Текст

Таблица 8.3

Матрица жесткости r10 прямоугольного КЭ плиты

3454

461a

461ma

1226

– 274 a

199ma

394

– 116 a

– 116 ma

1226

199a

– 274 a

80a2

80ma2

274a

– 60 a2

42ma2

116a

– 30 a2

– 28 ma2

199a

40a2

– 42 ma2

80m2a2

199ma

– 42 ma2

40m2a2

116ma

– 28 ma2

– 30 m2a2

274ma

42ma2

– 60 m2a2

3454

– 461 a

461ma

1226

– 199 a

– 274 ma

394

116a

– 116 ma

80a2

– 63 ma2

– 199 a

40a2

42ma2

– 116 a

– 30 a2

28ma2

80m2a2

274ma

– 42 ma2

– 60 m2a2

116ma

28ma2

– 30 m2a2

Симметрично

3454

– 461 a

– 461 ma

1226

274a

– 199 ma

Общий множитель k

ab

; m =

b

80a2

63ma2

– 274 a

– 60 a2

42ma2

0 25200

a

80m2a2

– 199 ma

– 42 ma2

40m2a2

3454

461a

– 461 ma

80a2

– 63 ma2

80m2a2

351

Таблица 8.4

Матрица жесткости r20 прямоугольного КЭ плиты

1266m

609b

381mb

– 1266 m

189b

– 381 mb

384m

– 63 b

39mb

– 384 m

– 433 b

–39 mb

532b2/m

210b2

– 609 b

77b2/m

– 210 b2

433b

– 119 b2/m

0

– 433 b

– 364 b2/m

0

12mb2

– 381 mb

105b2

–12 mb2

276mb

– 105 b2

9mb2

– 276 mb

– 210 b2

– 9 mb2

1266m

– 189 b

381mb

– 384 m

63b

–39 mb

384m

433b

39mb

112b2/m

– 105 b2

63b

56b2/m

0

– 63 b

– 119 b2/m

0

12mb2

– 276 mb

105b2

– 9 mb2

276mb

210b2

9mb2

Симметрично

1266m

– 189 b

– 66 mb

–1266 m

– 609 b

66mb

Общий множитель

c0

;

