).

Решение. 1. Жёсткость балки при изгибе

EI = 2,06·108·39727·10-8 = 81837,6 кН·м2.

2.Круговая частота вынужденных колебаний

θ= nπ/30 = 300π/30 = 31,4 с-1.

3.Масса электродвигателя m = G/ g = 28/9,81 = 2.854 т.

4.Вспомогательное состояние для определения податливости балки по направлению колебания массы m и соответствующая ей эпюра из-

гибающих моментов M1 показаны на рис.10.14, б.

5. Податливость балки по направлению колебания массы

δ11 = ∑ ∫	M 2		1		2			6			2		2		296		296	=
	1	dx =		{		2 ×22	+		2 × 22	+		2 ×(		)2 } =		=
	EI		EI		6			6			6		3		27EI		27 ×81837, 6

=13,396·10-5 м/кН.

6.Круговая частота свободных колебаний [см. (10.17)]

	ω =		27EI		=		27 ×81837, 6		= 51,14 с-1.
							296 × 2.854
			296m
7.	Соотношение частот
	θ/ω = 31,4/51,14 = 0,614; (θ/ω)2 = 0,377.
8.	Динамический коэффициент [см. (10.31)]									µ = 1/(1− 0,377) =
1,605.
9.	Прогибы консоли:
∙	от веса двигателя 1G = δ11G = 13,396·10-5·28 = 375,09·10-5 м;

∙ статический от амплитуды возмущающей силы

1F = δ11F = 13,396·10-5·7 = 93,77·10-5 м;

402

∙динамический yдин = µ· 1F = 1,605·93,77·10-5 = 150,5·10-5 м;

∙полный

f = 1G + yдин = (375,09+150,5)10-5 = 525,59·10-5 м = 5,26 мм.

10. Расчётную эпюру изгибающих моментов строим на основании принципа независимости действия сил (рис. 10.14, в).

Mрасч = MG ± Mдин = MG ± µMF=M1G ± µM1F= M1(G ± µF) = M1(28 ± 11,235).

Поскольку динамическая эпюра изгибающих моментов M(t) = Mдин sinθt изменяется по тому же гармоническому закону, что и возмущаю-

щая сила, то на рис. 10,14, в показаны значения расчётной эпюры мо-

ментов для двух состояний M(t): при sinθt =1 (сплошная линия Mрасч = 39,235 M1) и при sinθt = −1 ( пунктирная линия Mрасч = 16,765 M1).

10.2.3. Действие ударной нагрузки

При ударе происходит передача кинетической энергии ударяющего груза упругой системе, сопровождающаяся деформацией последней и возникновением равных между собой сил взаимодействия груза и упру-

гой системы. Удар может быть продольным, когда ударяющий груз дей-

ствует вдоль оси элемента расчётной схемы, и поперечным, если удар происходит перпендикулярно оси элемента.

Рассмотрим явление удара при следующих допущениях:

1.при ударе в элементе расчётной схемы возникают только упругие деформации;

2.удар считается неупругим, т.е. ударяющее тело не отскакивает по-

сле удара, а продолжает перемещаться вместе с ударяемым телом как одно целое;

	Предположим, что груз весом G падает на невесомую балку с высоты
h.	Скорость падения груза, как известно из курса физики, равна
υ =			, откуда h = v2/2g.
		2gh

403

Действие ударяющего груза на балку выразим через эквивалентную силу Pэкв. Очевидно, что тогда динамическое перемещение места удара

будет yдин = δ11Pэкв, где δ11− податливость балки в направлении удара.

Выразив величину эквивалентной силы через динамическое переме-

щение, получим Pэкв = yдин / δ11.

Величина полной работы падающего груза

Ту = G(h + yдин).

Полученная работа переходит в потенциальную энергию деформации

ударяемой конструкции, величина которой

U = 0,5P

экв

y

дин

= 0,5 y2

/δ .

дин

11

Приравняв на основании (4.14) и (4.15) Ту = U, получим

G(h + y

) = 0,5 y2

/δ

или

y2

−2 δ

G y

дин

−2 δ Gh = 0,

дин

дин

11

дин

11

11

где δ11G = 1G –

статический прогиб места удара от статического дейст-

вия груза G.

Решив полученное квадратное уравнение относительно yдин, запишем:

yдин = 1G (1+ 1+	2h	) .	(10.32)
	1G

Выражение в скобках формулы (15.32) показывает, во сколько раз ре-

зультат ударного (динамического) действия груза больше его статиче-

ского действия, и, следовательно, является динамическим коэффици-

ентом при ударе, т.е.

µ = 1+ 1+	2h	.	(10.33)
	1G

Таким образом, Рэкв= µG, yдин = µΔ1G. Эти соотношения между ста-

тическим и динамическим действием падающего груза в силу допуще-

ния о справедливости закона Гука в пределах упругости сохраняются для любых усилий, напряжений и перемещений в сечениях расчётной схемы.

