Текст

Таблица 8.9

Матрица погонных усилий Ng прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4

	0,039	4	4	– 0,06	2	0	0	0	0	– 0,009	0	0,3
	– 0,06	– 2	0	0,069	– 4	0,6	– 0,009	0	0,3	0	0	0
	0	0	0	– 0,009	0	– 0,3	0,069	– 4	– 0,6	– 0,06	– 2	0
	– 0,009	0	– 0,3	0	0	0	– 0,06	2	0	0,069	4	– 0,6
D/a
	0,069	0,6	4	– 0,009	0,3	0	0	0	0	– 0,06	0	2
	– 0,009	– 0,3	0	0,069	– 0,6	4	– 0,06	0	2	0	0	0
	0	0	0	– 0,06	0	– 2	0,069	– 0,6	– 4	– 0,009	– 0,3	0
	– 0,06	0	– 2	0	0	0	– 0,009	0,3	0	0,069	0,6	– 4
	– 0,017	– 0,2125	– 0,2125	0,017	– 0,2125	0,2125	– 0 ,017	0,2125	0,2125	0,017	0,2125	– 0,2125

361

а матрицы усилий, вычисленные по формуле (8.30):

			0						−5349,36
			1473, 69						0
			−11716,86					−5613,54
			11661,58						5911, 64
S	A	=	27865,31		;	S	B	=	18316, 77	;
			19340, 22						16789,37
			16240, 72						15061, 44
			15173,90					18885, 0
			−1452, 60
								−419, 72
			3739, 05					−9373, 29
			5613, 40						1326, 07
			−1326, 07					−46634,80
			−8556,97
								−16439, 48
S	D	=	4400,99		;	S	Е	= −9373, 29			.
			9792, 58						−16439, 48
			−12399,16						46634,80
			−3931,13
								−932,12
			−1573,18
								−9107, 69

11041, 76

−13889, 46

−3114,81

1756, 72

S	C	=	11041, 76		;
			1756, 72

−3114,81−13889, 45

−3248, 28

На основании полученных матриц усилий определим значения по-

гонных моментов Mx и My в каждом узле дискретной схемы как среднее арифметическое между значения моментов, полученных для отдельных элементов:

Узел 1. Mx = 0; My = 27865,31 Н·см/см = 27,865 кН·м/м.

Узел 2. Mx = 0,5(1473,69 – 5349,35) = –1937,83 Н·см/см = –1,938 кН·м/м;

My = 0,5(19340,22 + 18316,77) = 18828,5 Н·см/см = 18,828

кН·м/м.

Узел 3. Mx = 0;

My = 16789,37 Н·см/см = 16,789 кН·м/м.

Узел 4. Mx = My = (11661,58 + 11041,76 +15173,9)/3 =12625,75 Н·см/см = =12,626 кН·м/м.

Узел 5. Mx = 0,25(–11716,86 + 5916,4–13889,45+3739,05) = –398 7,72

Н·см/см = –3,988 кН·м/м;

My = 0,25(16240,72 + 18885,0+1756,72+4400,99) = 10320,86

Н·см/см = =10,321 кН·м/м.

Узел 6.	Mx = 0,5(5613,4 – 5613,4) = 0;
	My = 0,5(15061,44 + 9792,58) = 12427,01 Н·см/см = 12,427
кН·м/м.
Узел 7.	Mx = My = 0,25(–3114,81 – 8556,97–9373,29–3931,13) = –624 4,05
Н·см/см = –6,244 кН·м/м.
Узел 8.	Mx = 0,5(1326,07 – 1326,07) = 0;
	My = 0,5(–12399,16 – 16439,48) = –1441,32 Н·см/см = –1,441
кН·м/м.

Узел 9. Mx = My = 0,5(46634,8 – 46634,8) =0.

Эпюра осадок w и эпюры изгибающих моментов Mx и My, построен-

ные по найденным значениям с использованием симметрии. Показаны для четверти плиты на рис. 8.17.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит идея МКЭ?

2.Почему применение метода перемещений при реализации МКЭ предпочтительнее, чем применение метода сил или смешанного метода?