m =

b

112b2/m

0

231b

77b2/m

0

1260

a

12mb2

66mb

0

–12 mb2

1266m

609b

– 66 mb

532b2/m

0

12mb2

352

Таблица 8.5

Матрица жесткости r30 прямоугольного КЭ плиты

636/m

66a/m

84a

246/m

– 39 a/m

42a

– 246/ m

39a/m

42a

– 636/ m

– 66 a/m

84a

12a2/m

0

39a/m

– 9 a2/m

0

– 39 a/m

9a2/m

0

– 66 a/m

– 12 a2/m

0

112ma2

42a

0

56ma2

– 42 a

0

– 14 ma2

– 84 a

0

– 28 ma2

636/m

– 69 a/m

84a

– 636/ m

66a/m

84a

– 246/ m

– 39 a/m

42a

12a2/m

0

66a/m

–12 a2/m

0

39a/m

9a2/m

0

112ma2

– 84 a

0

– 28 ma2

– 42 a

0

– 14 ma2

Симметрично

636/m

– 66 a/m

– 84 a

246/m

39a/m

– 42 a

Общий множитель

c0

; m =

b

12a2/m

0

– 39 a/m

–9 a2/m

0

1260

a

112ma2

– 42 a

0

56ma2

636/m

66a/m

– 84 a

12a2/m

0

112ma2

353

Таблица 8.6

Матрица усилий Ng прямоугольного КЭ плиты

M ix

Dxµ

2Dxa 2Dµb –3 Dxa/a Dxa

0

0

0

0

–3 Dµb/b 0

Dµb

M x

–3 Dxa/a – Dxa

0

Dxµ

–2 Dxa

2Dµb

–3 Dµb/b

0

Dµb

0

0

0

j

M kx

0

0

0

–3 Dµb/b

0

– Dµb

Dxµ

–2 Dxa

–2 Dµb

–3 Dxa/a – Dxa

0

M lx

–3 Dµb/b

0

– Dµb

0

0

0

–3 Dxa/a Dxa

0

Dxµ

2Dxa

–2 Dµb

M iy

= Dyµ

2Dµa

2Dyb

–3 Dµa/a Dµa

0

0

0

0

–3 Dyb/b

0

Dyb

M y

–3 Dµa/a – Dµa

0

Dyµ

–2 Dµa

2Dyb

–3 Dyb/b

0

Dyb

0

0

0

j

M ky

0

0

0

–3 Dyb/b

0

– Dyb

Dyµ

–2 Dµa

–2 Dyb

–3 Dµa/a – Dµa

0

M ly

–3 Dyb/b

0

– Dyb

0

0

0

–3 Dµa/a Dµa

0

Dyµ

2Dµa

–2 Dyb

M xy

–8 Dka/b

– Dkb

– Dka

8Dka/b

– Dkb

Dka

–8 Dka/b

Dkb

Dka

8Dka/b

Dkb

– Dka

В таблице 8.6:

=

6D

+

6Dµ

D =

2D

=

2Dµ

D =

D

D

x

;

x

;

D

;

k

;

a2

b2

a

xµ

xa

a

µa

ka

4a

=

6Dy

+

6Dµ

=

2Dy

=

2Dµ

D =

D

D

;

D

;

D

;

k

.

b2

a2

b

b

yµ

yb

µb

kb

4b

Zi

Zix

Ziy

Zj

Z xj

Z jy

Zk

Zkx

Zky

Zl

Zlx

Zly

354

8.4.2. Учет односторонней связи с основанием

Из принятых положительных направлений усилий и перемещений (см.

рис. 8.13) и поверхности прогиба (8.66) видно, что контакт нижней поверхно-

сти элемента с поверхностью упругого основания будет осуществляться при

Zi > 0; Zj > 0; Zl > 0; Zk > 0; Zix > 0; Ziy > 0; Z jy > 0; Zlx > 0; Zky < 0; Zly < 0; Z xj <

0 и Zkx < 0. В противном случае при допущении односторонней связи будет происходить отлипание нижней поверхности элемента от поверхности осно-

вания.

На основании этого диагональную матрицу единичных функций (8.21)

можно записать в виде:
hg = [hi hi hi hi hj hi hi hj hj hi hi hj]	(8.72)

Пример 8.4. Требуется рассчитать плиту, свободно стоящую на упругом основании (рис. 8.15) с коэффициентом постели k0 = 12,7 Н/см3 при нагрузке силами F1 = 23 кН и F2 = 46 кН. Материал плиты – бетон (жесткость E = 3,1·106 Н/см2, µ = 0,15). Расчет произвести без учета односторонней связи с

основанием.

Решение. 1. Определим жесткостные характеристики плиты (8.69):

µx = µy = 0,15; ν = 1 – µx µy =0,9775; G = 3,1·106/2(1+ 0,15) = 1,349· 106 Н/см2;

D = Dx = Dy = 3,1·106·403/(12·0,9775) = 169,139· 108 Н·см;

Dk = 1,349·106·403/6 = 0,851D.

2. Составим дискретную схему плиты, разбив ее на конечные элементы.

Рассматриваемая плита (см. рис. 8.15) при заданном загружении имеет четы-

ре оси симметрии. В силу этого при расчете можно рассмотреть 1/4 часть плиты, а уравнения метода перемещений, используя диагональную ось сим-

метрии, составить для 1/8 части. На рис. 8.16 показана сетка разбивки четвер-

ти плиты на конечные элементы со сторонами а = в = 100 см. В силу симмет-

рии для 1/8 части плиты можно сформулировать следующие граничные ус-

ловия: в узлах 1, 2, 3 əw/əy = 0; в узлах 4, 7, 9 əw/əy = əw/əx.

355

Таким образом, разрешающая система уравнений буде 21 – го порядка.

3. Вычислим матрицы жесткости конечных элементов, приняв за общий

множитель величину D/a : матрицу rэ - по таблице 8.2; матрицу r0 - по таб-

лице 8.3. Так размеры всех элементов одинаковы, то и матрицы жесткости

будут одинаковы. Матрицы rэ , r0 и их сумма r = rэ + r0 приведены, соответ-

ственно в таблицах 8.7 – 8.9. Так как общие оси координат совпадают о мест-

ными, то блоки матриц жесткости rii* = rii ; rij* = rij ; rik* = rik ; ril* = ril ; и т.д.