404

Определив силу удара Рэкв, можно производить обычный статический расчёт любой расчётной схемы, считая Рэкв обычной статической на-

грузкой.

Если в формуле (10.33) положить h = 0, т.е. нагрузку приложить сразу

(случай внезапного приложения нагрузки), величина динамического ко-

эффициента µ = 2. Это означает, что внезапно приложенная нагрузка вы-

зывает вдвое большие деформации и напряжения, чем при статическом действии той же нагрузки.

При наличии на сооружении в месте удара сосредоточенной массы m

при массе падающего груза m1, статический прогиб от веса обеих масс будет уже равным

пр = 1G	m + m1	.
	m1

Подставляя в (10.33) пр вместо 1G, получим

µ = 1+	1+	2h	×	m1
					.	(10.34)
		D		m + m
		1G	1

Равномерно распределённая масса m (т/м) конструкции приводится к сосредоточенной в месте удара. В таблице 10.2 приведены значения мас-

сы mпр, при приведении распределённой массы к месту удара С.

405

Таблица 10.2

Приведение равномерно распределённой массы к месту удара

№

Схема стержня

Значение приведённой

п.п.

массы m пр

1

С

0,493ml

0,5l

0,5l

2

С

0,460ml

0,5l

0,5l

3

С

0,375ml

0,5l

0,5l

4

С

0,230ml

l

Пример 10.6. Требуется определить силу удара груза G1 = 2 кН, па-

дающего с высоты h = 0,2 м на железобетонную балку (рис. 10.15) про-

лётом l = 6,0 м. Балка изготовлена на бетоне класса В30 (Eb= 32,5·103

МПа, Iz= 36·10-4 м4). Собственный вес балки G = 20 кН.

Решение. 1. Масса падающего груза m1 = G1/g = 2/9,81= 0,204 т. 2. Масса балки, приведённая к месту удара (см. п.1 табл. 10. 2)

mпр = 0,493G/g = 0.493·20/9.81 = 1.005 т.

3. Статический прогиб от действия падающего груза

D	=	Gl3	=	2 ×63	= 7,69·10-5 м.
				48×32,5×106 ×36 ×10−4
1G		48EI

4.Соотношения масс m1/(m1 +m) = 0,204/(0,204+1,005) = 0,1687.

5.Значение динамического коэффициента [см. (10.34)]

406

µ = 1+	1+	2 ×0, 2	×0,1687	= 30,64.
		7, 69 ×10−5

6.Эквивалентная сила удара Pэкв= µG1 = 30,64·2 =61,28 кН.

7.Пренебрегая собственной массой балки, получим динамический коэффициент[см. (10.33)] и силу удара, значительно большими, чем рас-

считанными в п. 5 и 6:

µ = 1+ 1+		2 ×0, 2		= 73,13; Pэкв= 73,13·2 =146,26 кН.
			−5
7, 69 ×10

Таким образом, сила удара груза, даже при падении с небольшой вы-

соты, оказывается значительно больше, чем вес самого груза, при чем,

как видно из формул (15.33) и (15.34) сила удара увеличивается с увели-

чением жёсткости сооружения.

Пример 10.7. При забивке деревянной сваи d = 0,2 м, длиной l = 6,5

м (рис.10.16) молот копра весом G = 1,6 кН падает с высоты. h = 0,6 м.

Требуется определить динамические напряжения в сечениях сваи, ус-

ловно принимая, что нижнее сечение не смещается. Модуль упругости для древесины вдоль волокон E = 0,1·105 МПа.

Решение. 1. Площадь поперечного сечения сваи

A = πr2 = π·112 = 380,133 см2.

2.Жёсткость сваи при сжатии EA = 0,1·108·380,133·10-4 = 380133 кН.

3.Продольное статическое укорочение сваи

	D	=	Gl		=	1, 6 ×6, 5		= 27,36·10-6 м.
	1G		EA		380133
4.	Динамический коэффициент [см. (10.33)]
					2 ×0, 6				= 210,43.
	µ = 1+ 1+
							27, 36 ×10−6
5.	Статическое напряжение в свае
	σG = G/A = 1,6/380,133·10-4 = 42,09 кН/м2.
6.	Динамическе напряжение

σдин = µσG = 210,43·42,09 = 8857 кН/м2 = 8,857 МПа.

407

10.3. Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы

10.3.1. Свободные колебания

Как отмечалось выше, реальные сооружения обладают распределён-

ной массой и поэтому имеют бесконечное число степеней свободы. При проведении инженерных расчётов распределённые массы, как правило,

приводятся к сосредоточенным. Число сосредоточенных масс и, следо-

вательно, число степеней свободы зависит от вида конструкции и от

требуемой степени точности расчёта.