3.Что такое дискретная расчетная схема?

4.Какие типы конечных элементов Вам известны?

5.Что понимают под термином «степень свободы конечного элемен-

та»?

6.Как получить матрицу жесткости конечного элемента?

7.Как учитываются граничные условия при реализации МКЭ?

8.В чем состоит приближенность решения МКЭ?

9.Как учесть контакт сооружения с упругой средой?

10.Как приближенно можно учесть одностороннюю связь соору-

жения с упругой средой?

363

Глава 9

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ СОСТОЯНИЮ

9.1.Основные положения

В1955 г. в нашей стране в качестве основного принят метод расчета строительных конструкций по расчетным предельным состояниям, су-

щественно отличающийся от применявшегося ранее расчета на проч-

ность по допускаемым напряжениям.

Основными недостатками расчета по допускаемым напряжениям яв-

лялись: введение общего нерасшифрованного коэффициента запаса;

применение оценки прочности по образцам материала; игнорирование изменчивости механических характеристик материала; представление о постоянстве расчетных нагрузок; отсутствие учета пластических свойств материала.

При расчете по предельным состояниям единый коэффициент запаса заменен системой из нескольких коэффициентов, раздельно учитываю-

щих условия возведения и эксплуатации конструкций, изменчивость на-

грузок, прочностных характеристик материалов и условия их работы. С 1973 г. метод расчета по предельным состояниям принят и в европей-

ских стандартах.

Предельным называется состояние конструкции или её элемента, при котором перестают удовлетворяться эксплуатационные требования или требования, предъявляемые к конструкции в период её возведения.

Строительные нормы и правила (СНиП) различают две группы пре-

дельных состояний:

первая группа – непригодность к эксплуатации по причинам потери

несущей способности;

364

вторая группа – непригодность к нормальной эксплуатации в соот-

ветствии с невыполнением требований технологического, эстетического

или бытового характера.

Правильно запроектированное сооружение должно гарантировать не-

наступление предельного состояния, т.е. быть надёжным.

Для предельных состояний первой группы это условие обеспечивает-

ся, если усилие, возникающее в элементе конструкции от внешних воз-

действий, не будет превышать предельного усилия, которое может вы-

держать элемент, т.е. при соблюдении неравенства
S ≤ Φ,	(9.1)

где S – усилие в элементе конструкции (функция нагрузок и воздей-

ствий); Φ – предельное усилие, которое может выдержать элемент без

разрушения (функция свойств материала и размеров элемента).

Предельные состояния первой группы, ведущие к полному прекра-

щению эксплуатации и разрушению конструкции, не должны быть на-

рушены ни разу за весь планируемый срок эксплуатации сооружения,

т.е. усилие N должно рассматриваться как максимальное за весь этот пе-

риод, а несущая способность Φ – как минимально возможная. Таким об-

разом, условие (9.1) выражает требуемое условие прочности,

Для второй группы предельных состояний, связанных, как правило, с

перемещениями и деформациями элементов конструкции предельное

неравенство можно записать в виде
f ≤ [ f ],	(9.2)

где f – перемещение (деформация) конструкции (функция нагрузок и воздействий); [ f ]- предельное перемещение (деформация), допускаемое по условиям эксплуатации (функция конструкции и её назначения).

Предельные состояния второй группы, ведущие к нарушению нор-

мальной эксплуатации, являются, как правило, более мягкими, и расчёт по этой группе производят от нагрузок, возникающих при нормальной эксплуатации, исключая экстремальные ситуации, приводящие к пре-

365

вышению этих нагрузок. Выражение (9.2) называется условием жёстко-

сти конструкции или её элемента.

Факторы, от точного учёта которых зависит уровень надёжности кон-

струкции или её элемента, следующие: нагрузки и воздействия, механи-

ческие свойства материалов, геометрические параметры конструктив-

ных элементов, условия работы, степень ответственности сооружения и др.