4. В соответствие с заданной расчетной схемой (см. рис. 8.15) и схемой разбивки на конечные элементы (см. рис. 8.16) матрицы свободных членов

системы уравнений для каждого узла будут:

		−23000					−11500																	0
R	1	=	0		; R	4	=	0		; R	2	= R	3	= R	5	= R	6	= R	7	= R	8	= R	9	= 0 .
			0					0																0

5. Составим канонические уравнения в общем виде на основании (8.64) из условий равновесия каждого узла:

Узел 1. riiZ1 + rijZ2 + rilZ4 + rikZ5 + R1 =0;

Узел 2. rjiZ1 + (rjj+rii)Z2 + rijZ3 + rjlZ4 + (rjk+ril)Z5 + rikZ6 + R2 =0;

Узел 3. rjiZ2 + rjjZ3 + rjlZ5 + rjkZ6 + R3 =0;

Узел 4. 0,5(rli+rji)Z1 + 0,5(rlj+rjl)Z2 +0,5(rll + rjj + rii)Z4 + +0,5(rlk+ rij + rjk + ril)Z5 + 0,5rikZ7 + R4 =0;

Узел 5. rkiZ1 + (rkj+rli)Z2 + rljZ3 +(rkl + rji)Z4 +(rkk+ rll + rjj + rii)Z5+

+(rlk+ rij)Z6 +(rjk+ rli)Z7 + rikZ8 + R5 =0;

Узел 6. rkiZ2 + rkjZ3 +(rkl+rji)Z5+(rkk+rjj)Z6 + rjlZ7 + rjkZ8 + R6 =0;

Узел 7. 0,5rkiZ4 +0,5(rkj+ rli + rkl + rji)Z5+ 0,5(rlj+rji)Z6 +

+0,5(rkk+ rll + rjj + rii)Z7+0,5(rlk+ rij + ril + rjk)Z8+0,5 rikZ9 + R7 =0;

Узел 8. rkiZ5 +rkjZ6 +(rkl + rji)Z7 +(rkk+rjj + 0,5rjl)Z8+rikZ8 + R8 =0;

Узел 9. 0,5rkiZ7 +0,5(rkj + rkl)Z8 +0,5rkkZ9 + R9 =0.

С учетом граничных условий в полученные выражения подставим матри-

цы неизвестных, пронумеровав их по порядку, начиная с узла 1:

356

Таблица 8.7

Матрица жесткости rэ прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4

0,1053	2,32		2,32		–0,0468			2,17	0,68	–0,0132	0,83	0,8	3	–0,0468	0,68		2,17
	155,9973		15		–2,17			61,0007	0	–0,83	38,9993	0		0,68	44,0027		0
			155,9973		0,68			0	44,0027	–0,83	0	38,9993		–2,17	0	6	1,0007
					0,1053			– 2,32	2,32	–0,0468	– 0,68	2,17		–0,0132	– 0,83		0,83
								155,9973	– 15	– 0,68	44,0027	0		0,83	38,9993		0
									155,9973	–2,17	0	61		–0,83	0	38,9993
		Симметрично								0,1053	– 2,32	–– 2,32		–0,0468	–2,17	– 0,68
	Общий множитель					D					155,9973	15		2,17	61,0007		0
						a
												155,9973		– 0,68	0	44,0027
(матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков)														0,1053	2,32		– 2,32
															155,9973		– 15
																155,9973

357

																						Таблица 8.8
					Матрица жесткости r0						прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4
	0,0001			0,0014		0			–0,0008		0,0006		0	–0,0003	–0,	0003			0		0,0006		–0,0008
		0,0014
		0,0238		0,0188		0,0008			–0,0179		0,0125		0,0003	–0,0089	–0,0083				0,0006		0,0119		–0,0125
				0,0238		0,0006			–0,0125		0,0119		0,0003	–0,0083	–0,00		89		0,0008		0,0125		–0,0179
						0,0001			–0,0014		0,0014		0	– 0,0006	0,0008				0		0,0004		–0,0004
									0,0238		– 0,0188		– 0,0006	0,0119	0,0125				–0,0003		–0,0089		0,0083
											0,0238		0,0008	–0,0125	–0,0179				0,0003		0,0083		–0	,0089
			Симметрично										0,0001	– 0,0014	–– 0,0014				0		0,0008		– 0,0006
		Общий множитель					D							0,0238	0,0188				– 0,0008		–0,0179		0,0125
							a
															0,0238				– 0,0006		–0,0125		0,0119
	(матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков)																		0,0001		0,0014		– 0,0014
																					0,0238		– 0,0188
																								0,0238