Ниже будем рассматривать свободные и вынужденные колебания без

учёта диссипативных сил и на основе ранее принятых допущений

Рассмотрим невесомую балку с n сосредоточенными массами

(рис.10.17). При принятых допущениях данная система будет иметь n

степеней свободы. Если балку вывести из состояния равновесия, она бу-

дет совершать свободные колебания. В процессе свободных незатухаю-

щих колебаний на массы будут действовать только силы инерции J(t),

которые и определяют деформированный вид балки.

Применив принцип независимости действия сил, перемещение любой

массы mk можно представить как сумму перемещений

yk(t)=δk1J1(t) + δk2J2(t) + ... + δkkJk(t) + ... + δkjJj(t) + δknJn(t),

(10.35)

где δkj – коэффициент податливости, т.е. перемещение k-той массы от действия единичной силы, приложенной в точке, где расположена j-тая масса. Выражения (10.35) составляются для каждой массы расчётной

схемы при k = 1, 2, …… n.

Входящие в выражение (15.35) инерционные силы, как известно, оп-

ределяются выражениями
Jj (t)= −m jÿ j(t) при j = 1, 2, …… n.	(10.36)

Подставив (10.36) в (10.35) и перенеся все члены влево, получим

408

yk1(t)+ δk1 m1ÿ 1(t)+ δk2 m2ÿ 2(t) + ...+ δkk mkÿ k(t)+ ... + δkn mnÿ n(t) = 0 (10.37)

При k = 1, 2, …… n выражения (10.37) представляют собой систему однородных дифференциальных уравнений, описывающих колебания расчётной схемы с n степенями свободы. Для такой системы возможны n

частот свободных колебаний, которым будут соответствовать n возмож-

ных форм колебаний. Совокупность частот данной системы принято на-

зывать спектром частот. В пределах каждой из форм колебаний все точки будут колебаться с частотой ω.

В соответствии с изложенным перемещение любой k-той массы мож-

но представить в виде

yk(t)=ak sinωt,

(10.38)

где ak – амплитуда колебаний k-той массы.

Дважды продифференцируем по времени выражение (10.38):

ÿ k(t)= − ω2 ak sinωt.

Подставим выражения перемещений масс y(t) и их вторые производ-

ные в систему уравнений (10.37). Нетрудно заметить, что каждое сла-

гаемое в каждом из уравнений системы (15.37) содержит общий множи-

тель sinωt, на который можно сократить все члены этой системы. После

сокращения получим

a1δk1 m1ω2+ a2δk2 m2ω2+ ...+ ak(δkk mkω2− 1)+ ... + anδkn mnω2 = 0,

или, разделив все члены на ω2,
a1δk1 m1+ a2δk2 m2+ ...+ ak(δkk mk−	1	)+ ... + anδkn mn = 0. (10.39)
	2
	ω
Выражение (10.39) при k = 1, 2, ……	n является системой линейных

однородных уравнений относительно амплитуд ak колебаний масс. В

эту систему кроме n неизвестных амплитуд входит неизвестная величина 1/ ω2.

Как видно из (10.39), если массы системы колеблются с одной и той же общей для всех частотой ω, то форма колебаний, определяемая ам-

409

плитудами масс, не зависит от времени, т.е. для каждого момента отно-

шение перемещений масс к перемещению любой из них является вели-

чиной постоянной.

Такие колебания, при которых все точки системы с n степенями сво-

боды колеблются с одинаковой частотой, а форма колебаний при этом не зависит от времени, называются главными колебаниями, а их формы колебаний – главными формами.

Известно, что однородные системы уравнений (без свободных чле-

нов) имеют два решения. Одно из них является тривиальным, когда все амплитуды ak =0. Это решение не представляет интереса, так как пред-

ставляет случай отсутствия колебаний. Отличные от нуля значения ам-

плитуд возможны тогда, когда определитель, составленный из коэффи-

циентов при неизвестных системы уравнений (15.39) равен нулю, т.е.

(δ11m1 − 12 )

ω

D = δ21m1

...

δn1m1

δ12m2				...	δ1nmn
(δ m −		1	)	...	δ	m
22 2		ω2				2n n				= 0.	(10.40)
...				...		...
δ	m			...	(δ m −			1	)
								2
n2	2				nn	n
							ω

Если определитель раскрыть, получим алгебраическое уравнение n-

ой степени относительно параметра 1/ ω2. Уравнение в виде (15.40) или то же уравнение в развёрнутой форме называют уравнением частот.

Впервые оно было получено в астрономии, поэтому в литературе полу-

чило название векового уравнения.

Решив (10.40), найдём n значений частот свободных колебаний ω.

Для практических целей часто бывает достаточно определить низ-

шую (наименьшую) частоту свободных колебаний, представляющую наибольшую опасность в смысле возникновения резонанса при действии вибрационной нагрузки. Это объясняется следующим. Во-первых, резо-

нанс на низшей частоте приводит к наибольшему динамическому коэф-

410