Нагрузки, отвечающие условиям нормальной эксплуатации, называ-

ют нормативными. Нормативные значения нагрузок и воздействий на сооружения устанавливают СНиП. Возможные отклонения нагрузок в неблагоприятную (большую или меньшую) сторону от их нормативных значений как следствие естественной изменчивости нагрузок, так и от-

ступлений от нормальной эксплуатации, учитываются коэффициентами надёжности по нагрузке γf . Значения этих коэффициентов зависит от характера нагрузки и степени её изменчивости.

Умножая нормативные значения нагрузок на коэффициенты надёж-

ности по нагрузке, получают расчётные нагрузки

F = Fn γf ; q = qn γf . (9.3)

Расчётные нагрузки представляют собой наибольшие в вероятност-

ном смысле нагрузки и воздействия за время эксплуатации сооружения.

На основании принципа независимости действия сил расчёт любой конструкции обычно проводят от действия каждой нагрузки отдельно, а

затем определяют наиболее неблагоприятное сочетание нагрузок. Дей-

ствительно, на сооружение, кроме постоянных, может действовать дос-

таточно большое число временных нагрузок, Но временные нагрузки,

как правило, не могут действовать все одновременно. Поэтому при дей-

ствии двух и более временных нагрузок их умножают на коэффициент сочетания ψ, учитывающий малую вероятность их совместного дейст-

вия.

366

Рассмотрев все нагрузки и воздействия на конструкцию или её эле-

мент, можно раскрыть левую часть предельного неравенства (9.1):
S = ∑ Si Fni γ fi ψ ,	(9.4)

где Si - усилие при единичном значении нагрузки; Fni – нормативные

значения нагрузок.

Одним из вопросов, возникающих при расчете конструкций, – какую характеристику принять в качестве предельного состояния? На основа-

нии испытаний образцов материалов с учётом контроля и статистиче-

ской изменчивости механических свойств устанавливаются характери-

стики сопротивления материалов силовым воздействиям. Основной ха-

рактеристикой является нормативное сопротивление Rn.

В качестве нормативного сопротивления для большинства материа-

лов обычно принимают наименьшее значение предела текучести σy по диаграмме напряжений σ =f(ε) (рис. 9.1, а). Для материалов, которые не имеют площадки текучести (хрупкие материалы и некоторые сплавы),

вводится понятие об условном пределе текучести, представляющим со-

бой напряжение, при котором относительная деформация образца со-

ставляет ε =0,002 (рис. 9.1, б). Возможное отклонение в неблагоприят-

ную сторону от значений нормативного сопротивления учитывается ко-

эффициентом надёжности по материалу γm >1. Этот коэффициент

учитывает статистическую изменчивость свойств материала и их отли-

чие от свойств отдельных испытанных образцов. Например, для бетона γm = 1,3…1,5, для древесины γm = 1,11…1,6, для стали γm = 1,025…1,15,

Величина, получаемая в результате деления значения нормативного сопротивления Rn на коэффициент надёжности по материалу γm, называ-

ется расчётным сопротивлением: R = Rn / γm.

Условия работы различных конструкций и степень их ответственно-

сти и капитальности весьма разнообразны.

367

Особенности действительной работы материалов, элементов конст-

рукций и их соединений учитывается коэффициентом условия работы

γc. По существу этот коэффициент учитывает степень идеализации рас-

чётной схемы конструкции. Поскольку отклонение фактической работы конструкции от идеализированной расчётной схемы носит случайный характер, коэффициенты условия работы определяются с использовани-

ем вероятностных методов. Их величины в зависимости от вида конст-

рукции и материал нормированы СНиП.

Степень ответственности и капитальности сооружения, обеспечение требуемого уровня надёжности учитывается коэффициентом надёжно-

сти по назначению (коэффициентом ответственности) γn ≤ 1. Так,

очевидно, что уровень надёжности сооружений, переход которых в пре-

дельное состояние может привести к катастрофическим последствиям,

должен быть выше, чем у обычных и, тем более, временных сооруже-

ний. С этой целью существующими СНиП все проектируемые и возво-

димые объекты разделены по классам в зависимости от их уровня капи-

тальности.

Изучив все факторы, определяющие несущую способность конструк-

ций, можно раскрыть правую часть предельного неравенства (9.1):
Φ = RAnt γc/γn ,	(9.5)

где Ant – геометрическая характеристика сечения с учётом действи-

тельных ослаблений (нетто).