358

Таблица 8.8

Матрица жесткости r = rэ + r0 прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4

0,1054	2,3214		2,3214		– 0,0468			2,1692	0,6806	– 0,013 2	0,8297	0,8297	–0,0468	0,6806
	156,0212		15,0188		– 2,1692			60,9828	0,0125	– 0,8297	38,9904	–0 ,0083	0,6806	44,0146		–0,0125
			156,0212		0,6806			–0,0125	44,0146	– 0,8297	–0,0083	38,9904	–2,1692	0,0125		60,9828
					0,1054			–2,3214	2,3214	–0,0468	– 0,6806	2,1692	– 0,0132	– 0,8297		0,8297
								156,0212	– 15,0188	– 0,6806	44,0146	0,0125	0,8297	38,9904		0,0083
									156,0212	–2,1692	–0,0125	60,9828	– 0,8297	0,00 83		38,9904
		Симметрично								0,1054	– 2,3214	– 2,3214	–0,0468	–2,1692	–	0,680 6
	Общий множитель					D					156,0212	15,0188	2,1692	60,9828		0,0125
						a
												156,0212	– 0,6806	–0,0125		0,0119
(матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков)													0,1054	0,0014		44,0146
														156,0212		– 2,3214
																156,0212

359

		Z1						Z3						Z5					Z7				Z9
Z = Z			2		;	Z	2	= Z	4	;		Z	3	= Z	;		Z	4	= Z	;	Z	5	= Z		;
	1														6					8			10
		0						0						0					Z				Z
																				8			11
		Z12						Z15						Z17					Z20
Z	6	= Z			;	Z	7	= Z			;	Z	8	= Z		;	Z	9	= Z	.
		13							16					18						21
		Z						Z						Z					Z
		14							16						19					21

6. Подставив в записанные в общем виде канонические уравнения блоки матрицы по таблице 8.8, получим систему уравнений в численном виде и,

решив ее, найдем значения неизвестных (с общим множителем a/D):

Z1 =		6499809,22;	Z8 = –2142,44;		Z15 = 1094818,79;
Z2 = –27638,64;			Z9 = 3079211,64;		Z16 = –19595,84;
Z3 =		4038061,52;	Z10 = –18985,86;		Z17	= –602185,38;
Z4	= –22741,75;		Z11	= –18984,90;	Z18	= –15793,63;
Z5	=	2040957,32;	Z12	= 1209863,92;	Z19	= –15793,57;
Z6	= –18571,15;		Z13	= –16533,83;	Z20	= –954965,13;
Z7	=	5300398,28;	Z14	= –16533,73;	Z21 = 12743,10.

7.Определим погонные усилия в элементах плиты на основании таблицы

8.6и по формуле (8.30). Матрица Ng для конечных элементов данного приме-

ра приведена в таблице 8.9. Матрицы узловых перемещений для каждого

элемента будут иметь вид:

Z

1

Z

3

Z

7

Z2

Z4

Z8

0

0

Z

8

Z3

Z5

Z9

Z

Z

Z

4

6

10

Z =

0

; Z =

0

; Z =

Z11

;

Z

Z

Z

A

B

C

12

15

9

Z

Z

Z

10

13

16

Z11

Z14

Z16

Z

Z

Z

7

9

9

Z8

Z10

Z11

Z8

Z11

Z10

Z9
Z10
Z
11
Z12
Z
13
Z14		;
ZD =
Z15
Z16
Z16
Z
17
Z18
Z19

Z	15
Z16
Z
	16
Z17
Z
	18
Z19			,
ZE =
Z20
Z
	21
Z21
Z
	17
Z19
Z18

360