В завершённом виде условие прочности по первой группе предельных

состояний с учётом (9.4) и (9.5) будет иметь вид:
S = ∑ Si Fni γ fi ψ ≤ RAnt γc/γn .	(9.6)

Соответственно, для второй группы предельных состояний (условие

жёсткости)
f = ∑ fi Fniψ ≤ [ f ] / γn ,	(9.7)

368

где fi – перемещение (деформация) конструкции от единичного зна-

чения нагрузки.

Согласно действующим СНиП условие жёсткости (9.21) проверяется при нормативных значения нагрузок, т.е. без учёта коэффициентов на-

дёжности по нагрузке γf.

9.2. Понятие о предельных нагрузках и механизмах разрушения

Расчет конструкций по предельным состояниям способствует значи-

тельной экономии материалов, так как учитывает «предельные возмож-

ности» работы материала и конструкции в целом. Так при проверке прочности конструкций учитывают пластические свойства материала.

Такой расчет осуществляется методом предельного равновесия.

При расчете конструкций методом предельного равновесия действи-

тельная диаграмма σ =f(ε) заменяется схематизированной диаграммой идеально упруго-пластического материала или диаграммой Прандтля

(рис. 9.1, в и г). Эта диаграмма имеет два участка: первый (наклонный)

соответствует упругой работе материала с модулем упругости E = tg α,

второй, соответствующий положению пределу текучести σy =Rn, харак-

теризует пластическую стадию работы материала, причем площадка те-

кучести принимается неограниченной (упрочнение материала не учиты-

вается). Такая диаграмма лишь приближенно отражает действительную работу некоторых материалов (строительной стали, для которой харак-

терно пластическое разрушение; бетона, в котором этот вид проявляется не столь ярко, и т.д.)

Рассмотрим центрально растянутый стержень постоянного по длине сечения (рис. 9.2, а). В любом его сечении 1 – 1 площадью А эпюра нор-

мальных напряжений имеет вид прямоугольника. По мере увеличения силы F нормальные напряжения увеличиваются и будут вначале меньше

369

, а при некотором F = Fu становятся равными пределу текучести σy =Rn

(рис. 9.2, б), т.е.

Nu = Fu = Rn A.

(9.8)

Выражение (9.8) определяет предельную нагрузку (несущую способ-

ность сечения) при одноосном напряженном состоянии стержня. Осо-

бенностью рассмотренного предельного состояния является появление

пластических деформаций одновременно во всех сечениях.

Иначе обстоит дело в статически неопределимых расчетных схемах,

стержни которых работают в условиях одноосного напряженного со-

стояния. Например, для схемы, изображенной на рис. 9.3, а, при А1 = А2

при расчете в упругой стадии напряжение σ3 > σ1 = σ2. Следовательно,

при увеличении нагрузки F, когда σ3 = σy=Rn стержни 1 и 2 еще нахо-

дятся в упругой стадии работы. Лишь после того напряжения σ1 и σ2 при дальнейшем увеличении нагрузки достигнут предела текучести, узел А начнет получать перемещения, обусловленные пластической деформа-

цией всех трех стержней.

Следовательно, предельным состоянием данной расчетной схемы можно считать такое, при котором во всех стержнях напряжения дос-

тигнут предела текучести, т.е. N1= N2 = Rn А1;	N3 = Rn А3 . Тогда из усло-
вия равновесия узла А (рис. 9.3, б) получим	значение предельной на-
грузки
Fu≤ Rn (А3 + 2 А1 cos β).	(9.9)

Разделив значение нормативного сопротивления Rn на коэффициент надёжности по материалу γm, получим значение допускаемой нагрузки

на рассматриваемую расчетную схему:

Fadm	=	Rn	( A3 + 2 A1 cos β) = R( A3 + 2 A1 cos β),					(9.10)
		γm
в то время как при расчете по допускаемым напряжениям
		F		= σ	adm	( A + 2 A cos3 β).		(9.11)
		adm				3	1

370